La biréfringence est la propriété physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) d'un matériau (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne...) dans lequel la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil...) se propage de façon anisotrope (L'anisotropie (contraire d'isotropie) est la propriété d'être dépendant de la direction....). Dans un milieu biréfringent, l'indice de réfraction (L'indice de réfraction d'un milieu à une longueur d'onde donnée mesure le facteur de...) n'est pas unique, il dépend des directions de propagation et de polarisation ( la polarisation des ondes électromagnétiques ; la polarisation dûe aux moments...) du rayon lumineux.
Un effet spectaculaire de la biréfringence est la double réfraction par laquelle un rayon lumineux pénétrant dans le cristal (Cristal est un terme usuel pour désigner un solide aux formes régulières, bien que...) est divisé en deux. C'est pourquoi, sur la photographie ci-contre, l'inscription apparaît en double après avoir traversé le cristal de calcite (La calcite est un minéral chimique ou biochimique (biominéralisation) composé de...). Ce phénomène est caractéristique des milieux biréfringents, à tel point (Graphie) que les termes « double réfraction » et « biréfringence » sont parfois confondus. Le second tire d'ailleurs son étymologie du premier.
Lorsqu'on parle de biréfringence, on sous-entend en général biréfringence linéaire, c'est-à-dire qu'on considère les indices de réfraction pour des ondes polarisées rectilignement. Par analogie, on utilise parfois l'expression biréfringence circulaire pour désigner l'activité (Le terme d'activité peut désigner une profession.) optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement...). En effet, ces deux phénomènes peuvent se décrire de manière très similaire, mais ils ont des origines microscopiques différentes.
Dans le cas particulier des matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en...) biréfringents uniaxes, on appelle également biréfringence la valeur de la différence entre les indices de réfraction extraordinaire et ordinaire du matériau (voir la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) de ces termes). La biréfringence peut ainsi être positive ou négative.
On attribue généralement au danois Rasmus Bartholin la découverte de la biréfringence du spath d'Islande (L’Islande, (en islandais Ísland, littéralement « terre de...). Ce minéral (Un minéral est une substance normalement inorganique, plus rarement organique, formée...) possède une biréfringence très forte qui permet des observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les...) à l’œil nu, observations que Bartholin décrit dans son ouvrage « Experimenta crystalli Islandici » en 1670. En 1690, le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la...) hollandais Christiaan Huygens suppose que pour l'une des images observées à travers le cristal, les rayons suivent un trajet ordinaire. Mais, pour la seconde image, le trajet des rayons n (Les rayons N sont d'hypothétiques rayons découverts par le physicien René Blondlot. L'erreur,...)'obéit pas aux lois normales de la réfraction et il propose d'utiliser des ellipsoïdes comme surfaces d'ondes. Il découvre également que la double réfraction disparaît, lorsque les rayons réfractés dans le plan de section principale sont parallèles à la direction de l'axe optique du cristal.
L'indice de réfraction d'un milieu est lié à sa permittivité (La permittivité, plus précisément permittivité diélectrique, est une...) qu'on décrit mathématiquement par un tenseur (Tenseur) d'ordre 2. Ce tenseur peut être représenté graphiquement par un ellipsoïde dont les longueurs des demi-axes sont les indices de réfraction principaux. C'est ce qu'on appelle l'ellipsoïde des indices. Cette construction graphique permet de visualiser la relation entre le champ électrique (En physique, on désigne par champ électrique un champ créé par des particules...) E et le déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles...) électrique D ainsi que les directions des axes optiques.
Soit un milieu optiquement anisotrope. L'indice optique n correspondant à la direction du vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) unitaire d'excitation électrique vérifie l'équation .
En notant x = n.p, y = n.q, z = n.r, on obtient l'équation de l'ellipsoïde des indices :
où x,y,z sont bien les coordonnées des points appartenant à un ellipsoïde. Les indices nx, ny et nz sont donnés par les composantes , et du tenseur de permittivité électrique du milieu dans ses axes propres, dans l'approximation d'un milieu non magnétique : (avec μr = 1 et )
Il s'agit de travailler en cartésiennes pour exprimer les équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois...) en fonction du vecteur . Une fois démontré que , on projette cette équation sur en utilisant . Les relations entre la vitesse de la lumière, l'indice optique et les permittivités électriques relatives et absolues permettent de conclure.
On effectue les approximations suivantes pour exprimer les équations de maxwell :
Il s'agit tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) d'abord de calculer, en coordonnées cartésiennes (Un système de coordonnées cartésiennes permet de déterminer la position d'un...), la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) pour une onde plane progressive monochromatique (On qualifie de monochromatique (du grec mono-, un seul et chromos, couleur) une lumière dont la...) de deux façons différentes. Cette quantité s'écrit .
En utilisant les équations de Maxwell, on peut l'écrire .
En utilisant les propriétés vectorielles du produit mixte, on peut l'écrire .
D'où l'équation de départ du raisonnement :
Plaçons-nous dans le référentiel propre du tenseur . Il s'assimile alors à une matrice diagonale 3*3. En indiçant par i les coordonnées cartésiennes (x,y,z) du repère, on obtient pour chaque coordonnée l'équation .
On divise ensuite l'équation par et on la multiplie par Di, sachant que . En sommant les 3 relations obtenues (une pour chaque coordonnée), on a
Le membre de droite correspond au produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) , c'est-à-dire . Puisque le membre de gauche est nul, on peut éliminer le facteur et remplacer par qui lui est proportionnel. De même, en faisant apparaître la vitesse de la lumière dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) et sachant que (avec μr = 1 vu que le matériau est considéré non magnétique aux longueurs d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible...) considérées), on obtient après avoir tout divisé par n2 :
On peut encore écrire cette égalité . Introduisant maintenant le vecteur unitaire de coordonnées (p,q,r). En divisant l'égalité précédente par D2, on obtient .
En notant x = n.p, y = n.q, z = n.r, on obtient l'équation de l'ellipsoïde des indices :
Considérons une onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation...) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...) électromagnétique. L'analyse vectorielle (L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de...) (en cartésiennes) des équations de Maxwell permet de conclure que les vecteurs suivants sont coplanaires :
Le plan auquel appartiennent ces vecteurs est le plan de polarisation de l'onde. C'est le vecteur qui est perpendiculaire à dans les milieux matériels, et non comme c'est habituellement le cas dans le vide.
De plus, on montre que le vecteur est normal à l'ellipsoïde au point d'intersection avec .
Le vecteur normal à l'ellipsoïde en un de ses points de coordonnées (x,y,z) est où l'équation de l'ellipsoïde est f(x,y,z) = 0. Le vecteur gradient au point considéré est où (x,y,z) sont les coordonnées du vecteur . Chacune de ses composantes di () est reliée à par et les composantes de sont reliées à celles de par où .
Tenant compte de cette condition et de la coplanarité de , et , seules deux orientations sont géométriquement permises pour . En effet, l'intersection du plan d'onde (plan perpendiculaire à , auquel appartient donc ) avec l'ellipsoïde est une ellipse. Les conditions géométriques sont remplies dans 2 cas : lorsque est selon le petit axe et lorsqu'il est selon le grand axe (En géométrie, le grand axe d'une ellipse est un paramètre utilisé pour...) de cette ellipse.