Théorie des matrices
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En mathématiques, la théorie des matrices est une branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des matrices. À l'origine, la théorie des matrices était considérée comme une branche secondaire de l'algèbre linéaire, mais s'agrandit pour bientôt couvrir des sujets relatifs à la théorie des graphes (Le terme de graphe désigne en mathématiques une opération d'application. Il possède deux acceptions :), à l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.), à la combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et...) et aux statistiques.

Les matrices sont maintenant utilisées pour de multiples applications et servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) notamment à représenter les coefficients des systèmes d'équations linéaires ou à représenter les applications linéaires ; dans ce dernier cas les matrices jouent le même rôle que les coordonnées d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication...) pour les applications linéaires.

Histoire

L'étude des matrices est tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) à fait ancienne. Les carrés latins et les carrés magiques ont été étudiés depuis très longtemps. Leibniz, l'un des deux fondateurs de l'analyse, a développé la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des déterminants en 1693 pour faciliter la résolution des équations linéaires. Cramer a approfondi cette théorie, en présentant la méthode de Cramer en 1750. Dans les années 1800, la méthode d'élimination de Gauss-Jordan (En mathématiques, l'élimination de Gauss-Jordan, aussi appelée pivot de Gauss, nommée en hommage à Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan, est un algorithme de l'algèbre linéaire pour...) fut mise au point (Graphie). Ce fut James Sylvester qui utilisa pour la première fois le terme " matrice " en 1850. Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius et John von Neumann (John von Neumann, mathématicien et physicien américain d'origine hongroise, a apporté d'importantes contributions tant en mécanique quantique, qu'en analyse...) comptent parmi les mathématiciens célèbres qui ont travaillé sur la théorie des matrices (En mathématiques, la théorie des matrices est une branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des matrices. À l'origine, la théorie des matrices était considérée comme une...).

En 1925, Werner Heisenberg redécouvre le calcul matriciel en fondant une première formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes...) de ce qui allait devenir la mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à l'œuvre dans les systèmes physiques, plus...). Il est à ce titre considéré comme l'un des pères de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission,...) quantique.

Introduction élémentaire

Une matrice est un tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) rectangulaire de nombres. Une matrice peut être identifiée à une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte...) entre deux espaces vectoriels de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) finie. Ainsi la théorie des matrices est habituellement considérée comme une branche de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes...). Les matrices carrées jouent un rôle particulier, parce que l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des matrices d'ordre n (n entier naturel non nul donné) possède des propriétés de " stabilité " des opérations.

Les concepts de matrice stochastique (En mathématiques, une matrice stochastique (aussi appelée matrice de Markov) est une matrice carrée dont chaque élément est un réel compris entre 0 et 1 et dont la somme des éléments de chaque ligne vaut 1. Cela correspond, en...) et de matrice doublement stochastique sont des outils importants pour étudier les processus stochastiques, en probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des...) et en statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation de ces ressources afin...).

Les matrices définies positives apparaissent dans la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique désigne également...) de maximum et minimum de fonctions à valeurs réelles, et à plusieurs variables.

Il est également important de disposer d'une théorie des matrices à coefficients dans un anneau. En particulier, les matrices à coefficients dans l'anneau des polynômes sont utilisées en théorie de la commande (Commande : terme utilisé dans de nombreux domaines, généralement il désigne un ordre ou un souhait impératif.).

En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) pures, les anneaux de matrices peuvent fournir un riche champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de contre-exemples pour des conjectures mathématiques.

Matrice et graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :)

En théorie des graphes, à tout graphe étiqueté correspond la matrice d'adjacence. Une matrice de permutation (Une matrice de permutation est une matrice carrée qui vérifie les propriétes suivantes :) est une matrice qui représente une permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un...); matrice carrée dont les coefficients sont 0 ou 1, avec un seul 1 dans chaque ligne et chaque colonne. Ces matrices sont utilisées en combinatoire.

Dans la théorie des graphes, on appelle matrice d'un graphe la matrice indiquant dans la ligne i et la colonne j le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'arêtes reliant le sommet i au sommet j. Dans un graphe non orienté, la matrice est symétrique. La somme des éléments d'une colonne permet de déterminer le degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) d'un sommet. La matrice Mn indique dans la ligne i et la colonne j le nombre de chemins à n arêtes joignant le sommet i au sommet j

Quelques théorèmes

  • Théorème de Cayley-Hamilton (En algèbre linéaire, le théorème Cayley-Hamilton (qui porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton) affirme que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de...)
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