Vecteur de Runge-Lenz - Définition

Crochets de Poisson

Les trois composantes L_i du vecteur moment cinétique L ont les crochets de Poisson

où i=1,2,3 et ε_ijs est le symbole de Levi-Civita ; l'indice de sommation s est utilisé ici pour éviter l'ambiguïté avec le paramètre k de la force vue plus haut.

Comme expliqué plus bas une autre échelle du vecteur de Runge-Lenz, D, peut être définie dans la même unité que le moment cinétique en divisant A par p₀. Le crochet de Poisson de D avec le vecteur moment cinétique L peut être sous une forme similaire

Le crochet de Poisson de D avec lui-même dépend du signe de E. Pour des énergies négatives (systèmes liés de trajectoire fermée, elliptique si la force suit une loi en carré inverse) le crochet de Poisson est :

tandis que pour une énergie positive (systèmes libres de trajectoire ouverte, hyperbolique si la force est en carré inverse de la distance) le crochet a le signe opposé

Les opérateurs de Casimir pour des énergies négatives sont définis par

et ont des crochets de Poisson nuls avec toutes les composantes de D et L

C₂ est nul de manière évidente, puisque les deux vecteurs sont toujours perpendiculaires. Cependant l'autre invariant C₁ n'est pas trivial et dépend seulement de m, k et E. Cet invariant permet d'obtenir les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène en utilisant uniquement les relations de commutation de la mécanique quantique à la place de la méthode plus commune s'appuyant sur l'équation de Schrödinger.

Conservation et symétrie

La conservation du vecteur de Runge-Lenz correspond à une symétrie subtile du système. En mécanique classique les symétries sont des opérations continues qui permettent de passer d'une orbite à une autre sans changer l'énergie du système ; en mécanique quantique les symétries sont des opérations continues qui mélangent les orbitales atomiques de même énergie c'est-à-dire qui provoquent une dégénérescence des niveaux d'énergie. Une grandeur se conservant est généralement associée à de telles symétries. Par exemple toute force centrale est symétrique par le groupe de rotation SO(3) ce qui mène à la conservation du moment cinétique L. Classiquement une rotation complète du système ne modifie pas l'énergie de l'orbite ; quantiquement, les rotations combinent les harmoniques sphériques de même nombre quantique l sans changer l'énergie.

Figure 7 : la famille des hodographes circulaires pour une énergie donnée E. Tous les cercles passent par les deux même points sur l'axe p_x (cf. Figure 3). Cette famille d'hodographes correspond à une famille de cercles d'Apollonius et à une isosurface σ de coordonnées bipolaires.

La symétrie d'une force centrale suivant une loi en carré inverse est plus élevée et plus compliquée. La symétrie particulière du problème de Kepler résulte de la conservation simultanée du moment cinétique L et du vecteur de Runge-Lenz A (tel que défini ) et, en mécanique quantique, assure que les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène ne dépendent pas des nombres quantiques l et m. La symétrie est cependant plus subtile car elle prend place dans un espace de dimension supérieure ; de telles symétries sont parfois appelées « symétries cachées ».

Classiquement la haute symétrie du problème de Kepler permet une perturbation continue des orbites conservant l'énergie mais pas le moment cinétique ; en d'autres termes, des orbites de même énergie mais de moments cinétiques différents (donc d'excentricités différentes) peuvent être transformées continûment les unes en les autres. De manière quantique cela consiste à faire une combinaison d'orbitales différant par leurs nombres quantiques l et m telles que des orbitales atomiques s (l=0) et p (l=1) par exemple. De telles combinaisons ne peuvent être faites en considérant les rotations et translations habituelles à trois dimensions, mais correspondent à une rotation dans une espace de plus grande dimension.

Pour des énergies négatives, c'est-à-dire es systèmes liés, le groupe de plus haute symétrie du système est SO(4), qui conserve la longueur dans un espace à quatre dimensions

En 1935, Vladimir Fock montre que le problème de Kepler d'un système quantique lié est équivalent au problème d'une particule libre se déplaçant sur une 3-sphère dans un espace à quatre dimensions. Plus précisément Fock montre que l'équation de Schrödinger des fonctions d'onde dans l'espace des moments est la projection stéréographique des harmoniques sphériques sur la sphère.