Nombre - Définition et Explications

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Un nombre est un concept caractérisant une unité, une collection d'unités ou une fraction d'unité.

Notions à distinguer

Chiffre

Un chiffre est un caractère utilisé à l'écriture d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) ou d'un numéro. L'erreur la plus fréquente est de confondre le chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) avec le nombre. Les chiffres généralement utilisés pour l'écriture des nombres sont les chiffres arabes : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Nombre

Les nombres sont utilisés pour résoudre des problèmes faisant intervenir des valeurs. Mais attention, un nombre n'est pas une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...). C'est un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) qui répond à des lois précises.

Nombre cardinal (En mathématiques, les nombres cardinaux, ou simplement cardinaux, généralisent les...)

Un nombre cardinal est un type de nombre particulier utilisé pour le dénombrement des ensembles. Il ne faut pas les confondre avec les adjectifs numéraux cardinaux.

Nombre ordinal (En mathématiques, on appelle nombre ordinal un objet permettant de caractériser le type...)

Un nombre ordinal est un type de nombre particulier utilisé pour marquer l'ordre des éléments d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...). Il ne faut pas les confondre avec les adjectifs numéraux ordinaux. L'énumération avec les nombres ordinaux commence par " 0 ", tandis qu'avec les adjectifs numéraux ordinaux elle commence par premier ou " 1 ".

Numéro

Un numéro est simplement une combinaison (Une combinaison peut être :) de chiffres qui ne respecte pas nécessairement une énumération et joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les...) généralement le rôle d'une étiquette numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information...).

Types de nombres

Il existe différents types de nombres. Les nombres les plus familiers sont les entiers naturels : 0, 1, 2, 3, … éléments de l'ensemble \N, et utilisés pour le dénombrement.

Si les entiers négatifs sont inclus, on obtient l'ensemble des nombres entiers relatifs \mathbb{Z}. Il existe également l'ensemble des nombres décimaux noté \mathbb{D}. Si d appartient à \mathbb{D}, alors d = a\cdot 10^p où a appartient à \mathbb{Z} et p appartient à \mathbb{Z}.

La division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...) d'un entier relatif (En mathématiques, un entier relatif se présente comme un entier naturel muni d'un signe...) par un entier relatif non nul forme un nombre rationnel (Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de...). L'ensemble de tous les nombres rationnels est noté \mathbb{Q}\,. Il résulte de la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située...) de l'ensemble des nombres à développement décimal (En mathématiques, le développement décimal est une façon d'écrire des nombres réels positifs...) fini (les nombres décimaux) et de celui des nombres périodiques.

Si, dans l'ensemble, outre les éléments de \mathbb{Q}, on inclut tous les développements décimaux infinis et non périodiques, on obtient l'ensemble des nombres réels, noté \R. Tous les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels. \R est la réunion de l'ensemble des nombres algébriques (les racines de polynômes à coefficients rationnels) et de l'ensemble des nombres transcendants.

Les nombres réels peuvent être étendus aux nombres complexes, dont l'ensemble est noté \mathbb{C}, qui est un corps algébriquement clos dans lequel chaque polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) à coefficients complexes peut être complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou...) factorisé.

Nous avons donc une hiérarchie d'ensembles :

\N\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{D}\sub\mathbb{Q}\sub\R\sub\mathbb{C}

Les nombres complexes peuvent, à leur tour, être étendus aux quaternions, mais la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) des quaternions n'est plus commutative. Les octonions, à leur tour, étendent les quaternions, mais cette fois, l'associativité est perdue. Les sédénions étendent à leur tour l'ensemble des octonions.

En fait, les seules algèbres de division associatives à dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) finie sur \R sont les nombres réels, les nombres complexes et les quaternions.

Les éléments des corps de fonctions algébriques de caractéristique finie ont été souvent interprétés de plusieurs manières comme une sorte de nombres par les théoriciens des nombres.

Histoire

Les nombres sont apparus dans cet ordre :

  • Les entiers naturels,
  • Les nombres rationnels positifs,
  • L'invention du zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...),
  • Les entiers relatifs,
  • Les nombres rationnels,
  • Les nombres irrationnels et les nombres réels,
  • Les nombres complexes,
  • Les nombres hypercomplexes (quaternions),
  • Les nombres p-adiques,
  • Les nombres réels transcendants et les nombres réels algébriques,
  • Les nombres transfinis, constitués des ordinaux et cardinaux
  • Les nombres hyperréels,
  • Les nombres réels calculables,
  • Les nombres surréels et pseudo-réels.

Ce n'est pas fortuit : on passe de la façon la plus simple de mesurer à des techniques beaucoup plus élaborées.

La compréhension des limites des nombres rationnels et de la nécessité des nombres irrationnels fut particulièrement douloureuse pour les pythagoriciens ; on dit même que cela scella la fin de cette École.

Les nombres complexes se sont imposés dans un premier temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) comme un argument spécieux mais efficace pour résoudre les équations polynomiales (d'où le vocable d'" imaginaire " pour désigner certains d'entre eux), avant de finalement être reconnus comme des nombres à part entière.

Les nombres hypercomplexes furent inventés par Hamilton (quaternions) puis par Cayley (octonions) et les sédénions par la construction de Cayley-Dickson. À chaque composante d'un nombre hypercomplexe (En mathématiques, le terme nombre hypercomplexe est utilisé pour désigner les...), on peut associer une base à plusieurs dimensions (4 pour les quaternions, 8 pour les octonions et 16 pour les sédénions). Il existe aussi les biquaternions.

L'apparition des nombres p-adiques est liée à la notion de valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.), et sont très utilisés en théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe...).

Les nombres hyperréels furent conçus pour résoudre certains problèmes de l'analyse et leur création par Abraham Robinson permit le développement de l'analyse non-standard. Les nombres pseudo-réels sont très semblables à l'ensemble plus vaste des hyperréels, mais la construction est différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...).

Les opérations arithmétiques sur les nombres, telles que l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...), la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction...), la multiplication et la division sont généralisées dans la branche des mathématiques appelée algèbre abstraite (L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, ou encore algèbre universelle est la branche des...) dans laquelle on obtient les groupes, les anneaux et les corps.

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