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Sphère

Introduction

Une sphère dans un espace euclidien

En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point (Graphie) appelé centre. La valeur de cette distance au centre est appelée le rayon de la sphère. Elle n'inclut donc pas les points situés à une distance inférieure au rayon, au contraire de la boule. La surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent...) de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus massive des...) ne constitue pas une sphère parfaite mais sa forme en est proche (on parle de sphéroïde), d'où le terme « géosphère » pour désigner les couches enveloppant la terre (lithosphère, hydrosphère, atmosphère et biosphère notamment).

Plus généralement, dans un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de...) normé voire dans un espace métrique, une sphère est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) des points à même distance d'un centre. Leur forme peut alors être très différente de la forme ronde usuelle. Les sphères des espaces euclidiens constituent des objets fondamentaux en topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement...) algébrique.

La déformation d'une sphère par une transformation affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) produit un ellipsoïde. Le ballon de rugby concrétise une telle forme.

Représentation

En géométrie cartésienne, une sphère de centre (x0,y0,z0) et de rayon r est l'ensemble des points (x,y,z) tels que :

\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2.

Les points de la sphère de rayon r et de centre l'origine du repère peuvent être paramétrés par :

  \left\{ \begin{matrix} x & = & r \cos\theta \; \cos\phi \\ y & = & r \cos\theta \; \sin\phi \\ z & = & r \sin\theta \end{matrix} \right. \qquad (\frac{-\pi}{2} \le\theta\le \frac{\pi}{2} \mbox{ et } -\pi \le \phi \le \pi)

On peut voir \displaystyle \theta comme la latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de l'équateur.) et \displaystyle \phi comme la longitude (La longitude est une valeur angulaire, expression du positionnement est-ouest d'un point sur Terre (ou sur une autre planète).). (Voir fonctions trigonométriques et coordonnées sphériques.)

Développement

On peut démontrer que la sphère est une surface non développable. Il n'existe pas de patron de la sphère. Néanmoins, il est possible en pratique, d'obtenir des surfaces développables approchant la sphère très fidèlement, c'est le cas de tous les ballons cousus. Voir : Ballon de football (icosaèdre tronqué), ballon de Volley Ball, et ballon fantaisie (en fuseaux de pôle à pôle.)

Notez que la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon le "Diplôme...) gauchit les surfaces et fidélise l'approche… Plus on gonfle plus la sphère s'approche de la perfection.

Formules

La surface d'une sphère de rayon R est :

S=4 \pi R^{2} \,

Le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) qu'elle renferme est :

V= \frac{4 \pi R^{3}}{3}

Sa compacité est de :

C= \frac{S}{V}= \frac {3}{R}

Le moment d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps...) d'une sphère homogène pleine de rayon R, de masse volumique (Pour toute substance homogène, le rapport de la masse m correspondant à un volume V de cette substance est indépendante de la quantité choisie : c'est une caractéristique du matériau...) ρ, de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et...) M par rapport à un axe passant par son centre est:

 I=\frac{2 M R^2}{5}=\frac{8 \pi \rho R^5}{15}

Le moment d'inertie d'une sphère homogène vide de rayon R, de masse M par rapport à un axe passant par son centre est :

 I=\frac{2 M R^2}{3}=\frac{8 \pi \rho R^5}{9}

L'élément d'aire de la sphère de rayon R\, dans les coordonnées latitude-longitude est d\sigma=R^2\cos\theta d\theta d\phi\,. On en déduit que l'aire d'un fuseau (portion limitée par deux demi-cercles joignant les pôles et faisant un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) \alpha\, exprimé en radians) est  2\alpha R^2\,.

Cela permet aussi de calculer l'aire d'une calotte sphérique (on dit aussi segment de sphère), c’est-à-dire d'une portion de sphère limitée par deux plans parallèles de distance h\, l'un pouvant être tangent à la sphère. On trouve 2\pi Rh\, : l'aire est la même que celle d'un cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c), appelée courbe directrice et gardant une direction...) circulaire de même hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) tangent à la sphère (cylindre circonscrit). Ce résultat remarquable est démontré par Archimède dans son traité De la sphère et du cylindre. Selon Cicéron, Archimède aurait, demandé que soient gravés, en mémoire de ce résultat, sur son tombeau, une sphère et son cylindre circonscrit.

Le cylindre circonscrit à une sphère donnée a un volume égal à 32 fois le volume de la sphère.

La sphère a la plus petite aire parmi les surfaces renfermant un volume donné et renferme le volume le plus élevé parmi les surfaces d'une aire donnée. Elle est la réponse à la question d'isopérimétrie pour l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur,...) 3. Pour cette raison, la sphère apparaît dans la nature, par exemple les bulles et gouttes d'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) (en l'absence de gravité) sont des sphères car la tension superficielle (La tension superficielle, ou énergie d'interface, ou énergie de surface, est la tension qui existe à la surface de séparation de deux...) essaie de minimiser l'aire.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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