Loi de Laplace (probabilité) - Définition

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- Introduction - Caractérisation - Estimation des paramètres - Tirer une variable selon la loi de Laplace - Lois associées - Moments

Introduction

Laplace



Paramètres	$\mu\,$ Paramètre de location (réel) $b > 0\,$ Paramètre d'échelle (reél)
Support	$x \in (-\infty; +\infty)\,$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{1}{2\,b} \exp \left(-\frac{\|x-\mu\|}b \right) \,$
Fonction de répartition	voir plus bas
Espérance	$\mu\,$
Médiane (centre)	$\mu\,$
Mode	$\mu\,$
Variance	$2\,b^2$
Asymétrie (statistique)	$0\,$
Kurtosis (non-normalisé)	$3\,$
Entropie	$\log_2(2\,e\,b)$
Fonction génératrice des moments	$\frac{\exp(\mu\,t)}{1-b^2\,t^2}\,\!$ for $\|t\|<1/b\,$
Fonction caractéristique	$\frac{\exp(\mu\,i\,t)}{1+b^2\,t^2}\,\!$
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Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi (distribution) de Laplace est une densité de probabilité continue, nommée d'après Pierre-Simon de Laplace. On la connaît aussi sous le nom de loi double exponentielle, car sa densité peut être vue comme l'association des densités de deux lois exponentielles, accolées dos à dos. La loi de Laplace s'obtient aussi comme le résultat de la différence de deux variables exponentielles indépendantes.

Caractérisation

Densité de probabilité

Une variable aléatoire possède une distribution Laplace(μ, b) si sa densité de probabilité est

Le réel μ est un paramètre de location et b > 0 un paramètre d'échelle. Si μ = 0 et b = 1, la loi de Laplace est dite standard et sa restriction à la demie-droite réelle positive est la loi exponentielle de paramètre 1/2.

La densité rappelle aussi celle de la loi normale; toutefois, tandis que la loi normale est exprimée en termes de la différence au carré $(x - μ) 2$ , la loi de Laplace fait intervenir la différence absolue $| x - μ |$ . La loi de Laplace présente alors des queues plus épaisses que la loi normale.

Fonction de répartition

La densité de la loi de Laplace s'intègre (très) facilement grâce à la présence de la valeur absolue. Sa fonction de répartition est:

$F(x)\,$	$= \int_{-\infty}^x \!\!f(u)\,\mathrm{d}u$
	$= \left\{\begin{matrix} &\frac12 \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \mbox{si }x < \mu \\[8pt] 1-\!\!\!\!&\frac12 \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{si }x \geq \mu \end{matrix}\right.$
	$=0.5\,[1 + \sgn(x-\mu)\,(1-\exp(-\|x-\mu\|/b))].$

La réciproque de la fonction de répartition est

Estimation des paramètres

Étant donné un échantillon de N variables iid x₁, x₂, ..., x_N, un estimateur $\hat{\mu}$ de $μ$ est la médiane empirique, et un estimateur par maximum de vraisemblance de b est

Tirer une variable selon la loi de Laplace

Étant donné une variable U, tirée selon une loi uniforme dans l'intervalle [-1/2, 1/2], la variable suivante

est distribuée selon la loi de Laplace de paramètres μ et b. Ce résultat provient de l'expression de l'inverse de la fonction de répartition et de la méthode de la transformée inverse.

Une variable Laplace(0, b) peut aussi se générer comme la différence de deux variables exponentielles, de paramètre 1/b, indépendantes. De même, une loi Laplace(0, 1) peut s'obtenir en considérant le logarithme du ratio de deux variables uniformes indépendantes.

Lois associées

Si $X \sim \mathrm{Laplace}(0,b)\,$ alors $|X| \sim \mathrm{Exponentielle}(b^{-1})\,$ est une loi exponentielle;
Si $X \sim \mathrm{Exponentielle}(\lambda)\,$ et $Y \sim \mathrm{Bernoulli}(0.5)\,$ indépendante de $X\,$ , alors $X(2Y-1) \sim \mathrm{Laplace} (0,\lambda^{-1}) \,$ ;
Si $X_1 \sim \mathrm{Exponentielle}(\lambda_1)\,$ et $X_2 \sim \mathrm{Exponentielle}(\lambda_2)\,$ indépendantes de $X_1\,$ , alors $\lambda_1 X_1-\lambda_2 X_2 \sim \mathrm{Laplace}\left(0,1\right)\,$ .