La force électrostatique entre deux charges ponctuelles (q1,q2) est donnée par la loi de Coulomb :
avec
et
Deux charges de 1 coulomb situées à 1 mètre l'une de l'autre se repoussent avec une force de 9.109N et cette force maintiendrait en lévitation quasiment un million de tonnes ! Alors que un courant de 1 ampère correspond au passage de 1 coulomb par seconde. Le coulomb est adapté lorsque l'on parle de courant électrique et d'énergie électrique: 1 watt = 1 coulomb x 1 volt Un électron a une charge de 1,6.10 − 19C et les énergies le concernant s'expriment en 1 électron x 1 volt = 1eV
Le champ électrostatique créé en 2 par une charge ponctuelle q1 située en 1 (la charge pouvant être positive ou négative) vaut, en unités SI :
La force s'exerçant sur une charge q2 plongée dans ce champ au point 2 vaut alors :
Champ gradient d'un potentiel
Avec
C'est-à-dire en plaçant l'origine sur la charge pour simplifier les écritures et les calculs, et en remarquant que le calcul mathématique des dérivées partielles donne pour r non nul:
soit :
finalement :
Ce résultat est une égalité purement mathématique et on obtient l'expression correspondante de la physique en simplement multipliant
par la constante physique :
pour une charge q1 ponctuelle :
Tout ceci étant linéaire, c'est encore vérifié pour une distribution quelconque de charges.
En cas de symétrie cylindrique ou sphérique de la distribution de charges rappelons l'expression de Δ :
En coordonnées cylindriques :
En coordonnées sphériques :
Donc, en cas de symétrie cylindrique V ne peut dépendre ni de θ ni de z, et dans le cas de symétrie sphérique V ne peut dépendre ni de θ ni de φ, les équations à résoudre deviennent:
En coordonnées cylindriques :
En coordonnées sphériques :
Toutes les deux très simples à résoudre puisque :
En cylindriques :
donne :
soit :
et en intégrant encore :
En sphériques: :
donne::
soit :
et en intégrant encore:
Critique sur la notion de charge ponctuelle
La loi de Coulomb qui exprime que l'action d'une charge sur une autre est en carré de l'inverse de la distance entre les charges ne s'applique que lorsque les charges sont éloignées ; cette variation conduit à une valeur infinie si l'on prend une distance nulle. L'infini n'ayant pas de sens il est préférable d'exclure l'existence de charges ponctuelles. Si on suppose une densité de charge volumique ρ ou surfacique σ ayant la symétrie sphérique, on montre, par application du théorème mathématiques de Green que :
Le flux du champ électrique à travers une surface S fermée est l'intégrale sur le volume contenu dans S de la divergence du champ. Si de plus on applique le théorème de Gauss qui permet de trouver ce flux en fonction des charges intérieures :
On obtient :
que l'on appelle « expression locale de la loi de Coulomb » ou encore « équation de Maxwell-Gauss » .