Théorème de la boule chevelue - Définition

On note X un champ de vecteurs tangents continu sur S_n. Ce champ de vecteurs X est une fonction définie sur la sphère S_n et à valeurs dans l'espace euclidien V de dimension n + 1, avec n pair. On va démontrer au moyen d'un raisonnement par l'absurde qu'il s'annule forcément en au moins un point v de la sphère. On notera | v | la norme euclidienne d'un vecteur v de X, et (v | w) le produit scalaire euclidien de v et w, appartenant à X.

Cas d'un champ de vecteurs X continûment différentiable

Un champ X de vecteurs tangents à la sphère S_n est continûment différentiable, s'il est la restriction à S_n d'un champ continûment différentiable défini au voisinage de S_n. Comme ici, nous sommes dans une géométrie très simple, il suffit que soit continûment différentiable sur la couronne solide .

Tangent implique que, quel que soit v dans la sphère, X(v) est orthogonal à v.

Supposons donc que X ne s'annule jamais sur la sphère S_n. Comme X est continûment différentiable, sa norme | X | est aussi continûment différentiable sur la sphère et non nulle. Par conséquent, Y = X / | X | est un champ tangent, continûment différentiable et pour tout v, Y(v) est de norme 1. On dit aussi qu'il est unitaire.

Comme est continûment différentiable sur la couronne solide , il y est en particulier lipschitzien ; il existe donc un nombre réel L tel que, pour tous v et w dans S_n, une inégalité de Lipschitz soit vérifiée:

On définit un champ de vecteurs homogène de degré 1 sur tout V en posant

Z(v) = | v | Y(v / | v | ),

et on va montrer que Z est lipschitzien. Supposons tout d'abord ; alors

Z(v) − Z(w) = | v | Y(v / | v | ) − Y(v / | v | ) + Y(v / | v | ) − Y(w / | w | ),

d'où, en vertu de l'inégalité triangulaire,

Par homogénéité, on obtient le cas général.

Définissons une fonction f sur V x ]0,1] par la formule suivante:

On voit que la fonction f est homogène de degré 1 par rapport à v. De plus, la norme de f(v,t) est facile à calculer, grâce au théorème de Pythagore:

| f(v,t) | ² = | v | ²(1 + t²).

En d'autres termes, l'image par f(.,t) de la sphère de centre 0 et de rayon r est incluse dans la sphère de centre 0 et de rayon , quel que soit r > 0. Pour r = 0, f(0,t) est visiblement nul.

On va montrer qu'en fait cette image est toute la sphère ci-dessus. En vertu de l'homogénéité de f(v,t) par rapport à v, il suffit de le montrer pour une seule valeur de r, et on choisit . Cela revient à chercher une solution de l'équation

v = w − tZ(v),

pour w donné, de norme 1.

L'idée consiste à utiliser le théorème du point fixe strictement contractant. On pose

g(v,t) = w − tZ(v).

Attention: pour alléger les notations, on ne met pas w dans les arguments de g, et on le considère comme une constante.

La fonction g(.,t) envoie l'espace euclidien, qui est complet, V dans lui-même. Elle est lipschitzienne, de rapport t(L + 1). Par conséquent, si t est strictement inférieur à 1 / (L + 1), g(.,t) est une contraction stricte de V dans lui-même. Elle possède donc un unique point fixe, satisfaisant l'équation g(v,t) = v. Donc v est solution de f(v,t) = w. En particulier, d'après le calcul de la norme de f(v,t) effectué ci-dessus, on constate que | w | ² = | f(v,t) | ² = (1 + t²) | v | ², et donc l'image de la sphère de rayon par f(.,t) est la sphère de rayon 1.

Par homogénéité, ceci démontre que f(.,t) envoie la sphère de rayon r sur la sphère de rayon , et cela quel que soit .

On calcule maintenant de deux manières différentes le volume de l'image par f(.,t) de la couronne solide de centre 0 et de rayons 1 et 2.

D'une part, cette image est la couronne solide de centre 0 et de rayons et , donc son volume est

ω_{n + 1}(2^{n + 1} − 1)(1 + t²)^{(n + 1) / 2},

avec ω_{n + 1} le volume de la boule unité en dimension n + 1.

D'autre part, on sait dériver f(v,t) par rapport à v:

f'_v(v,t) = I + tZ'(v),

puisque Z est continuûment différentiable en dehors de 0. Ici, I est simplement l'application linéaire identité dans V. Par la formule du changement de variable dans les intégrales multiples, le volume de la boule est donc donné par :

Le déterminant est bien défini dans la formule ci-dessus, puisque Z'(v) est une application linéaire de V dans lui-même, paramétrée par v. On remarque que le déterminant ne change pas de signe, parce que f(.,t) est un difféomorphisme. Par continuité, il vaut 1 pour t nul, et donc il est partout positif. Il est donc inutile de mettre une valeur absolue.

On constate que la première expression du volume est irrationnelle par rapport à la variable t, puisque n est pair, alors que la deuxième est polynomiale par rapport à cette même variable. C'est la contradiction désirée, on a bien montré qu'un champ continûment différentiable tangent à la sphère S_n s'annule forcément en un point.

Cas général

On suppose cette fois-ci que X est un champ tangent continu sur la sphère S_n.

On peut approcher ce champ uniformément par une suite de champs tangents continûment différentiables . On utilisera une technique de convolution, qui est détaillée plus bas, bien qu'elle soit classique.

D'après l'étape précédente, pour chaque k, on peut trouver un v_k dans S_n pour lequel X_k(v_k) s'annule.

Les points v_k appartenant à l'ensemble compact S_n, on peut trouver une sous-suite convergente de la suite des v_k, ou, ce qui revient au même, une partie infinie K de telle que la suite posséde une limite le long de K ; cette limite est notée .

Il est immédiat que, le long de K, X_k(v_k) converge vers , donc X s'annule au point .

Approximation continûment différentiable d'un champ de vecteurs tangent continu

Soit φ une fonction de V dans qui a les propriétés suivantes:

• φ est continûment différentiable;
• le support de φ, c'est-à-dire l'adhérence de l'ensemble de tous les pionts où φ n'est pas nul est inclus dans la boule de centre 0 et de rayon 1;
• l'intégrale de φ sur V vaut 1.

Un tel φ est facile à construire: on choisit tout d'abord une fonction ψ continûment dérivable, positive ou nulle sur valant 1 en 0 et 0 au-delà de 1. Si on suppose que la dérivée de cette fonction est nulle en 0, il suffit de prendre φ(v) = ψ( | v | ) / I, avec

I =	∫	ψ( | v | )dv.
	V

On vérifie que la fonction φ ainsi définie a les propriétés requises.

On pose, pour k un entier positif

φ_k(v) = kφ(kv),

et on définit

On montre alors que les sont continûment différentiables et convergent uniformément, quand k tend vers l'infini, vers X sur tout ensemble compact inclus dans V, donc en particulier sur S_n.

Mais a priori, il n'y a pas de raison que les soient tangents... donc on doit faire une opération supplémentaire: les projeter. On définit ainsi

Le champ X_k est tangent à la sphère, et il converge uniformément vers le champ , ce qui conclut la construction d'une approximation d'un champ tangent continu par une suite uniformément convergente de champs tangents continûment différentiables, quand k tend vers l'infini.