Moment angulaire - Définition et Explications
En physique, le moment angulaire ou moment cinétique est la grandeur physique qui joue un rôle analogue à la quantité de mouvement dans le cas des rotations. Comme le moment angulaire (En physique, le moment angulaire ou moment cinétique est la grandeur physique qui joue un rôle...) dépend du choix de l'origine (ainsi que du référentiel d'étude (R)) il faut toujours spécifier cette origine et ne jamais combiner des moments angulaires ayant des origines différentes.
Cas d'un point (Graphie) matériel
On appelle point matériel ou corps ponctuel (En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace de travail.) un système mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) dont les dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) sont petites devant les distances caractéristiques du mouvement étudié (distance parcourue, rayon d'une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps...)...). Le système mécanique est alors modélisé par un point géométrique M auquel est associé sa masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) m.
Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...)
Pour un point matériel M de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) position 
le moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) ou angulaire 
par rapport à l'origine O est défini par:
, (1)où 
est la quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse...) de la particule. Le moment cinétique est donc le moment de cette dernière par rapport à O. 
est l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel...).
Un exemple simple est celui d'une particule décrivant un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) de centre O et de rayon r : est dirigé selon l'axe du disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une...) et vaut 
.
Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) du moment cinétique pour un point matériel
Si l'on dérive membre à membre la définion (1) du moment angulaire, il vient, en supposant O fixe dans (R): 
, puisque 
et sont colinéaires.
Par ailleurs pour un corps ponctuel, on a (relation fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de la dynamique):
, (2), le terme de droite correspondant à la somme des forces 
(réelles ou "d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa...)") exercées sur le corps.
Par suite il vient l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) suivante, dite théorème du moment cinétique:
, (3)où 
est le moment de la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) par rapport au point O.
Remarque: par rapport à un point O mobile dans (R), le théorème du moment cinétique s'écrit: 
.
La seule différence vient de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) 'un terme complémentaire 
dans le membre de gauche de la relation (3).
Exemples d'application
Mouvement à force centrale (En mécanique du point, un mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel ...): cas général
Un cas particulier très important d'utilisation du moment cinétique est celui du mouvement à force centrale, où le point matériel M est soumis à une seule force 
dont la direction passe par un point fixe dans (R), appelé centre de force. Par suite en prenant ce centre de force pour origine O, le théorème du moment cinétique (3)implique que le moment cinétique est une intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...) première du mouvement: 
, soit 
, puisque 
et sont colinéaires.
Par conséquent le vecteur position 
et la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) de mouvement 
du corps sont à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas...) perpendiculaires à un vecteur de direction constante: la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et...) est donc plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...), entièrement contenue dans le plan perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en...) à 
(l'indice "0" désigne les valeurs initiales des grandeurs).
Le mouvement ne comportant que deux degrés de liberté on se place en coordonnées polaires (Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées...) (r,θ) dans le plan de la trajectoire. il vient ainsi:
, avec 
,constante.
Compte tenu de 
en coordonnées polaires, l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est...) du point matériel s'écrit alors 
.
Mouvement à force centrale: cas où la force dérive d'une énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) potentielle
Si la force centrale dérive d'une énergie potentielle V(r), l'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie...) du corps se met sous la forme: 
avec 
, énergie potentielle effective.
On se ramène à un mouvement unidimensionnel d'une particule fictive dans un potentiel Ueff(r). Le terme 
étant positif et croissant à courte de distance, il joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les...) le rôle de "barrière de potentiel (Le terme barrière de potentiel permet de désigner de façon intuitive les effets cinétiques que...) centrifuge".
Quelques remarques et références additionnelles
- De nombreux auteurs supposent qu'une force centrale dérive toujours d'une énergie potentielle: ceci est faux en général. Par exemple, pour le pendule simple (En physique, le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l'extrémité...), la force de tension (La tension est une force d'extension.) du fil est une force centrale car elle passe toujours par le point de fixation O du pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine...), MAIS elle ne dérive pas d'une énergie potentielle.
- Une application importante des développements précédents est dans l'étude du mouvement keplerien (En astronomie, le mouvement keplerien basé sur les trois lois de Kepler ne donne que peu...) des planètes et des satellites (Satellite peut faire référence à :). Les trajectoires sont alors des courbes fermées: ellipses.
- Il convient de souligner qu'en général les trajectoires obtenues pour une énergie potentielle V(r) quelconque ne sont pas des courbes fermées: seuls le potentiel coulombien attractif
(K constante) et le potentiel harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique...) V(r) = αr2 en donneront. Cela provient de l'existence, pour ces potentiels, d'une intégrale première additionnelle (pour le potentiel coulombien, il s'agit de l'invariant de Runge Lenz), associé à une symétrie supplémentaire (par transformation du groupe O(4)).
Cas d'un système matériel
Définition dans le cas général
Si un système est constitué de plusieurs particules (modèle discret), le moment angulaire total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un...) est obtenu en additionant ou intégrant le moment angulaire de chacun de ses constituants. Il est également possible de se placer dans la limite des milieux continus pour décrire certains systèmes mécaniques (solides, notamment).
Suivant que l'on adopte un modèle discret ou continu, le moment cinétique du système (S) par rapport à une point O s'écrit:
ou 
Ces expressions générales ne sont guère utilisables directement. Le théorème de Koenig relatif au moment cinétique permet d'en donner une forme plus compréhensible physiquement.