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Sphère

Introduction

Une sphère dans un espace euclidien

En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point (Graphie) appelé centre. La valeur de cette distance au centre est appelée le rayon de la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé centre. La...). Elle n'inclut donc pas les points situés à une distance inférieure au rayon, au contraire de la boule. La surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière...) de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes....) ne constitue pas une sphère parfaite mais sa forme en est proche (on parle de sphéroïde), d'où le terme « géosphère » pour désigner les couches enveloppant la terre (lithosphère, hydrosphère (L'hydrosphère est, de façon générale, l'enveloppe externe d'une planète ou d'un satellite qui regroupe l'eau sous ses états liquide, solide ou gazeux.), atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :) et biosphère (La notion de biosphère désigne à la fois un espace et un processus auto-entretenu (jusqu'à ce jour et depuis plus de 3 milliards d'années) sur la planète Terre, et qu'on...) notamment).

Plus généralement, dans un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par...) voire dans un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.), une sphère est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des points à même distance d'un centre. Leur forme peut alors être très différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application...) de la forme ronde usuelle. Les sphères des espaces euclidiens constituent des objets fondamentaux en topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques. Plus exactement, elle...).

La déformation d'une sphère par une transformation affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) produit un ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de point à l'infini.). Le ballon de rugby concrétise une telle forme.

Représentation

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) cartésienne, une sphère de centre (x0,y0,z0) et de rayon r est l'ensemble des points (x,y,z) tels que :

\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2.

Les points de la sphère de rayon r et de centre l'origine du repère peuvent être paramétrés par :

  \left\{ \begin{matrix} x & = & r \cos\theta \; \cos\phi \\ y & = & r \cos\theta \; \sin\phi \\ z & = & r \sin\theta \end{matrix} \right. \qquad (\frac{-\pi}{2} \le\theta\le \frac{\pi}{2} \mbox{ et } -\pi \le \phi \le \pi)

On peut voir \displaystyle \theta comme la latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de l'équateur.) et \displaystyle \phi comme la longitude (La longitude est une valeur angulaire, expression du positionnement est-ouest d'un point sur Terre (ou sur une autre planète).). (Voir fonctions trigonométriques et coordonnées sphériques.)

Développement

On peut démontrer que la sphère est une surface non développable. Il n'existe pas de patron de la sphère. Néanmoins, il est possible en pratique, d'obtenir des surfaces développables approchant la sphère très fidèlement, c'est le cas de tous les ballons cousus. Voir : Ballon de football (icosaèdre tronqué), ballon de Volley Ball, et ballon fantaisie (en fuseaux de pôle à pôle.)

Notez que la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant...) gauchit les surfaces et fidélise l'approche… Plus on gonfle plus la sphère s'approche de la perfection.

Formules

La surface d'une sphère de rayon R est :

S=4 \pi R^{2} \,

Le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) qu'elle renferme est :

V= \frac{4 \pi R^{3}}{3}

Sa compacité est de :

C= \frac{S}{V}= \frac {3}{R}

Le moment d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en...) d'une sphère homogène pleine de rayon R, de masse volumique (Pour toute substance homogène, le rapport de la masse m correspondant à un volume V de cette substance est indépendante de la quantité choisie : c'est une...) ρ, de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de...) M par rapport à un axe passant par son centre est:

 I=\frac{2 M R^2}{5}=\frac{8 \pi \rho R^5}{15}

Le moment d'inertie d'une sphère homogène vide de rayon R, de masse M par rapport à un axe passant par son centre est :

 I=\frac{2 M R^2}{3}=\frac{8 \pi \rho R^5}{9}

L'élément d'aire de la sphère de rayon R\, dans les coordonnées latitude-longitude est d\sigma=R^2\cos\theta d\theta d\phi\,. On en déduit que l'aire d'un fuseau (portion limitée par deux demi-cercles joignant les pôles et faisant un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) \alpha\, exprimé en radians) est  2\alpha R^2\,.

Cela permet aussi de calculer l'aire d'une calotte sphérique (on dit aussi segment de sphère), c’est-à-dire d'une portion de sphère limitée par deux plans parallèles de distance h\, l'un pouvant être tangent à la sphère. On trouve 2\pi Rh\, : l'aire est la même que celle d'un cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c), appelée courbe directrice et gardant une direction fixe. On parle...) circulaire de même hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) tangent à la sphère (cylindre circonscrit). Ce résultat remarquable est démontré par Archimède dans son traité De la sphère et du cylindre. Selon Cicéron, Archimède aurait, demandé que soient gravés, en mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) de ce résultat, sur son tombeau, une sphère et son cylindre circonscrit.

Le cylindre circonscrit à une sphère donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) a un volume égal à 32 fois le volume de la sphère.

La sphère a la plus petite aire parmi les surfaces renfermant un volume donné et renferme le volume le plus élevé parmi les surfaces d'une aire donnée. Elle est la réponse à la question d'isopérimétrie pour l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) 3. Pour cette raison, la sphère apparaît dans la nature, par exemple les bulles et gouttes d'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) (en l'absence de gravité) sont des sphères car la tension superficielle (La tension superficielle, ou énergie d'interface, ou énergie de surface, est la tension qui existe à la surface de séparation de deux milieux.) essaie de minimiser l'aire.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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