Biréfringence - Définition

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- Introduction - Historique - Description mathématique, ellipsoïde des indices - Description des milieux biréfringents - Biréfringence induite - Techniques et outils de mesure de la biréfringence - Applications

Introduction

Le texte apparait en double après avoir traversé le cristal de calcite. C'est la double réfraction, un phénomène caractéristique des milieux biréfringents

La biréfringence est la propriété physique d'un matériau dans lequel la lumière se propage de façon anisotrope. Dans un milieu biréfringent, l'indice de réfraction n'est pas unique, il dépend des directions de propagation et de polarisation du rayon lumineux.

Un effet spectaculaire de la biréfringence est la double réfraction par laquelle un rayon lumineux pénétrant dans le cristal est divisé en deux. C'est pourquoi, sur la photographie ci-contre, l'inscription apparaît en double après avoir traversé le cristal de calcite. Ce phénomène est caractéristique des milieux biréfringents, à tel point que les termes « double réfraction » et « biréfringence » sont parfois confondus. Le second tire d'ailleurs son étymologie du premier.

Lorsqu'on parle de biréfringence, on sous-entend en général biréfringence linéaire, c'est-à-dire qu'on considère les indices de réfraction pour des ondes polarisées rectilignement. Par analogie, on utilise parfois l'expression biréfringence circulaire pour désigner l'activité optique. En effet, ces deux phénomènes peuvent se décrire de manière très similaire, mais ils ont des origines microscopiques différentes.

Dans le cas particulier des matériaux biréfringents uniaxes, on appelle également biréfringence la valeur de la différence entre les indices de réfraction extraordinaire et ordinaire du matériau (voir la définition de ces termes). La biréfringence peut ainsi être positive ou négative.

Historique

On attribue généralement au danois Rasmus Bartholin la découverte de la biréfringence du spath d'Islande. Ce minéral possède une biréfringence très forte qui permet des observations à l’œil nu, observations que Bartholin décrit dans son ouvrage « Experimenta crystalli Islandici » en 1670. En 1690, le physicien hollandais Christiaan Huygens suppose que pour l'une des images observées à travers le cristal, les rayons suivent un trajet ordinaire. Mais, pour la seconde image, le trajet des rayons n'obéit pas aux lois normales de la réfraction et il propose d'utiliser des ellipsoïdes comme surfaces d'ondes. Il découvre également que la double réfraction disparaît, lorsque les rayons réfractés dans le plan de section principale sont parallèles à la direction de l'axe optique du cristal.

Description mathématique, ellipsoïde des indices

L'indice de réfraction d'un milieu est lié à sa permittivité qu'on décrit mathématiquement par un tenseur d'ordre 2. Ce tenseur peut être représenté graphiquement par un ellipsoïde dont les longueurs des demi-axes sont les indices de réfraction principaux. C'est ce qu'on appelle l'ellipsoïde des indices. Cette construction graphique permet de visualiser la relation entre le champ électrique $E$ et le déplacement électrique $D$ ainsi que les directions des axes optiques.

Principe

Soit un milieu optiquement anisotrope. L'indice optique $n$ correspondant à la direction du vecteur unitaire d'excitation électrique $\vec{d} = \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix}$ vérifie l'équation $\frac{p^2}{n_x^2} + \frac{q^2}{n_y^2} + \frac{r^2}{n_z^2} = \frac{1}{n^2}$ .

En notant $x = n . p$ , $y = n . q$ , $z = n . r$ , on obtient l'équation de l'ellipsoïde des indices :

où $x, y, z$ sont bien les coordonnées des points appartenant à un ellipsoïde. Les indices $n x$ , $n y$ et $n z$ sont donnés par les composantes $\varepsilon_x$ , $\varepsilon_y$ et $\varepsilon_z$ du tenseur de permittivité électrique du milieu dans ses axes propres, dans l'approximation d'un milieu non magnétique : $n_i^2 = \varepsilon_{r_i}$ (avec $μ r = 1$ et $\varepsilon_i = \varepsilon_0 \varepsilon_{r_i}$ )

Il s'agit de travailler en cartésiennes pour exprimer les équations de Maxwell en fonction du vecteur $\vec{k}$ . Une fois démontré que $k^2 \vec{E} - \omega^2 \mu \underline{\underline{\varepsilon}} \vec{E} = (\vec{k}.\vec{E})\vec{k}$ , on projette cette équation sur $\vec{D}$ en utilisant $\vec{k}.\vec{D} = div(\vec{D}) = 0$ . Les relations entre la vitesse de la lumière, l'indice optique et les permittivités électriques relatives et absolues permettent de conclure.

On effectue les approximations suivantes pour exprimer les équations de maxwell :

pas de charge extrinsèque : $ρ e x = 0$ donc $div \vec{D} = 0$ ( $\vec{D}$ étant le vecteur excitation électrique)
pas de courant extrinsèque : $\vec{J_{ex}} = \vec{0}$ donc $\vec{rot}(\vec{B}) = - \mu \frac{\partial \vec{D}}{ \partial t}$ ( $\vec{B}$ étant le vecteur champ magnétique)
milieu homogène et linéaire : $\vec{D} = \underline{\underline{\varepsilon}} \vec{E}$

Il s'agit tout d'abord de calculer, en coordonnées cartésiennes, la quantité $\vec{rot}(\vec{rot}(\vec{E}))$ pour une onde plane progressive monochromatique de deux façons différentes. Cette quantité s'écrit $\vec{k} \wedge (\vec{k} \wedge \vec{E})$ .
En utilisant les équations de Maxwell, on peut l'écrire $\vec{k} \wedge (\omega \vec{B}) = \omega \vec{rot} \vec{B} = - \omega^2 \mu \vec{D} = - \omega^2 \mu \underline{\underline{\varepsilon}} \vec{E}$ .
En utilisant les propriétés vectorielles du produit mixte, on peut l'écrire $(\vec{k}.\vec{E})\vec{k} - (\vec{k}.\vec{k})\vec{E}$ .
D'où l'équation de départ du raisonnement : $k^2 \vec{E} - \omega^2 \mu \underline{\underline{\varepsilon}} \vec{E} = (\vec{k}.\vec{E})\vec{k}$

Plaçons-nous dans le référentiel propre du tenseur $\underline{\underline{\varepsilon}}$ . Il s'assimile alors à une matrice diagonale 3*3. En indiçant par i les coordonnées cartésiennes (x,y,z) du repère, on obtient pour chaque coordonnée l'équation $(k^2 - \omega^2 \mu \varepsilon_i)E_i = (\vec{k}.\vec{E})k_i$ .
On divise ensuite l'équation par $\vec{k}.\vec{E}$ et on la multiplie par $D i$ , sachant que $E_i = \frac{D_i}{\varepsilon_i}$ . En sommant les 3 relations obtenues (une pour chaque coordonnée), on a

$\sum_{i=1}^{3} (k^2 - \omega^2 \mu \varepsilon_i)\frac{D_i^2}{\varepsilon_i (\vec{k}.\vec{E})} = \sum_{i=1}^{3} k_i D_i$

Le membre de droite correspond au produit scalaire $\vec{k}.\vec{D}$ , c'est-à-dire $div(\vec{D}) = 0$ . Puisque le membre de gauche est nul, on peut éliminer le facteur $\vec{k}.\vec{E}$ et remplacer $\varepsilon_i$ par $n_i^2$ qui lui est proportionnel. De même, en faisant apparaître la vitesse de la lumière dans le vide $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$ et sachant que $\mu \varepsilon_i = \mu_0 \mu_r \varepsilon_0 \varepsilon_{r_i}$ (avec $μ r = 1$ vu que le matériau est considéré non magnétique aux longueurs d'onde considérées), on obtient après avoir tout divisé par $n 2$ :

$\sum_{i=1}^3 \left( \frac{n^2 - n_i^2}{n^2 n_i^2} \right)D_i^2 = 0$

On peut encore écrire cette égalité $\sum_{i=1}^3 \frac{D_i^2}{n_i^2} = \frac{\sum D_i^2}{n^2} = \frac{D^2}{n^2}$ . Introduisant maintenant le vecteur unitaire $\vec{d} = \frac{\vec{D}}{\|D\|}$ de coordonnées (p,q,r). En divisant l'égalité précédente par $D 2$ , on obtient $\frac{p^2}{n_x^2} + \frac{q^2}{n_y^2} + \frac{r^2}{n_z^2} = \frac{1}{n^2}$ .

En notant $x = n . p$ , $y = n . q$ , $z = n . r$ , on obtient l'équation de l'ellipsoïde des indices :

$\frac{x^2}{n_x^2} + \frac{y^2}{n_y^2} + \frac{z^2}{n_z^2} = 1$

Interprétation physique

Considérons une onde plane électromagnétique. L'analyse vectorielle (en cartésiennes) des équations de Maxwell permet de conclure que les vecteurs suivants sont coplanaires :

$\vec{D}$ (excitation électrique) et donc le vecteur $\vec{d} = n \frac{\vec{D}}{\|D\|}$ dont les coordonnées interviennent dans l'équation de l'ellipsoïde
$\vec{E}$ (champ électrique)
$\vec{k}$ (vecteur d'onde colinéaire à la direction de propagation de l'onde)
$\vec{P}$ (vecteur de Poynting colinéaire à la direction de propagation de l'énergie)

Le plan auquel appartiennent ces vecteurs est le plan de polarisation de l'onde. C'est le vecteur $\vec{D}$ qui est perpendiculaire à $\vec{k}$ dans les milieux matériels, et non $\vec{E}$ comme c'est habituellement le cas dans le vide.

De plus, on montre que le vecteur $\vec{E}$ est normal à l'ellipsoïde au point d'intersection avec $\vec{d}$ .

Le vecteur normal à l'ellipsoïde en un de ses points de coordonnées $(x, y, z)$ est $\vec{grad}(f)$ où l'équation de l'ellipsoïde est $f (x, y, z) = 0$ . Le vecteur gradient au point considéré est $\vec{grad}(f) = \left( \frac{2x}{n_x^2} , \frac{2y}{n_y^2} , \frac{2z}{n_z^2} \right)$ où $(x, y, z)$ sont les coordonnées du vecteur $\vec{d}$ . Chacune de ses composantes $d i$ ( $i \in {x,y,z}$ ) est reliée à $\vec{D}$ par $d_i = n \frac{D_i}{\| \vec{D} \|}$ et les composantes de $\vec{D}$ sont reliées à celles de $\vec{E}$ par $D_i = \varepsilon_i E_i$ où $\varepsilon_i = \varepsilon_0 n_i^2$ .

Le vecteur

est donc perpendiculaire à la surface au point

(x, y, z)

, et par conséquent, le vecteur

également.

Tenant compte de cette condition et de la coplanarité de $\vec{E}$ , $\vec{k}$ et $\vec{D}$ , seules deux orientations sont géométriquement permises pour $\vec{D}$ . En effet, l'intersection du plan d'onde (plan perpendiculaire à $\vec{k}$ , auquel appartient donc $\vec{d}$ ) avec l'ellipsoïde est une ellipse. Les conditions géométriques sont remplies dans 2 cas : lorsque $\vec{D}$ est selon le petit axe et lorsqu'il est selon le grand axe de cette ellipse.

Lorsque $\vec{D}$ est colinéaire à $\vec{E}$ , on parle de rayon "ordinaire". Rien de spécial n'arrive au rayon lumineux
Il existe une autre configuration, qui donne lieu à un rayon extraordinaire. Cette dénomination lui est donnée en raison de la violation des lois de Snell-Descartes par ce rayon. Cette violation n'est pas paradoxale, car les lois de Descartes découlent elles-mêmes des équations de Maxwell dans un cas précis (l'isotropie cristalline), qui, elles, sont toujours vérifiées dans le cas de la biréfringence.

Description des milieux biréfringents

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