Mercredi 11 Décembre 2024
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Électrostatique magnétostatique (formulaire) - Définition

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- Introduction - Electrostatique - Magnétostatique

Introduction
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Électro- Magnéstatique
Physique quantique
Thermodynamique
Mécanique des fluides
Mécanique
Relativité restreinte
Trou noir
Analyse vectorielle

Electrostatique

Force électrostatique

La force électrostatique entre deux charges ponctuelles (q1,q2) est donnée par la loi de Coulomb :

\vec{F}_1(2) = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r_{12}^2}\frac{\vec{r}_{12}}{\|\vec{r}_{12}\|}=-\vec{F}_2(1) avec \vec{r}_{12}=\vec{r}_2- \vec{r}_1 =-(\vec{r}_1- \vec{r}_2)=-\vec{r}_{21} et \epsilon_0 = 8,8537.10^{-12}farad/m ; \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}=9.10^9 N m^2C^{-2}

Deux charges de 1 coulomb situées à 1 mètre l'une de l'autre se repoussent avec une force de 9.109N et cette force maintiendrait en lévitation quasiment un million de tonnes ! Alors que un courant de 1 ampère correspond au passage de 1 coulomb par seconde. Le coulomb est adapté lorsque l'on parle de courant électrique et d'énergie électrique: 1 watt = 1 coulomb x 1 volt Un électron a une charge de 1,6.10 − 19C et les énergies le concernant s'expriment en 1 électron x 1 volt = 1eV

Champ électrostatique

Le champ électrostatique créé en 2 par une charge ponctuelle q1 située en 1 (la charge pouvant être positive ou négative) vaut, en unités SI :

\vec{E_1}(2) = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r_{12}^2}\frac{\vec{r}_{12}}{\|\vec{r}_{12}\|}= \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 }\;\;\frac{\vec{r}_{12}} {r_{12}^3}

La force s'exerçant sur une charge q2 plongée dans ce champ au point 2 vaut alors : \vec{F_1}(2) = q_2 \vec{E_1}(2)

Champ gradient d'un potentiel

Avec \vec{r}_{1}=\vec{0} \ et\ \vec{r}_2 = \vec{r} C'est-à-dire en plaçant l'origine sur la charge pour simplifier les écritures et les calculs, et en remarquant que le calcul mathématique des dérivées partielles donne pour r non nul:

\begin{matrix} \\ \frac {\partial \left( \frac{1}{r} \right)} {\partial x}= \frac {\partial \left( \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{1/2}} \right)} {\partial x}= - \frac {x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}= - \frac {x}{r^3 } \\ \frac {\partial \left( \frac{1}{r} \right)} {\partial y}=\frac {\partial \left( \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{1/2}} \right)} {\partial y}= - \frac {y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}=- \frac {y}{r^3} \\ \frac {\partial \left( \frac{1}{r} \right)} {\partial z}=\frac {\partial \left( \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{1/2}} \right)} {\partial z}= - \frac {z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}=- \frac {z}{r^3 } \\\end{matrix}

soit : \vec \nabla \ (\frac {1}{r})= \left(\frac {\partial } {\partial x}(\frac {1}{r})\right) \vec {i}+ \left(\frac {\partial } {\partial y}(\frac {1}{r})\right) \vec {j}+\left(\frac {\partial } {\partial z}(\frac {1}{r})\right) \vec {k} =\left(- \frac {x}{r^3 } \right) \vec {i}+ \left(- \frac {y}{r^3 } \right) \vec {j}+\left(- \frac {z}{r^3 } \right) \vec {k}

finalement : \overrightarrow {grad} ( \frac {1}{r}) =- \frac{\vec r}{r^3}

Ce résultat est une égalité purement mathématique et on obtient l'expression correspondante de la physique en simplement multipliant \overrightarrow {grad} ( \frac {1}{r}) =- \frac{\vec r}{r^3} par la constante physique : \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_o} pour une charge q1 ponctuelle :

\vec {E}(x, y, z) = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_o} \left(\frac{\vec r}{r^3} \right) = - \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_o} \overrightarrow {grad} \left( \frac{1}{r}\right)= - \overrightarrow {grad} \left( \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{1}{r}\right)= - \overrightarrow {grad} \left( V(x, y, z) \right)

Tout ceci étant linéaire, c'est encore vérifié pour une distribution quelconque de charges.

Champ à divergence nulle

\mathrm{div} \vec {E}(x, y, z) = \vec \nabla \cdot \vec{E}(x, y, z) = \frac {\partial E_x} {\partial x} + \frac {\partial E_y} {\partial y} + \frac {\partial E_z} {\partial z}
= \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0}(\frac {\partial (\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}})} {\partial x} + \frac {\partial (\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}})} {\partial y} + \frac {\partial (\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}})} {\partial z})

Or :

\begin{matrix} \\ \frac {\partial \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}} {\partial x}= x\cdot\frac {\partial \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}}{\partial x} + \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = \frac{-3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} + \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \\ \frac {\partial \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}} {\partial y}= y\cdot\frac {\partial \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}}{\partial y} + \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = \frac{-3y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} + \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \\ \frac {\partial\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}} {\partial z}= z\cdot\frac {\partial \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}}{\partial z} + \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = \frac{-3z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} + \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\end{matrix}

L'addition de ces trois lignes donne :

\frac{-3x^2-3y^2-3z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} + \frac{1+1+1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = \frac{-3+3}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = 0 si x^2+y^2+z^2 \neq 0 \ ( \vec{r}_{12} \neq 0 )

On a bien montré que les champs en \frac{\vec{r}_{12}}{\|\vec{r}_{12}\|^3} sont tels que leur divergence est nulle : \mathrm{div} (\frac{\vec{r}_{12}}{\|\vec{r}_{12}\|^3}) = 0

Autre notation : \mathrm{div} \left(\frac{\vec {PM}}{\|\vec {PM}\|^3}\right) = 0 et donc : \mathrm{div} \vec {E}(x,y,z) = \mathrm{div} \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0}\left(\frac{\vec {PM}}{\|\vec {PM}\|^3}\right) = 0 seulement si la charge est ponctuelle (sans sens physique).

Sinon : \mathrm{div} \vec {E}(x,y,z) = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0} \mathrm{div} \left(\frac{\vec {PM}}{\|\vec {PM}\|^3}\right) + \left(\frac{\vec {PM}}{\|\vec {PM}\|^3}\right) . \mathrm{grad}\frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0} = \mathrm{grad}\left(\frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0}\right) . \frac{\vec{r}_{12}}{\|\vec{r}_{12}\|^3} = \frac{q_1}{\varepsilon_0} à l'aide du théorème du gradient. Sinon voir plus bas la relation de Maxwell-Gauss.

Champ à rotationnel nul

\overrightarrow{rot} \vec {E}(x, y, z) = \vec \nabla \ \times\vec{E}(x, y, z) = \left(\frac {\partial E_z} {\partial y}-\frac {\partial E_y} {\partial z}\right) \vec {i}+ \left(\frac {\partial E_x} {\partial z}-\frac {\partial E_z} {\partial x}\right) \vec {j} +\left(\frac {\partial E_y} {\partial x}-\frac {\partial E_x} {\partial y}\right) \vec {k}

Or :

\begin{matrix} \\ \frac {\partial \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}} {\partial z}= y\cdot\frac {\partial \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}}{\partial z} = \frac{-3yz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} \\ \frac {\partial \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}} {\partial y}= z\cdot\frac {\partial \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}}{\partial y} = \frac{-3zy}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} \end{matrix}

La soustraction de ces deux dernières lignes donne :

\left(\frac {\partial E_z} {\partial y}-\frac {\partial E_y} {\partial z}\right)=\frac{-3yz+3zy}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} =0

De même avec les deux autres composantes de y et z du rotationnel.\\ On a bien montré que les chanps en \frac{\vec{r}_{12}}{\|\vec{r}_{12}\|^3} sont tels que leur rotationnel est nul : \overrightarrow {rot} (\frac{\vec{r}_{12}}{\|\vec{r}_{12}\|^3}) = 0

Autre notation : \overrightarrow {rot} \left(\frac{\vec {PM}}{\|\vec {PM}\|^3}\right) = 0

Potentiel à Laplacien nul

Avec : \vec {E_1}(2) =\frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\vec{r}_{12}}{\|\vec{r}_{12}\|^3}= - \overrightarrow {grad} \left( V_1(2) \right) et div \left(\frac{\vec{r}_{12}}{\|\vec{r}_{12}\|^3}\right) = 0

On obtient que : div \left( \overrightarrow {grad} \left( V_1(2) \right) \right) = 0 sauf, bien sûr, là où il y a des charges :

\Delta V_1(2)=\nabla^2V_1(2) =\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) V_1(2) =0 .

qu'il faut résoudre.

Résolution de l'équation de Laplace (Δ V=0)

En cas de symétrie cylindrique ou sphérique de la distribution de charges rappelons l'expression de Δ :

En coordonnées cylindriques :

\nabla^2 V = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial V \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 V \over \partial \phi^2} + {\partial^2 V \over \partial z^2 }

En coordonnées sphériques :

\nabla^2 V = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial V \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial V \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 V \over \partial \phi^2}

Donc, en cas de symétrie cylindrique V ne peut dépendre ni de θ ni de z, et dans le cas de symétrie sphérique V ne peut dépendre ni de θ ni de φ, les équations à résoudre deviennent:

En coordonnées cylindriques :

\nabla^2 V = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial V \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 V \over \partial \phi^2} + {\partial^2 V \over \partial z^2 } = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial V \over \partial r} \right)= 0

En coordonnées sphériques :

\nabla^2 V = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial V \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial V \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 V \over \partial \phi^2}= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial V \over \partial r} \right) = 0

Toutes les deux très simples à résoudre puisque :

En cylindriques : {\partial \over \partial r} \left( r {\partial V \over \partial r} \right)= 0\cdot r =0 donne : \left( r {\partial V \over \partial r} \right)= Cc soit : \left( {\partial V \over \partial r} \right)= \frac{Cc}{r} et en intégrant encore : V(r)=Cc \cdot ln(r) + Vo

En sphériques: : {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial V \over \partial r} \right) = 0\cdot r^2 = 0 donne:: \left( r^2 {\partial V \over \partial r} \right) = Cs soit : \left( {\partial V \over \partial r} \right)= \frac{Cs}{r^2} et en intégrant encore: V(r)=-\frac{Cc}{r} + Vo

Critique sur la notion de charge ponctuelle

La loi de Coulomb qui exprime que l'action d'une charge sur une autre est en carré de l'inverse de la distance entre les charges ne s'applique que lorsque les charges sont éloignées ; cette variation conduit à une valeur infinie si l'on prend une distance nulle. L'infini n'ayant pas de sens il est préférable d'exclure l'existence de charges ponctuelles. Si on suppose une densité de charge volumique ρ ou surfacique σ ayant la symétrie sphérique, on montre, par application du théorème mathématiques de Green que :

\int\oint_{S} \vec E (x,y,z)\, \vec {d S}= \int\int\int_{V} div(\vec E(x,y,z)) dxdydz

Le flux du champ électrique à travers une surface S fermée est l'intégrale sur le volume contenu dans S de la divergence du champ. Si de plus on applique le théorème de Gauss qui permet de trouver ce flux en fonction des charges intérieures :

\int\oint_{S} \vec E(x,y,z)\, \vec {d S}= \frac{Q_i}{\epsilon_o}=\int\int\int_{V} \frac{\rho (x,y,z)}{\epsilon_o} dxdydz

On obtient :

      

    
    div(\vec E (x,y,z))=\frac{\rho (x,y,z)}{\epsilon_o}
 que l'on appelle « expression locale de la loi de Coulomb » ou encore « équation de Maxwell-Gauss » .

Résolution de l'équation de Poisson (Δ V= -ρ/ε)

Là aussi limitons la résolution au cas d'une symétrie :

En cylindriques : {\partial \over \partial r} \left( r {\partial V \over \partial r} \right)= -\frac{\rho}{\epsilon}\cdot r donne : \left( r {\partial V \over \partial r} \right)= -\frac{\rho}{2\epsilon}\cdot r^2 + K soit : \left( {\partial V \over \partial r} \right)= -\frac{\rho}{2\epsilon}\cdot {r}+ \frac{K}{r} et en intégrant encore : V(r)=-\frac{\rho}{4\epsilon}\cdot r^2 + K\cdot ln(r) + L

En sphériques: {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial V \over \partial r} \right) = - \frac{\rho}{\epsilon} \cdot r^2 donne: E_r(r)= - {\partial V \over \partial r} = \frac{\rho}{3\epsilon}\cdot r - \frac{K}{r^2} (on exclue la possibilité d'avoir un champ infini et donc on choisit K = 0 )

soit : E_r(r)= - \left( {\partial V \over \partial r} \right)= \frac{\rho}{3\epsilon}\cdot r

et en intégrant encore : V(r)=-\frac{\rho}{6\epsilon}\cdot r^2 + V_o

Principe de superposition

Le champ créé par plusieurs charges est additif (principe de superposition) :

\vec{E_T} = \vec{E_1} + \vec{E_2} + \vec{E_3} + ...

Là aussi div \vec {E_T}(2) = 0

Distribution de charges continue

Pour une distribution de charges continue dans l'espace, le champ vaut :

\vec{E}(x,y,z) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o}\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int\frac{\rho(x_i,y_i,z_i)\vec{r}}{r^3} dx_idy_idz_i où ρ est la densité volumique de charge en i, \vec{r}=(x-x_i,y-y_i,z-z_i) est le vecteur allant de i au point (x, y, z) ; autour du point i il y a une charge ρ dxidyidzi.

\vec{E}(x, y, z) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o}\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int\frac{\rho(x_i, y_i, z_i)\vec{r}}{r^3} dx_idy_idz_i =-\vec{grad}\left({4 \pi \epsilon_o}\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int\frac{\rho(x_i, y_i, z_i)}{r} dx_idy_idz_i \right)
Magnétostatique
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