Vecteur de Runge-Lenz - Définition

Définitions mathématiques

Pour une particule seule mise en mouvement par une force centrale en carré inverse de la distance décrite par l'équation , le vecteur de Runge-Lenz A est défini mathématiquement par la formule

Figure 1: Le vecteur de Runge-Lenz A (en rouge) en quatre points (notés 1, 2, 3, 4) de l'orbite elliptique d'une particule liée se déplaçant sous l'effet d'une force centrale en carré inverse. Le centre d'attraction est représenté par le point noir duquel partent les rayons vecteurs r. Le vecteur moment cinétique L est perpendiculaire à l'orbite. Les vecteurs coplanaires p ∧ L et (mk/r)r sont respectivement en bleu et vert ; ces variables sont définies . Le vecteur A est constant en direction et en norme.

où

• est le masse de la particule ponctuelle se déplaçant sous l'effet de la force centrale,
• est le vecteur quantité de mouvement,
• est son vecteur moment cinétique,
• est un paramètre décrivant l'intensité de la force,
• est le vecteur position de la particule (Figure 1), et
• est le vecteur unitaire correspondant, i.e., où r est la norme de r.

Étant donné que la force est supposée conservative, l'énergie totale E est une constante du mouvement

De plus la force étant centrale, le moment cinétique L est également constant et définit le plan dans lequel la particule se déplace. Le vecteur de Runge-Lenz est perpendiculaire à L car p ∧ L et r sont perpendiculaires à L. Il s'ensuit que A est contenu dans le plan de l'orbite.

Cette définition de A est applicable pour une particule seule et ponctuelle de masse m se déplaçant sous l'effet d'une force donnée. Cependant la même définition peut être étendue au problème à deux corps, tel que le problème de Kepler, en prenant pour m la masse réduite des deux corps et pour r le vecteur entre les deux corps.

Une alternative pour la même constante du mouvement est également possible. La plus commue est de diviser par mk pour définir le vecteur excentricité

Histoire des redécouvertes

Le vecteur de Runge-Lenz A est une constante du mouvement du problème de Kepler, utile pour décrire les orbites astronomiques, telles que le mouvement des planètes. Néanmoins son usage n'a jamais été très répandu parmi les physiciens peut-être parce qu'il est moins intuitif que la quantité de mouvement ou le moment cinétique. C'est la raison pour laquelle il a été redécouvert plusieurs fois au cours des trois derniers siècles. Jakob Hermann est le premier à montrer que A est conservé dans le cas particulier des forces centrales en carré inverse, et travailla sur ses connexions avec l'excentricité orbitale dans le cas des orbitales elliptiques. Les travaux de Hermann sont généralisés dans leur forme moderne par Jean Bernoulli en 1710. À la fin du XVIIIe siècle, Pierre-Simon de Laplace redécouvre la conservation de A, l'obtenant de manière analytique et non plus de façon géométrique. Vers le milieu du XIXe siècle, William Rowan Hamilton détermine le vecteur excentricité, qui est équivalent, et l'utilise pour montrer que le vecteur quantité de mouvement p décrit un cercle pour un mouvement effectué sous une force centrale en carré inverse (Figure 3). Au début du XXe siècle, Josiah Willard Gibbs trouve le même vecteur par analyse vectorielle. La méthode de Gibbs est citée en exemple par Carl Runge dans un livre allemand sur les vecteurs qui fut référencé par Wilhelm Lenz dans son article sur le traitement quantiquel de l'atome d'hydrogène. En 1926, le vecteur est utilisé par Wolfgang Pauli pour déterminer le spectre de l'hydrogène en utilisant la mécanique matricielle et non l'équation de Schrödinger ; après l'article de Pauli il commence à être connu sous le nom de vecteur de Runge–Lenz.