Système d'unités naturelles
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Le Système international d'unités est établi en référence à la meilleure traçabilité des données dans le monde. Il est donc inadapté à chaque situation particulière. Étant donné un problème défini par un certain nombre d'équations, ce système d'équations dépend d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) défini de paramètres. Sa solution ne pourra alors que faire intervenir ces paramètres et pas d'autres. Cette lapalissade est néanmoins ce qui permet de construire ce qu'en analyse dimensionnelle (L'analyse dimensionnelle est le domaine (restreint) de la physique qui concerne les unités des grandeurs. Notamment, le fait que les unités soient arbitraires fait que toute équation valable de la physique est...) on appelle le SUN (Sun Microsystems (NASDAQ : SUNW) est un constructeur d'ordinateurs et un éditeur de logiciels américain.) ou Système d'unités naturelles (Le Système international d'unités est établi en référence à la meilleure traçabilité des données dans le monde. Il est donc inadapté à chaque situation particulière. Étant donné...) du problème considéré, si trois de ces paramètres permettent de reconstruire un temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), une vitesse (On distingue :) et une masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de gravitation (la masse grave)....).

Si d'autres paramètres interviennent, alors il y a apparition de nombre sans dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) (nombre de Reynolds par exemple en hydrodynamique) et on considère des " régimes différents " selon la taille des différents termes en présence.

Règle de Wheeler

  • Toute cette attitude, familière au physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces qui les relient. Le mot physicien...), est due au fait que très rarement, en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et...), interviennent de grands nombres (on a malgré tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) des (2π)6 qui peuvent arriver),

ou alors il faut les justifier ( par exemple une étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une énorme boule de plasma comme le Soleil, qui est l'étoile la plus...) comme le soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est une étoile de type naine...) contient beaucoup de protons, mais pas tant que cela à " l'échelle " justifiée de N* = 10^57 = (\frac{\hbar c}{GM^2})^{3/2} ; par exemple aussi, l'indiscernabilité fait intervenir en physique statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une...) N! qui avec N = 10^24 est assez considérable).

Cette règle qui attribue la valeur 1 au résultat d'un calcul dans le SUN adapté s'appelle règle de Wheeler.

Néanmoins n'oublions pas qu'il existe en physique deux cas au moins où l'exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il...) intervient : le franchissement d'une barrière de potentiel (Le terme barrière de potentiel permet de désigner de façon intuitive les effets cinétiques que subit un objet mécanique de la part des forces auxquelles il est soumis. Notamment, dans le cas des forces répulsives son mouvement peut-être...) par effet tunnel (L'effet tunnel désigne la propriété que possède un objet quantique de franchir une barrière de potentiel, franchissement impossible selon la mécanique classique....) (les temps de demi-vie (La demi-vie est le temps mis par une substance (médicament, noyau radioactif, ou autres) pour perdre la moitié de son activité pharmacologique, physiologique ou...) parcourent trente ordres de grandeur) ou par diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de « distribution », de « mise à disposition » (diffusion d'un produit, d'une information), voire de...) thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des transferts de chaleur suivant différents phénomènes physiques,...) ( les résistivités parcourent aussi quinze ordres de grandeur). Rajoutons encore le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de Nekhoroshev dans la diffusion d'Arnold.

Système d'unités atomiques

Il est le plus familier au physicien-chimiste ; dans l'article système d'unités atomiques a été développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la courbe.) la notion de système de Bohr, et elle a été distinguée du système de Schrodinger ; cela donne une bonne idée de ce que le scaling(l'analyse dimensionnelle, les dimensional units en anglais) peut apporter en physique.

Précaution

Insistons sur le fait qu'il faut d'abord avoir les équations physiques du problème, pour ne pas trop dire de bêtises sur ce sujet.

  • L'exemple classique est celui de Taylor sur la bombe atomique :

On raconte que l'armée déclassa en 1950 les photos de la boule de feu (Le feu est la production d'une flamme par une réaction chimique exothermique d'oxydation appelée combustion.) d'Hiroshima (6 août 1945). Taylor s'aperçut rapidement que le rayon de la boule ne croissait pas linéairement avec le temps , mais plutôt comme t ^(2/5). Il raisonna ainsi: soit Eo l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) de la bombe et a la masse volumique (Pour toute substance homogène, le rapport de la masse m correspondant à un volume V de cette substance est indépendante de la quantité choisie : c'est une caractéristique du matériau appelée masse volumique: ) de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est...); ses équations se construisaient avec ses 2 seuls paramètres. Il écrivît : Eo = mc^2 = (ar^3)(r/t)^2 , soit :

r = t ^(2/5) (Eo/a)^(1/5)

et avec les photos en tira la valeur de Eo, avec la " règle de Wheeler ".

Encore fallait-il être Taylor pour savoir écrire les équations de l'explosion ! Nous n'avons pu tirer très vite parti de l'analyse dimensionnelle que parce qu'on avait extrait les bons paramètres.

  • Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du XVIIe siècle, célèbre pour avoir jeté les fondements des sciences...) savait très bien que dans toute expérience de chute ralentie sans frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.), la masse m de l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est...) n'intervenait pas, car masse inerte/masse grave se simplifiait. Il n'en a pas pour autant inventé la théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein en ont fait un important champ d'étude, tant...) générale dans laquelle ce principe d'équivalence joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et à...) un rôle crucial.
  • Tout élève de terminale sait la loi de Mariotte (La loi de Mariotte est une des lois de la thermodynamique du gaz réel. Elle relie la pression et le volume d'un gaz réel à température constante. On trace ainsi une courbe isotherme du gaz. Mariotte et...) P = 2/3 U/V avec U = 3/2 N kT par définition de la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et...) cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.). Il peut en déduire la vitesse quadratique moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient...) u = sqrt( 3kT/m). Il sait peu ou prou que la vitesse c est une vitesse limite. Ce n'est pas pour cela qu'il trouvera l'expression de la loi de Mariotte relativiste.
  • La loi de Stefan du corps noir (En physique, un corps noir désigne un objet idéal dont le spectre électromagnétique ne dépend que de sa température. En pratique, un tel objet matériel n'existe pas, mais il représente un cas idéalisé servant de...) U/V = aT^4 avec a = \frac{\pi^2}{15}\frac{k^4}{\hbar^3c^3} , peut être retenue mnémotechniquement comme U/V = f( kT, quantique, relativiste), ce qui donnera à peu près le nombre de photons (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules chargées électriquement interagissent, cette interaction se traduit...) et à peu près PV = N kT (note annexe : la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) donne PV=(\zeta(4)/\zeta(3))\cdot NkT , voir système d'unités du corps noir); mais on risque gros à ce jeu, sans faire la théorie précise auparavant.
  • La recommandation (Les industries ne fonctionnent pas correctement sans normes garantissant l'interopérabilité, des organismes crées pour, promulguent des recommandations, qui si...) est donc :
    • écrire les équations d'abord.
    • Ensuite, a.dimensionner le problème par l'utilisation du SUN approprié (cf Barenblatt, Dimensional analysis, pour une multitude d'exemples très subtils; cf aussi Sedov, Analyse dimensionnelle ; ou encore Ibragimov , Symmetries in differential equations ; Migdal , analyse physique qualitative). Alors on peut simplifier crûment les équations différentielles, si il n'y a pas de bifurcations cachées.
  • Encore un exemple : la pervéance

Donnons encore cet exemple: dans la théorie de la diode à vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) (objet certes un peu désuet), l'expérience donne une caractéristique I = f(U) du type I = P .U^(3/2) en régime de charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un bénéfice non pécuniaire pour être transporté.) d'espace (théorie de Langmuir de la pervéance P), puis saturation (loi de Richardson-Dushman I = f(kT), T température de chauffe de la cathode (La cathode est une électrode siège d'une réduction, que l'on qualifie alors de réduction cathodique. Elle correspond à la borne positive (+) dans une pile électrique qui débite et à la borne...) à revêtement alcalin). Langmuir écrivit l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) de trois équations pour n(x), V(x) et v(x):

  • th de l'énergie cinétique : 1/2 m v² = q V(x)
  • conservation de la charge : j = I/S = n(x)qv(x)
  • loi de Maxwell-Gauss  : V"(x)= qn(x)/ε0

Avec V(d) = U, et V'(x) = 0 . Simplifions crûment V"(x) en U/d², le système donne :

I = U^(3/2). P avec P = \epsilon_0 \sqrt(q/m) S/d^2

Ce qui donne bien l'ordre de grandeur littéral. On voit ici que le terme S/d^2 ne pouvait être tiré de l'analyse dimensionnelle. Il y a donc " un peu plus " dans la notion de SUN et de dahus.

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés de...)

Rappel : il faut déjà avoir les équations à écrire, sinon risque.

Ensuite, trois grandeurs P, Q, R permettant de recalculer un temps, une vitesse et une masse, définissent un SUN du type MKS.

Il y a donc, si on considère au bas mot dix grandeurs fondamentales en physique, C_{10}^3 = 120 SUN qu'un petit programme informatique (Un programme informatique est une liste d'ordres indiquant à un ordinateur ce qu'il doit faire. Il se présente sous la forme d'une ou plusieurs séquences d'instructions, comportant souvent des données de base, devant...) calcule aisément (en réalité, une pratique régulière de l'homogénéité permet de reconstruire rapidement toute formule de physique : il en résulte une grande performance de ceux qui possèdent cette faculté, dite de Taylor, en l'honneur de ce talentueux physicien).

Très caractéristique est le système d'unités de Planck (G-gravité, h-quantique et c-relativiste) : personne ne sait traiter ce problème actuellement ; néanmoins si on vous parle d'une pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) supplémentaire qui gonflerait l'Univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) un peu plus vite, vous pouvez calculer rapidement que l'unité de pression est d.u [G,\hbar,c] = c^7/G^2 \hbar = 10^(114) Pa .

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