Discriminant - Définition et Explications

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Discriminant d'un anneau d'entiers algébrique

La théorie algébrique des nombres utilise la notion de discriminant à partir d'une définition qui semble bien différente. Elle correspond à un déterminant d'une forme quadratique et s'applique à un anneau A. Les deux définitions sont néanmoins intimement corrélées. S'il existe un entier algébrique a tel que l'anneau A est égal à Z[a], ici Z désigne les entiers relatifs, alors le polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer...) de a possède ses coefficients dans Z. Son discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des...) au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) des polynômes est égal au discriminant de l'anneau au sens de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent...) algébrique des nombres.

Polynôme de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) quelconque

L'extraction de racine d'un polynôme à l'aide du discriminant ne se généralise pas aux degrés supérieurs à deux. Le discriminant d'un polynôme garde néanmoins une utilité.

Dans le cas des équations de degré deux, le discriminant est nul si et seulement si le polynôme possède une racine multiple. L'existence de racine multiple peut avoir d'importantes conséquences. En algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des...), la présence de racine multiple dans le polynôme minimal d'un endomorphisme modifie sa nature. Cette présence interdit la diagonalisation (La diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire. Il s'applique à des endomorphismes d'un espace vectoriel. Il consiste à rechercher une base de l'espace vectoriel constituée de vecteurs propres.). Sur les extensions des nombres rationnels, les polynômes irréductibles, c'est-à-dire qui ne sont pas factorisables, n'ont jamais de racine multiple (cf l'article Extension séparable), cette situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre...) n'est pas vraie pour tous les corps. Dans le cadre de la théorie de Galois (En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est l'étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d'une...), cette distinction est importante, les résultats sont différents selon la configuration.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) et propriétés

La généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce...) du discriminant d'un polynôme de degré quelconque offre un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des...) permettant de déterminer si ses racines sont simples ou multiples. Dans ce paragraphe A désigne un anneau commutatif, unitaire et intègre et P[X] un polynôme de degré n dont les coefficients sont notés de la manière suivante :

P = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0\;\text{et}\quad a_n \neq 0

La dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression...) formelle de P est notée P' , elle existe même si A est différent du corps des nombres réels ou complexes. Enfin R désigne le résultant, c'est-à-dire une application qui à deux polynômes associe un élément de A.

  • Le discriminant de P, en général noté Δ(P), est la valeur définie par la formule suivante lorsque deg(P') = n − 1 (avec n = deg(P)) :
\Delta(P) = \frac{(-1)^\frac{n(n-1)}{2}}{a_n}R(P,P')

Le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace...) de normalisation possède son importance, un discriminant peut aussi être interprété comme un volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) orienté. L'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) d'une telle approche devient évidente lors de l'analyse du discriminant d'une forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions...) ou d'un anneau de Dedekind dans le cadre de la théorie algébrique des nombres.

Certains résultats de la théorie de Galois s'appliquent au discriminant, il faut alors étendre l'anneau A des coefficients. Comme A est commutatif unitaire intègre, il possède un corps des fractions F commutatif et P peut être considéré comme un polynôme à coefficients dans F. Ici K désigne le corps de décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent sous...) de P, c'est-à-dire le plus petit corps contenant F et toutes les racines de P, à un isomorphisme près. Le discriminant possède la propriété suivante :

  • Le discriminant du polynôme P est non nul si et seulement il n'admet aucune racine multiple.

La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...) est une conséquence générale du résultant démontrée dans l'article détaillé. Si un polynôme n'admet aucune racine multiple, il est qualifié de séparable.

Il existe une formule différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans...) permettant d'exprimer le discriminant, à l'aide des racines du polynôme :

  • Soit αi pour i variant de 1 à n, les racines du polynôme P, le discriminant vérifie l'égalité suivante :
\Delta(P)=a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(\alpha_i-\alpha_j)^2}

Cette propriété démontre la précédente, elle dérive d'une caractéristique du résultant de deux polynômes. Il est nul si et seulement si les deux polynômes ne sont pas premiers entre eux.

Exemples

  • Pour les polynômes du second degré et avec les notations du premier paragraphe, on obtient :
\Delta(P) = \frac{(-1)^\frac{2(2-1)}{2}}{a}\begin{vmatrix}  & a & 2a & 0  &\\  & b & b  & 2a &\\  & c & 0  & b  &\\  \end{vmatrix} =  -\begin{vmatrix}  & 1 & 2  & 0 &\\  & b & b  & 2a&\\  & c & 0  & b &\\ \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} b & 2a &\\ 0 & b &\\ \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} b & 2a &\\ c & b &\\ \end{vmatrix} =  b^2 - 4ac
  • Pour les polynômes de degré trois on considère généralement le polynôme normalisé, c'est-à-dire celui dont le monôme (À la fin XIXe siècle, le monôme était une manifestation étudiante sous la forme d'un cortège ou d'une procession en file indienne. Il est généralement effectué la main sur l'épaule et rythmé par...) dominant est égal à 1. et avec les notations suivantes :
P = X^3 + aX^2 + bX + c \;

On obtient :

\Delta(P) = (-1)^\frac{3(3-1)}{2}\begin{vmatrix}  & 1 & a & b & c & 0\\  & 0 & 1 & a & b & c &\\  & 3 & 2b & c & 0 & 0 &\\  & 0 & 3 & 2b & c & 0 &\\  & 0 & 0 & 3 & 2b & c &\\ \end{vmatrix} = a^2b^2 + 18abc - 4b^3 - 4a^3c - 27c^2\;

L'expression est un peu complexe, pour cette raison, la tradition est de réaliser des substitutions pour obtenir un polynôme de la forme suivante, le discriminant est alors plus simple :

P = X^3 + pX + q \quad\text{et}\quad \Delta(P) = -4p^3 - 27q^2\;

Dans le cas d'une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner...) polynomiale de degré 3 à coefficients réels, si le discriminant est strictement négatif l'équation admet trois solutions réelles, si le déterminant est nul une racine est multiple et toutes sont réelles, si le déterminant est strictement positif, l'équation n'admet qu'une solution réelle, les deux autres sont complexes conjugués.

  • Les courbes elliptiques sont un cas particulier de polynômes du troisième degré à deux variables. Pour le cas simple d'une courbe elliptique (En mathématiques, une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique, munie entre autres propriétés d'une addition...) de la forme y2 = x3 + ax + b, où les coefficients a,b sont des nombres réels, le discriminant est défini par Δ = − 16(4a3 + 27b2).

Expression générale

L'expression générale du discriminant du polynôme P défini par :

P = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0\;

est la suivante :

\Delta(P)=(-1)^\frac{n(n-1)}{2}\begin{vmatrix}   1       & 0      & \cdots & 0      & n           & 0           & \cdots & 0           \\ a_{n-1} & a_n    & \ddots & \vdots & (n-1)a_{n-1}& na_n        & \ddots & \vdots      \\ \vdots  & a_{n-1}& \ddots & 0      & \vdots      & (n-1)a_{n-1}& \ddots & 0           \\ a_0     & \vdots & \ddots & a_n    & a_0         & \vdots      & \ddots & na_n        \\ 0       & a_0    &        & a_{n-1}& 0           & a_0         &        & (n-1)a_{n-1}\\ \vdots  & \ddots & \ddots & \vdots &\vdots       & \ddots      & \ddots & \vdots      \\ 0       & \cdots & 0      & a_0    &0            & \cdots      & 0      & a_0         \\ \end{vmatrix}
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