Informatique quantique
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Introduction

L'informatique quantique est le sous-domaine de l'informatique qui traite des ordinateurs quantiques utilisant des phénomènes de la mécanique quantique, par opposition à ceux de l'électricité exclusivement, pour l'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique...) dite « classique ». Les phénomènes quantiques utiles sont l'intrication quantique et la superposition (En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut possèder plusieurs valeurs pour une certaine quantité observable (spin, position,...). Les opérations ne sont plus basées sur la manipulation de bits, mais de qubits.

Histoire

Fondation

Selon la loi de Moore, la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) des ordinateurs augmente exponentiellement. Voyant cette « loi » possiblement devenir fausse à court terme, une solution est de changer de paradigme pour se tourner vers l'informatique quantique (L'informatique quantique est le sous-domaine de l'informatique qui traite des ordinateurs quantiques utilisant des phénomènes de la mécanique...).

Par contre, selon la thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est l'affirmation ou la prise de position d'un locuteur, à l'égard du sujet ou du...) de Church, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) calcul devrait être faisable efficacement sur une machine de Turing, alors qu'il ne semble pas possible de simuler un calculateur quantique (Un ordinateur quantique (ou rarement calculateur quantique) repose sur des propriétés quantiques de la matière : superposition et intrication d'états quantiques. De petits ordinateurs quantiques ont déjà été construits...) avec une machine de Turing. Dans un premier temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), un autre type d'ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques permettant de manipuler des...) semblait avoir contredit cette thèse, le calculateur analogique (Le calculateur analogique permet de réaliser des calculs sur des équations différentielles en substituant un ensemble de variables avec un autre ensemble de variables physiques....). Cette contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) apparente a néanmoins été rapidement réfutée parce que la question du bruit (Dans son sens courant, le mot de bruit se rapproche de la signification principale du mot son. C'est-à-dire vibration de l'air pouvant donner lieu à la création d'une...) n'avait pas été abordée, et la surpuissance supposée du calculateur analogique (Le concept d'analogique est utilisé par opposition à celui de numérique.) est maintenant nullifiée.

La prise en compte du bruit est donc un des premiers défis du calculateur quantique. En particulier, la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) de l'information quantique traite des codes correcteurs quantiques et du calcul quantique avec tolérance d'erreurs.

Résultats non négatifs

Deux résultats des années 1990 indiquent que les ordinateurs quantiques pourraient être plus puissants que les machines de Turing, et même des machines de Turing probabilistes. En 1994, Peter Shor découvre l'algorithme de Shor qui permet de calculer efficacement la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont...) en produit de facteurs premiers et le logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel strictement positif...) discret. En 1995, Lov Grover découvre l'algorithme de Grover qui permet de faire efficacement une recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique...) dans un espace non structuré.

Les problèmes résolus par l'algorithme de Shor n'ont pas de solution efficace connue sur un ordinateur classique, bref, sur une machine de Turing. L'amélioration en efficacité provenant de l'algorithme de Grover n'est pas aussi significative, mais la très grande applicabilité des algorithmes de recherche implique l'importance du résultat.

Les bases mathématiques

Algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes d'équations...)

Selon le principe de physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la...) quantique, on conçoit le système physique comme un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou...) à d dimensions. Pour traiter ceci, les outils mathématiques principaux se trouvent en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures...) linéaire. La notation habituelle pour les vecteurs est remplacée par la notation bra-ket (La notation bra-ket a été introduite par Paul Dirac pour faciliter l’écriture des équations de la mécanique quantique, mais aussi pour souligner l’aspect vectoriel de l’objet représentant un état...) telle qu'expliquée ci-haut pour les états quantiques ψ, puisque ce sont ces états qui sont représentés par des vecteurs.

Le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) aussi appelé ket :

|\psi \rangle

Le vecteur dual (autrement dit, transposé et conjugué) du ket, aussi appelé bra :

\langle \psi |

Les matrices typiquement utilisées sont : matrice hermitienne, matrice normale (En algèbre linéaire, une matrice A est une matrice normale si elle vérifie l'égalité suivante: A.A * = A * .A, avec A * la matrice adjointe de A. Toutes les matrices hermitiennes sont...), matrice unitaire (En algèbre linéaire, une matrice A est une matrice unitaire si elle vérifie l'égalité suivante: , avec A * la matrice adjointe de la matrice A et I la matrice identité.), matrice positive, matrice de densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est...), matrices de Pauli, matrice de Hadamard (Une matrice de Hadamard, du nom du mathématicien français Jacques Hadamard, est une matrice carrée dont les coefficients sont tous 1 ou -1 et dont les lignes sont toutes orthogonales entre elles. Le...).

Matrices de densité

Les matrices de densité sont des objets mathématiques qui peuvent traiter tous les types d'états quantiques utiles à l'informatique quantique : l'état pur tout comme l'état mélangé, qui est un mélange (Un mélange est une association de deux ou plusieurs substances solides, liquides ou gazeuses qui n'interagissent pas chimiquement. Le résultat de l'opération est une...) d'états purs.

Opérations ou théorèmes utiles

Les matrices ont généralement la fonction d'opérateurs linéaires. De plus, certaines opérations sur ces opérateurs sont également définies.

  • Opérations sur les vecteurs |\phi \rangle et |\psi \rangle : produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur...) \langle \phi |\psi \rangle, produit tensoriel |\phi \rangle \otimes |\psi \rangle ou |\phi \rangle |\psi \rangle
  • Opérations sur les matrices A : conjugaison complexe A* ou hermitienne At, transposition AT, trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers...) tr(A), diagonalisation (La diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire. Il s'applique à des endomorphismes d'un espace vectoriel. Il consiste à rechercher une base de l'espace vectoriel...)
  • Mesures : mesure quantique, distinction des états quantiques et mesure projective. Les mesures projectives sont des opérateurs qui sont des projecteurs (Observables).
  • Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) de décomposition spectrale, inégalité de Cauchy-Schwarz (En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre linéaire avec les vecteurs, l'analyse avec...)

Algèbre abstraite (L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, ou encore algèbre universelle est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et...)

Du domaine de l'algèbre abstraite, les Groupes de Lie suivants sont utiles: SU(2) et SO(3).

SU(2), le groupe spécial unitaire de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) 2

Le groupe SU(2) est isomorphe au groupe des quaternions de valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) 1 et est donc identique à la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) 3 S3. Comme les quaternions représentent les rotations dans l’espace à 3 dimensions, il existe un homorphisme surjectif de groupes de Lie SU(2) → SO(3,R) de noyau {+I,–I}. Les matrices dites matrices de Pauli forment une base de su(2). Ces matrices sont souvent utilisées en mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de physique...) pour représenter le spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule, au même...) des particules.

SO(3), le groupe orthogonal (Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps , muni d'une forme quadratique q. Un automorphisme orthogonal pour cette forme quadratique est un automorphisme linéaire f du -espace...) de degré 3 du corps \mathbb R

Le groupe SO(3), compris comme l’ensemble des rotations dans l’espace tridimensionnel, est appelé groupe des rotations.

En termes de topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques. Plus...), pour n > 2, le groupe fondamental de SO(n) est le groupe cyclique d’ordre 2 et le groupe Spin Spin(n) est son recouvrement (Un recouvrement d'un ensemble X est un ensemble P de sous-ensembles non vides de X tel que l'union de ces sous-ensembles soit égal à X. Autrement dit P est un recouvrement de X si et seulement...) universel. Pour n=2, le groupe fondamental est le groupe cyclique infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite...) et son recouvrement universel correspond à la droite des réels.

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