Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer
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En mathématiques, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer relie le rang du groupe abélien de points sur un corps de nombres d'une courbe elliptique E à l'ordre du zéro de la fonction L associée L(E,s) pour s = 1.

Ouverte de puis plus de quarante ans, la conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) n'a été prouvée que dans des cas particuliers. Largement reconnue comme un des problèmes mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures,...) les plus difficiles et les plus profonds encore ouverts à la fin du XXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut...), elle est un des sept problèmes du prix du millénaire (Un millénaire est une période de mille années, c'est-à-dire de dix siècles.) pour lesquels le Clay Mathematics Institute offre un prix d'un million (Un million (1 000 000) est l'entier naturel qui suit neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf (999 999) et qui...) de dollars US.

Arrière-plan

En 1922 Louis Mordell a démontré que le groupe de points rationnels d'une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des...) elliptique possède une base finie. Ce qui signifie que pour toute courbe elliptique, il existe un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du...) fini de points rationnels sur la courbe à partir desquels tous les autres points peuvent être générés.

Si le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de points rationnels sur une courbe est infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre...) alors certains points dans une base finie doive être d'ordre infini. Le nombre de points de la base d'ordre infini est appelé le rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau...) de la courbe, et est une importante propriété invariante d'une courbe elliptique.

Si le rang d'une courbe elliptique est 0 alors la courbe possède seulement un nombre fini de points rationnels. D'un autre côté, si le rang de la courbe est plus grand que 0, alors la courbe possède un nombre infini de points rationnels.

Bien que le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Mordell montre que le rang d'une courbe elliptique est toujours fini, il ne donne pas de méthode efficiente pour calculer le rang de chaque courbe. Le rang de certaines courbes elliptiques peut être calculé en utilisant des méthodes numériques mais celles-ci ne peuvent pas être généralisées pour toutes les courbes.

Une fontion L L(E,s) peut être définie pour une courbe elliptique E en construisant un produit eulérien à partir du nombre de points sur la courbe modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique, le modulo (informatique) est une fonction qui au couple...) chaque nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui n'a qu'un seul diviseur entier positif. Par...) p. Cette fonction L est analogue à la fonction Zeta (La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions en mathématiques. La plus connue est la fonction zeta de Riemann.) de Riemann et aux séries L de Dirichlet qui est définie pour une forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise...) binaire.

La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) naturelle de L(E,s) converge seulement pour les valeurs de s dans le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.) avec Re(s) > 3/2. Helmut Hasse a conjecturé que L(E,s) pouvait être étendue par prolongement analytique au plan complexe entier. Cette conjecture fut démontrée en premier par Max Deuring pour les courbes elliptiques avec la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) complexe. Elle fut montrée vraie ultérieurement pour toutes les courbes elliptiques, comme une conséquence du théorème de Taniyama-Shimura.

Trouver des points rationnels sur une courbe elliptique générale est un problème difficile. Trouver les points sur une courbe elliptique modulo un nombre premier donné p est conceptuellement direct, puisqu'il n'existe seulement qu'un nombre fini de possibilités de vérification. Néanmoins, pour des grands nombres premiers, cela requiert des calculs intensifs.

Histoire

Au début des années 1960, Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer ont utilisé l'ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques...) EDSAC au laboratoire informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des...) de l'Université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa transmission (études supérieures). Aux...) de Cambridge pour calculer le nombre de points modulo p (désigné par Np) pour un grand nombre de nombres premiers p sur des courbes elliptiques dont le rang était connu. À partir de ces résultats numériques, ils émirent la conjecture que Np pour une courbe E avec un rang r obéissent à la loi asymptotique

\Pi_{p<x} \frac{N_p}{p} \approx log(x)^r \mbox{ pour } x \rightarrow \infty.

Initialement, ceci était basé sur quelque chose de ténu montré par des points graphiques qui ont induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité (générateur) ou en force (moteur).) un certain scepticisme chez le maître de Birch, J. W. S. Cassels.

Ceci les conduisit à faire une conjecture à propos du comportement de la fonction L d'une courbe elliptique L(E,s) en s = 1, expressément, qu'il y aurait un zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans...) d'ordre r en ce point (Graphie). Ceci fut une conjecture particulièrement spectaculaire car à cette époque, le prolongement analytique de L(E,s) au point s = 1 était seulement établi pour les courbes avec multiplication complexe.

La conjecture fut par la suite étendue pour inclure la prédiction du résidu du zéro en s = 1 en fonction d'invariants de la courbe étudiés par Cassels, Tate, Shafarevich et d'autres.

Par exemple, considérons un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée...) en deux variables f(x,y) non-nul dont les coefficients sont des nombres rationnels. Supposons que la courbe projective plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de formes courbes,...) associée n'ait pas de singularités. Intéressons-nous aux solutions de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité....) f(x,y) = 0 en des nombres rationnels (x,y). Alors,

  • Si le degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) de f est égal à 1 ou 2 (le cas d'une droite ou d'une conique) soit cet ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) est vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) (par exemple f(x,y) = x2 + y2 + 1) soit il est infini, auquel cas la courbe projective associée est isomorphe à une droite projective.
  • Si le degré de f est supérieur ou égal à 4 alors Gerd Faltings a démontré que cet ensemble est fini (conjecture de Mordell).
  • Si le degré de f est égal à 3 tous les cas sont possibles. Si cet ensemble est non-vide la courbe projective associée est une courbe elliptique. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit alors la " taille " (le rang) de l'ensemble des solutions en fonction du prolongement méromorphe d'une série génératrice formée à partir du nombre de solutions de f(x,y)=0 modulo p pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre premier p. Elle prédit en particulier le fait de savoir si cet ensemble est fini ou infini.

Enoncé plus précis

Considérons une courbe elliptique sur \mathbb{Q}. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que l'ordre d'annulation de la fonction L de cette courbe elliptique en s=1 est égal au rang de cette même courbe. Elle prédit même la valeur du premier terme non-nul dans le développement limité (En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0, est l'écriture d'une fonction sous la forme d'une fonction polynôme et d'un reste .) en s=1 de cette fonction L.

État actuel

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer a été démontrée seulement dans les cas particuliers suivants :-

  1. En 1976, John Coates et Andrew Wiles ont démontré que si E est une courbe avec la multiplication complexe et L(E,1) n'est pas 0 alors E possède seulement une nombre fini de points rationnels, dans le cas de nombre de classe 1. Ceci fut étendu à tous les corps quadratiques imaginaires par Nicole Artaud.
  2. En 1983, B. Gross et D. Zagier ont montré que si une courbe elliptique modulaire possède un zéro de premier ordre à s = 1 alors elle possède un point rationnel d'ordre infini.
  3. En 1990, Victor Kolyvagin a montré qu'une courbe elliptique modulaire E pour laquelle L(E,1) n'est pas zéro est de rang 0, et une courbe elliptique modulaire E pour laquelle L(E,1) possède une zéro de premier ordre à s = 1 est de rang 1.
  4. En 1999, Andrew Wiles, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond et Richard Taylor ont démontré que toutes les courbes elliptiques sont modulaires (le théorème de Taniyama-Shimura), qui étend les deux résultats précédents à toutes les courbes elliptiques.

Rien n'a été démontré pour les courbes de rang plus grand que 1, bien qu'il existe une importante évidence numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) pour la véracité de la conjecture.

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est un des sept Problèmes du prix du millénaire sélectionnés en mai 2000 par le Clay Mathematics Institute, qui offre un prix d'un million de dollars US pour une preuve de la conjecture entière.

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