En physique, le moment angulaire ou moment cinétique est la grandeur physique qui joue un rôle analogue à la quantité de mouvement dans le cas des rotations. Comme le moment angulaire (En physique, le moment angulaire ou moment cinétique est la grandeur physique qui joue un rôle...) dépend du choix de l'origine (ainsi que du référentiel d'étude (R)) il faut toujours spécifier cette origine et ne jamais combiner des moments angulaires ayant des origines différentes.
On appelle point matériel ou corps ponctuel (En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace de travail.) un système mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) dont les dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) sont petites devant les distances caractéristiques du mouvement étudié (distance parcourue, rayon d'une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps...)...). Le système mécanique est alors modélisé par un point géométrique M auquel est associé sa masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) m.
Pour un point matériel M de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) position le moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) ou angulaire
par rapport à l'origine O est défini par:
où est la quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse...) de la particule. Le moment cinétique est donc le moment de cette dernière par rapport à O.
est l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel...).
Un exemple simple est celui d'une particule décrivant un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) de centre O et de rayon r : est dirigé selon l'axe du disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une...) et vaut
.
Si l'on dérive membre à membre la définion (1) du moment angulaire, il vient, en supposant O fixe dans (R): , puisque
et
sont colinéaires.
Par ailleurs pour un corps ponctuel, on a (relation fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de la dynamique):
, (2), le terme de droite correspondant à la somme des forces
(réelles ou "d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa...)") exercées sur le corps.
Par suite il vient l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) suivante, dite théorème du moment cinétique:
où est le moment de la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...)
par rapport au point O.
Remarque: par rapport à un point O mobile dans (R), le théorème du moment cinétique s'écrit: .
La seule différence vient de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) 'un terme complémentaire dans le membre de gauche de la relation (3).
Un cas particulier très important d'utilisation du moment cinétique est celui du mouvement à force centrale, où le point matériel M est soumis à une seule force dont la direction passe par un point fixe dans (R), appelé centre de force. Par suite en prenant ce centre de force pour origine O, le théorème du moment cinétique (3)implique que le moment cinétique
est une intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...) première du mouvement:
, soit
, puisque
et
sont colinéaires.
Par conséquent le vecteur position et la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) de mouvement
du corps sont à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas...) perpendiculaires à un vecteur de direction constante: la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et...) est donc plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...), entièrement contenue dans le plan perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en...) à
(l'indice "0" désigne les valeurs initiales des grandeurs).
Le mouvement ne comportant que deux degrés de liberté on se place en coordonnées polaires (Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées...) (r,θ) dans le plan de la trajectoire. il vient ainsi:
, avec
,constante.
Compte tenu de en coordonnées polaires, l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est...) du point matériel s'écrit alors
.
Si la force centrale dérive d'une énergie potentielle V(r), l'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie...) du corps se met sous la forme:
avec
, énergie potentielle effective.
On se ramène à un mouvement unidimensionnel d'une particule fictive dans un potentiel Ueff(r). Le terme étant positif et croissant à courte de distance, il joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les...) le rôle de "barrière de potentiel (Le terme barrière de potentiel permet de désigner de façon intuitive les effets cinétiques que...) centrifuge".
Si un système est constitué de plusieurs particules (modèle discret), le moment angulaire total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un...) est obtenu en additionant ou intégrant le moment angulaire de chacun de ses constituants. Il est également possible de se placer dans la limite des milieux continus pour décrire certains systèmes mécaniques (solides, notamment).
Suivant que l'on adopte un modèle discret ou continu, le moment cinétique du système (S) par rapport à une point O s'écrit:
ou
Ces expressions générales ne sont guère utilisables directement. Le théorème de Koenig relatif au moment cinétique permet d'en donner une forme plus compréhensible physiquement.