Théorie du chaos - Définition

Quelques exemples

• Transformation du boulanger. La transformation du boulanger a de nombreuses variantes, qui toutes ont pour point commun de « faire remonter » très vite au niveau macroscopique d'infimes différences microscopiques, plus faible que la résolution de l'instrument utilisé.
• Transformation du photomaton.

Transition d'une dynamique régulière vers le chaos

Soit un système dynamique dépendant d'un paramètre μ :

Il arrive que la dynamique change de comportement lorsque le paramètre μ varie. On a pu mettre en évidence trois grands scénarios de passage d'une dynamique régulière à une dynamique chaotique lors de la variation d'un paramètre.

Cascade de doublements de période

Feigenbaum a redécouvert une route vers le chaos qui avait été étudiée dans les années 60 par Myrberg. Aujourd'hui, cette route est appelée « cascade de doublements de période » pour décrire la transition entre un comportement périodique et un attracteur chaotique. Ce scénario est observé par exemple avec la suite logistique, qui est définie par récurrence par une application du segment [0, 1] dans lui-même :

où n = 0, 1, … dénote le temps discret, x l'unique variable dynamique, et un paramètre. La dynamique de cette application présente un comportement très différent selon la valeur du paramètre μ :

• Pour , le système possède un point fixe attractif, qui devient instable lorsque μ = 3.

• Pour , l'application possède un attracteur qui est une orbite périodique, de période 2ⁿ où n est un entier qui tend vers l'infini lorsque μ tend vers 3.57…

• Lorsque μ = 3.57..., l'application possède un attracteur chaotique fractal découvert par le biologiste May (1976).

• Le cas μ = 4 avait été étudié dès 1947 par Ulam et von Neumann. À noter qu'on peut dans ce cas précis établir l'expression exacte de la mesure invariante ergodique.

Lorsque le paramètre μ augmente, on obtient donc une succession de bifurcations entre les comportements périodiques et le chaos, résumée sur la figure ci-contre.

Scénario de Ruelle-Takens

Par quasi-périodicité…

Scénario de Pomeau-Manneville

Par intermittence…

Bibliographie

Bibliothèque virtuelle

• David Ruelle ; Chaos, imprédictibilité et hasard, conférence de vulgarisation donnée en 2000 par l'auteur à l'Université de tous les savoirs, puis publiée dans : Qu'est-ce que l'Univers ? (éd. Y. Michaud), Odile Jacob (2000), 647-656. Texte complet disponible au format pdf.

• Académie des sciences morales et politiques ; Le chaos, dans : Implications philosophiques de la science contemporaine (2001), groupe de travail présidé par Bernard d'Espagnat :
  • François Lurcat ; Le chaos & l'occident, format pdf.
  • Éric Bois ; De quelques enjeux philosophiques du phénomène du chaos, format pdf.
  • Débat, format pdf.

• Predrag Cvitanovic´, Roberto Artuso, Ronnie Mainieri & Gábor Vattay ; The Chaos Webbook, (Version 11 - Décembre 2004). Ouvrage de référence en ligne écrit par Predrag Cvitanovic´ (Niels Bohr Institute, Copenhague) et ses collaborateurs.

Ouvrages de vulgarisation

• Amy Dahan Dalmedico, Jean-Luc Chabert & Karine Chemla (sous la direction de) ; Chaos & déterminisme, Points Sciences, Le Seuil (1992), ISBN 2-02-015182-0. Un ouvrage collectif au format poche, divisé en trois parties : Approches mathématiques, Physique & Calcul, et Quelques retours sur l'histoire et la philosophie, écrits par quelques-uns des meilleurs spécialistes actuels du domaine.

• David Ruelle ; Hasard & Chaos, Collection Opus 89, Editions Odile Jacob (1991), ISBN 2-7381-0665-X. Ouvrage d'introduction au chaos au format poche par un expert, professeur de physique théorique à l'Institut de hautes études scientifiques de Bures-sur-Yvette, et auteur de nombreuses contributions au domaine.

• Pierre Bergé, Yves Pomeau & Monique Dubois-Gance ; Des rythmes au chaos, Collection Opus 64, Editions Odile Jacob (1997), ISBN 2-7381-0524-6. Un autre ouvrage d'introduction au format poche, par des spécialistes français.

• Florin Diacu & Philip Holmes ; Celestial Encounters - The Origin of Chaos, Princeton University Press (1996), ISBN 0-691-00545-1. L'origine du "chaos" moderne se trouve dans les travaux pionniers d'Henri Poincaré réalisés à la fin du XIX^e siècle à propos d'un vieux problème de mécanique newtonienne : le problème à N corps. Les auteurs , mathématiciens spécialistes du domaine, retracent l'histoire de ce problème et de ses développements de Poincaré à nos jours. Vulgarisation accessible à partir du premier cycle universitaire.

• Ivar Ekeland, Le chaos, Dominos, Flammarion (1995), ISBN 2-08-035172-9. Un ouvrage vulgarisant les notions de la théorie du chaos.

• James Gleick, La Théorie du chaos, Albin Michel (1989), ISBN 2-226-03635-0. Réédité par Flammarion (1991), ISBN . Ouvrage écrit par un journaliste.

• John Briggs & David Peat, Un miroir turbulent, Dunod (1997), ISBN 2-7296-0348-4. Un ouvrage de vulgarisation de la théorie du chaos.

• Vincent Fleury, Arbres de pierre, (1998), . Ouvrage de vulgarisation qui part de l'histoire des dendrites pour introduire la morphogénèse (sensible) et articuler les relations entre structures compactes et arborescentes.

Textes techniques

• Pierre Bergé, Yves Pomeau & Christian Vidal ; L'ordre dans le chaos - Vers une approche déterministe de la turbulence, Hermann (1988), ISBN 2-7056-5980-3. Un ouvrage d'introduction au chaos par des experts français, accessible dès le premier cycle universitaire. Prix Henri Poincaré 1990 de l'Académie des Sciences.

• Deleuze Gilles ; Guattari Félix ; Du chaos au cerveau dans Qu'est-ce que la philosophie?, Paris, Les éditions de minuit, 1991.

• Christophe Letellier ; Le Chaos dans la nature, Vuibert (2006), ISBN 2-7117-9140-8. Un ouvrage d'introduction tant aux aspects historiques qu'aux concepts techniques par un expert français.

• T. W. B. Kibble & F.H. Berkshire ; Classical Mechanics, Prentice Hall (4^e édition-1997), ISBN 0-582-25972-X. Un excellent cours d'introduction à la mécanique, des fondements newtoniens jusqu’aux formalismes plus avancés de Lagrange et de Hamilton. Kibble est professeur émérite de Physique Théorique de l'Imperial College de Londres. Pour cette 4^eédition (avec un co-auteur), deux chapitres d'introduction aux idées de la théorie du chaos ont été inclus. Niveau : à partir du premier cycle universitaire. (N.B. : Il a existé une traduction française de l'édition précédente, publiée en son temps par Dunod.)

• K. Alligood, T. Sauer & J. A. Yorke ; Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Springer-Verlag (1997), ISBN 0-387-94677-2.

• David Ruelle ; Deterministic chaos: the science and the fiction, Proceedings of the Royal Society London A 427 (1990), 241-248.

• Henri Poincaré ; Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, 3 volumes, Éditions Gauthiers-Villars (1892).

• Jacques Hadamard ; Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques, Journal de Mathématiques Pures & Appliquées 4 (1898) 27. Pour une revue plus récente, voir e.g. la référence suivante : Pierre Pansu ; Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative, Séminaire Bourbaki 738 (1991) publié dans : Astérisque 201-203 (1991) 269-298.

• Vladimir I. Arnold ; Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (2^e édition-1989), ISBN 0-387-96890-3. Une synthèse de l'état de l'art en mécanique analytique (formalismes lagrangien & hamiltonien) avec l'accent mis sur l'interprétation géométrique de ces formalismes, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine. À partir du second cycle universitaire.

• Vladimir I. Arnold, V.V. Kozlov & A.I. Neishtadt ; Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag (2^e édition-1993). Une synthèse de l'état de l'art en mécanique céleste, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine (Arnold) et ses collaborateurs. À partir du second cycle universitaire.

• Vladimir Arnold & André Avez ; Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley (1988), ISBN . Réédition d'un ouvrage classique écrit en 1968.

• David Ruelle & Jean-Pierre Eckmann ; Ergodic theory of chaos and strange attractors, Review of Modern Physisc 57 (1985), 617-656.

• Vladimir Damgov, Nonlinear and parametric phenomena - Applications in radiophysical and mechanical systems, World Scientific, Series on Nonlinear Sciences, 2004.

Aspects historiques

• Amy Dahan & David Aubin ; Writing the History of Dynamical Systems and Chaos : Longue Durée and Revolution, Disciplines and Culture, Historia Mathematica 29 (2002), 273-339. Texte complet disponible au format pdf.

• Amy Dahan ; Le chaos a-t-il engendré une révolution scientifique ?, La Recherche (janvier 2000).

• Amy Dahan ; Le difficile héritage de Henri Poincaré en systèmes dynamiques, in Greffe, J., Heinzmann, G., & Lorenz, K., (eds.) ; Henri Poincaré, science et philosophie, Berlin, Akademie Verlag & Paris, Blanchard (1997), 13-33.

• David Aubin ; A Cultural History of Catastrophes and Chaos: Around the Institut des Hautes Études Scientifiques, France 1958-1980, Thèse de doctorat (Ph. D.), Princeton University (1998), UMI #9817022. Texte complet disponible au format pdf.