Équation de Laplace - Définition et Explications

Article d'analyse vectorielle
Objets d'étude
Champ vectoriel Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace – de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques...)
Opérateurs
Nabla (Nabla, noté , est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction...) Gradient
Rotationnel Divergence
Laplacien scalaire Bilaplacien
Laplacien vectoriel D'alembertien
Théorèmes
de Green de Stokes
de Helmholtz de flux-divergence
du gradient du rotationnel

En analyse vectorielle (L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de...), l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) de Laplace est une équation aux dérivées partielles du second ordre, dont le nom est un hommage au physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la...) mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) Pierre-Simon Laplace (Pierre-Simon Laplace, né le 23 mars 1749 à Beaumont-en-Auge (Calvados), mort le 5 mars 1827 à...).

Introduite pour les besoins de la mécanique newtonienne (La mécanique newtonienne est une branche de la physique. Depuis les travaux d'Albert Einstein,...), l'équation de Laplace apparait dans de nombreuses autres branches de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) théorique : astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer...), électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre...), mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides...), propagation de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent :...), diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de...), mouvement brownien (Le mouvement brownien, ou processus de Wiener est une description mathématique du mouvement...), mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de...).

Toute fonction solution de l'équation de Laplace est dite harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique...).

Equation de Laplace à trois dimensions

En coordonnées cartésiennes dans un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) 3, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à trois variables réelles \varphi(x,y,z) qui vérifient l'équation aux dérivées partielles[1] du second ordre :

\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} \ + \ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} \ =   \ 0

Pour simplifier l'écriture, on introduit un opérateur différentiel (Un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions...) noté Δ et appelé opérateur de Laplace, ou simplement laplacien, tel que l'équation aux dérivées partielles précédente s'écrive de façon compacte :

\Delta \varphi \ = \ 0

Equation de Laplace à deux dimensions

En coordonnées cartésiennes dans un espace euclidien de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) 2, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à deux variables réelles V(x,y) qui vérifient :

\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} \ = \ 0

On montre que toute fonction holomorphe donne des solutions de l'équation de Laplace à deux dimensions par leur partie réelle et par leur partie imaginaire ; de plus, ces solutions sont orthogonales en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) point (Graphie).

Rappels sur les fonctions holomorphes

Toute fonction polynomiale à coefficients complexes est holomorphe sur \mathbb C ; aussi le sont les fonctions trigonométriques et la fonction exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus...). (Les fonctions trigonométriques sont en fait relativement proches de la fonction exponentielle puisqu'elles peuvent être définies à partir de celle-ci en utilisant les formules d'Euler).

  • La fonction logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans ,...) est holomorphe sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des nombres complexes privé de la demi-droite (Une demi-droite est comme son nom l’indique la moitié d’une droite, à savoir...) des réels négatifs (on peut choisir une demi-droite quelconque issue de 0 ).
  • La fonction racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le...) peut être définie par
\sqrt{z} = e^{{1 \over 2} \ln{z}}
et est ainsi holomorphe partout où la fonction logarithme l'est.
  • La fonction inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) z\mapsto 1/z est holomorphe sur \mathbb C^*.
  • Les fonctions trigonométriques réciproques ont de la même manières des coutures et sont holomorphes partout sauf aux coutures.

Équation de Laplace (En analyse vectorielle, l'équation de Laplace est une équation aux dérivées partielles du...) & fonctions holomorphes

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) 1

Toute fonction analytique est solution de l'équation de Laplace.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...)

On introduit la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) complexe :z = x + iyi^2 = - \ 1, et on définit la fonction holomorphe F(z). Par dérivation , on obtient que :

\frac{\partial F}{\partial x} \ = \ \frac{d F}{dz} \ \frac{\partial z}{\partial x} \ = \ F'(z)

alors que :

\frac{\partial F}{\partial y} \ = \ \frac{dF}{dz} \ \frac{\partial z}{\partial y} \ = \ i \ F'(z).

En dérivant une seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) fois, on obtient d'une façon similaire :

\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \ = \ F''(z)

alors que :

\frac{\partial^2 F}{\partial y^2} \ = \ - \ F''(z)

La somme est nulle, donc la fonction holomorphe F est bien une solution de l'équation de Laplace :

\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} \ = \ 0

Remarque : la fonction holomorphe admet toujours une décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) en partie réelle et partie imaginaire :

F(z) \ = \ V(x,y) \ + \ i \ \phi(x,y)

En annulant la partie réelle et la partie imaginaire séparément, on obtient deux équations de Laplace indépendantes :

\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0 \qquad \mathrm{et :} \qquad \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=0

Théorème 2

Les équipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:)

Démonstration

On peut écrire :

\frac{\partial F}{\partial x}\ = \ F'(x+iy) \ = \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \ + \ i \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x}

et :

\frac{\partial F}{\partial y} \ = \ i F'(x+iy) \ = \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} \  + \ i \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y}

On en déduit :

\frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \ = \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y} \qquad \mathrm{et :} \qquad \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x} \ = \ - \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y}

soit finalement :

\frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \cdot \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x} \ + \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} \cdot \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y} \ = \ 0

On reconnait là le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) des deux vecteurs :

\vec \mathrm{grad} \ (V) \cdot\vec \mathrm{grad} \ (\Phi) \ = \ 0

On en déduit que les courbes à {V(x,y) = constante} et {φ(x,y) = constante} sont perpendiculaires (transformation conforme). Ce qui fait que si {V(x,y) = constante} représente les courbes de même potentiel, alors {φ(x,y) = constante} représente les lignes de champs électrique en électrostatique

Equation de Poisson

Si le membre de droite est une fonction donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) f(x,y,z), on obtient l'équation de Poisson :

\Delta \varphi = f
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