🔎 Moment angulaire : définition et explications

Moment angulaire

mouvement à force centrale barrière de potentiel quantité de mouvement coordonnées polaires

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Un gyroscope tournant sur un clou

En physique, le moment angulaire ou moment cinétique est la grandeur physique qui joue un rôle analogue à la quantité de mouvement dans le cas des rotations. Comme le moment angulaire (En physique, le moment angulaire ou moment cinétique est la grandeur physique qui joue un rôle analogue à la quantité de mouvement dans le cas des rotations. Comme le moment angulaire dépend du choix de...) dépend du choix de l'origine (ainsi que du référentiel d'étude (R)) il faut toujours spécifier cette origine et ne jamais combiner des moments angulaires ayant des origines différentes.

Cas d'un point (Graphie) matériel

On appelle point matériel ou corps ponctuel (En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace de travail.) un système mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui...) dont les dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre...) sont petites devant les distances caractéristiques du mouvement étudié (distance parcourue, rayon d'une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.)...). Le système mécanique est alors modélisé par un point géométrique M auquel est associé sa masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la...) m.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Pour un point matériel M de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) position $\vec{r}=\vec{OM}$ le moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) ou angulaire $\vec{L_{O}}$ par rapport à l'origine O est défini par:

$\vec{L_{O}}=\vec{OM} \wedge \vec{p}=\vec{r}\wedge \vec{p}$ , (1)

où $\vec{p}=m\vec{v}$ est la quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un...) de la particule. Le moment cinétique est donc le moment de cette dernière par rapport à O. $\wedge$ est l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé...).

Un exemple simple est celui d'une particule décrivant un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette...) de centre O et de rayon r : $\vec{L_{O}}$ est dirigé selon l'axe du disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) et vaut $\vec{L_{O}} = \vec{k} \cdot mvr$ .

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) du moment cinétique pour un point matériel

Si l'on dérive membre à membre la définion (1) du moment angulaire, il vient, en supposant O fixe dans (R): $\frac{\vec{dL_{O}}}{dt}=\frac{\vec{dr}}{dt}\wedge \vec{p}+\vec{r}\wedge \frac{\vec{dp}}{dt}=\vec{r}\wedge \frac{\vec{dp}}{dt}$ , puisque $\frac{\vec{dr}}{dt}$ et $\vec{p}=m\vec{v}$ sont colinéaires.

Par ailleurs pour un corps ponctuel, on a (relation fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de la dynamique):

$\frac{\vec{dp}}{dt}=\sum_{i} \vec{F_{i}}$ , (2), le terme de droite correspondant à la somme des forces $\vec{F_{i}}$ (réelles ou "d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne...)") exercées sur le corps.

Par suite il vient l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) suivante, dite théorème du moment cinétique:

$\frac{\vec{dL_{O}}}{dt}=\vec{r}\wedge \sum_{i} \vec{F_{i}}=\sum_{i} \vec{\mathcal{M}_{O}}\left (\vec{F_{i}}\right)$ , (3)

où $\vec{\mathcal{M}_{O}}\left ( \vec{F_{i}}\right)= \vec{r}\wedge \vec{F_{i}}$ est le moment de la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage...) $\vec{F_{i}}$ par rapport au point O.

Remarque: par rapport à un point O mobile dans (R), le théorème du moment cinétique s'écrit: $\frac{\vec{dL_{O}}}{dt}+\vec{v_{O}}\wedge \vec{p}=\sum_{i} \vec{\mathcal{M}_{O}}\left (\vec{F_{i}}\right)$ .
La seule différence vient de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les...) 'un terme complémentaire $\vec{v_{O}}\wedge \vec{p}$ dans le membre de gauche de la relation (3).

Exemples d'application

Mouvement à force centrale (En mécanique du point, un mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel soumis uniquement à une force centrale, c'est-à-dire une force toujours dirigée vers le même point noté , appelé centre de...): cas général

Un cas particulier très important d'utilisation du moment cinétique est celui du mouvement à force centrale, où le point matériel M est soumis à une seule force $\vec{F}$ dont la direction passe par un point fixe dans (R), appelé centre de force. Par suite en prenant ce centre de force pour origine O, le théorème du moment cinétique (3)implique que le moment cinétique $\vec{L_{O}}$ est une intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle...) première du mouvement: $\frac{\vec{dL_{O}}}{dt}=\vec{0}$ , soit $\vec{L_{O}}=\vec{r}\wedge \vec{p}=\vec{cte}$ , puisque $\vec{OM}$ et $\vec{F}$ sont colinéaires.

Par conséquent le vecteur position $\vec{r}$ et la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un...) de mouvement $\vec{p}$ du corps sont à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) perpendiculaires à un vecteur de direction constante: la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) est donc plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la...), entièrement contenue dans le plan perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient...) à $\vec{L_{O}}=\vec{r_{0}}\wedge \vec{p_{0}}$ (l'indice "0" désigne les valeurs initiales des grandeurs).

Le mouvement ne comportant que deux degrés de liberté on se place en coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.) (r,θ) dans le plan de la trajectoire. il vient ainsi:

$\vec{L_{O}}=L\vec{e_{z}}$ , avec $L\equiv mr^{2}\dot{\theta}$ ,constante.

Compte tenu de $v^{2}=\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}$ en coordonnées polaires, l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique...) du point matériel s'écrit alors $E_{k}=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+\frac{L^{2}}{2mr^{2}}$ .

Mouvement à force centrale: cas où la force dérive d'une énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) potentielle

Si la force centrale $\vec{F}$ dérive d'une énergie potentielle $V (r)$ , l'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée sous forme d'énergie cinétique et d'énergie potentielle mécanique....) du corps se met sous la forme: $E_{m}=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+U_{eff}(r)$ avec $U_{eff}(r)\equiv V(r)+\frac{L^{2}}{2mr^{2}}$ , énergie potentielle effective.

On se ramène à un mouvement unidimensionnel d'une particule fictive dans un potentiel $U e f f (r)$ . Le terme $\frac{L^{2}}{2mr^{2}}$ étant positif et croissant à courte de distance, il joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et à mastiquer.) le rôle de "barrière de potentiel (Le terme barrière de potentiel permet de désigner de façon intuitive les effets cinétiques que subit un objet mécanique de la part des forces...) centrifuge".

Quelques remarques et références additionnelles

De nombreux auteurs supposent qu'une force centrale dérive toujours d'une énergie potentielle: ceci est faux en général. Par exemple, pour le pendule simple (Le pendule simple est le modèle de pendule pesant le plus simple : on considère une masse ponctuelle au bout d'une liaison rigide sans masse de longueur l pouvant tourner dans un plan vertical. Le point matériel en G, de...), la force de tension (La tension est une force d'extension.) du fil est une force centrale car elle passe toujours par le point de fixation O du pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi...), MAIS elle ne dérive pas d'une énergie potentielle.
Une application importante des développements précédents est dans l'étude du mouvement keplerien des planètes et des satellites (Satellite peut faire référence à :). Les trajectoires sont alors des courbes fermées: ellipses.
Il convient de souligner qu'en général les trajectoires obtenues pour une énergie potentielle V(r) quelconque ne sont pas des courbes fermées: seuls le potentiel coulombien attractif $V(r)=-\frac{K}{r}$ (K constante) et le potentiel harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les « courants harmoniques », qui...) $V (r) = α r 2$ en donneront. Cela provient de l'existence, pour ces potentiels, d'une intégrale première additionnelle (pour le potentiel coulombien, il s'agit de l'invariant de Runge Lenz), associé à une symétrie supplémentaire (par transformation du groupe O(4)).

Cas d'un système matériel

Définition dans le cas général

Si un système est constitué de plusieurs particules (modèle discret), le moment angulaire total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire...) est obtenu en additionant ou intégrant le moment angulaire de chacun de ses constituants. Il est également possible de se placer dans la limite des milieux continus pour décrire certains systèmes mécaniques (solides, notamment).

Suivant que l'on adopte un modèle discret ou continu, le moment cinétique du système (S) par rapport à une point O s'écrit:

$L_{O}=\sum_{i} \vec{OM_{i}}\wedge \vec{p_{i}}$ ou $L_{O}=\int_{(S)} \vec{OM}\wedge \rho (M)\vec{v_{M}}d\tau$

Ces expressions générales ne sont guère utilisables directement. Le théorème de Koenig relatif au moment cinétique permet d'en donner une forme plus compréhensible physiquement.

Thèorème de Koenig pour le moment cinétique

Cas d'un solide: tenseur d'inertie

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