Polynôme formel - Définition

Algèbre linéaire

Espace vectoriel

L'anneau A est identifié aux polynômes constants de A[X]. Ceci permet de définir une nouvelle opération sur A[X], une multiplication externe, qui à un nombre a et à un polynôme P associe le polynôme a.P. Le polynôme a.P est égal au produit du polynôme a, vu comme un polynôme constant et du polynôme P.

Si A est un corps K, comme R ou C, il existe une multiplication externe de KxK[X] dans K[X]. La structure K[X] possède maintenant une addition et une multiplication externe. Ces deux opérations confèrent à K[X] une structure d'espace vectoriel. Il est en effet rapide de vérifier que tous les axiomes d'un espace vectoriel sont bien vérifiés. La famille (Xⁿ) si n décrit l'ensemble des entiers positifs joue un rôle particulier. Par construction, elle est génératrice de K[X], elle est aussi libre car une combinaison linéaire de cette famille n'est nulle que si tous les coefficients sont nuls et la famille forme une base :

Si A n'est pas un corps, A[X] possède une structure un peu analogue, appelé module sur l'anneau A. Un sous-espace vectoriel particulier est celui composée des polynômes de degré inférieur ou égal à un entier positif p. Par définition, il possède comme base (1, X, ..., X^p) contenant p + 1 éléments, c'est donc un sous-espace de dimension p + 1.

La structure d'espace vectoriel de A[X] s'ajoute à la structure d'anneau pour former une structure d'algèbre. L'ensemble A[X] est alors muni de 3 opérations, une addition, une multiplication et une multiplication externe sur le corps K. Sur les trois opérations, les axiomes de la structure d'algèbre sont tous vérifiés.

Substitution et fonction polynômiale

Comme le fait remarquer l'encyclopédie Encarta « Le mot polynôme désigne en fait deux entités mathématiques distinctes : le polynôme formel et la fonction polynomiale. Cette dernière fournit la valeur prise par le polynôme lorsqu’on y remplace la variable x par une valeur numérique donnée. »

À partir d'un polynôme formel comme X² + 2X + 1, on peut construire une application, qui au polynôme associe une fonction f(x) définie par la donnée d'un domaine de définition Z l'ensemble des entiers et la définition : f(x) = x² + 2x + 1. Dans le cas général, il suffit d'indiquer l'ensemble de départ B, un anneau contenant les coefficients du polynôme, et de substituer l'indéterminée X par la variable x dans l'écriture du polynôme formel.

L'algébriste considère l'application Φ, de A[X] dans l'ensemble des fonctions polynômes de A définies sur un anneau B contenant A, qui à un polynôme formel associe sa fonction polynômiale. L'ensemble d'arrivée de Φ est par définition l'image de Φ, ce qui montre que l'application est surjective. L'application Φ possède des propriétés supplémentaires. Elle est par exemple compatible avec l'addition et la multiplication :

Ces deux propriétés possèdent un nom en mathématiques, on dit que Φ est un morphisme d'anneau.

Ici, l'addition et la multiplication de deux fonctions polynômes sont définies comme l'addition et la multiplication usuelles des fonctions. Dans le cas particulier où le polynôme P est une constante, c'est-à-dire s'il se résume à un monôme de degré 0 ou moins l'infini, on obtient :

On retrouve la définition de morphisme d'espace vectoriel, encore appelé application linéaire. Une application qui est à la fois un morphisme d'anneau et une application linéaire est qualifiée de morphisme d'algèbre, car l'application Φ est compatible avec toutes les opérations de l'algèbre.

Une propriété est encore manquante, l'application Φ est-elle toujours injective, la réponse n'est pas toujours vraie. Un premier cas se présente, si l'anneau A contient une copie de Z l'ensemble des entiers. C'est par exemple le cas de Q, R ou C. Dans ce cas là, l'application Φ est de fait injective. La démonstration est donnée à la suite de cet article dans le paragraphe Équation algébrique. Il existe d'autres cas où Φ n'est pas injective, par exemple celui où A est un corps fini. Quelques exemples sont donnés si A désigne l'anneau Z/nZ où n est un nombre premier. L'ensemble des polynômes formels est toujours infini, tous les polynômes Xⁿ sont distincts, et si n parcourt l'ensemble des entiers positifs, on obtient une infinité de polynômes distincts. En revanche, les fonctions polynômes forment un sous-ensemble des fonctions de A dans A, si A est un corps fini de cardinal p, il existe p^p fonctions distinctes et donc au maximum p^p fonctions polynômes au maximum. Comme il ne peut y avoir d'injection entre un ensemble infini vers un ensemble fini, l'application Φ n'est pas injective. Il existe quelques cas où Φ est injective :

Un anneau est dit intègre si un produit de deux éléments a et b de l'anneau est nul uniquement si soit a soit b l'est. Dans de nombreuses situations, celles où les coefficients sont choisis dans les nombres entiers, rationnels, réels ou complexe, cette proposition s'applique. En conséquence l'anneau des fonctions polynômes et des polynômes formels sont des copies l'un de l'autre et tous les résultats algébriques établis ici s'appliquent sur les fonctions polynômes.

• Dans un corps fini, toute fonction est une fonction polynôme :

Pour l'étude des polynômes formels, l'application Φ est parfois utile. Quand les coefficients sont choisis dans un corps fini F_p, on a parfois besoin de connaître l'ensemble des fonctions polynômes et comment construire un polynôme prenant des valeurs précises. Cette question apparait par exemple pour la construction d'un code correcteur et particulièrement d'un code cyclique.

Pour construire un polynôme P ayant les mêmes valeurs qu'une fonction f(x), on construit d'abord la fonction polynôme P₀(x), qui vaut 1 en 0 et 0 partout ailleurs, puis P_h(x) qui vaut 0 partout sauf en h ou il vaut 1 :

La fonction f(x) est égale à la combinaison linéaire des polynômes P_h(x) avec les coefficients f(h) quand h parcours le corps F_p.

• Si B contient une infinité d'éléments et est unitaire et intègre, alors Φ est injective :

Si B est un anneau unitaire et intègre, il est possible de construire son corps des fractions K et de considérer P comme un polynôme à coefficients dans K. Le polynôme P ne peut avoir plus de racine dans K que son degré par définition fini. Comme K ne n'est pas, il existe une valeur k tel que P(k) n'est pas nul si P n'est pas le polynôme nul. En conséquence, le noyau de l'application Φ est réduit au vecteur nul, ce qui montre que Φ est injectif.