Équation de Laplace
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
Article d'analyse vectorielle
Objets d'étude
Champ vectoriel Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace – de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps est le plus souvent couvert d'écailles. On les trouve abondamment aussi bien en eau...)
Opérateurs
Nabla (Nabla, noté , est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse qu'une connexion de Koszul en géométrie différentielle. Les deux...) Gradient
Rotationnel Divergence
Laplacien scalaire Bilaplacien
Laplacien vectoriel D'alembertien
Théorèmes
de Green de Stokes
de Helmholtz de flux-divergence
du gradient du rotationnel

En analyse vectorielle (L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications...), l'équation de Laplace (En analyse vectorielle, l'équation de Laplace est une équation aux dérivées partielles du second ordre, dont le nom est un hommage au physicien mathématicien Pierre-Simon Laplace.) est une équation aux dérivées partielles du second ordre, dont le nom est un hommage au physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces qui les relient. Le mot physicien dérive du grec, qui...) mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son...) Pierre-Simon Laplace (Pierre-Simon Laplace, né le 23 mars 1749 à Beaumont-en-Auge (Calvados), mort le 5 mars 1827 à Paris, était un mathématicien, astronome et physicien français particulièrement célèbre par son...).

Introduite pour les besoins de la mécanique newtonienne (La mécanique newtonienne est une branche de la physique. Depuis les travaux d'Albert Einstein, elle est souvent qualifiée de mécanique classique.), l'équation de Laplace apparait dans de nombreuses autres branches de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance...) théorique : astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle ne doit...), électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre elles, c’est-à-dire de leurs interactions.), mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des...), propagation de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !), diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de « distribution », de « mise à disposition »...), mouvement brownien, mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de physique quantique. Cette...).

Toute fonction solution de l'équation de Laplace est dite harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les « courants harmoniques », qui sont des perturbations du courant électrique...).

Equation de Laplace à trois dimensions

En coordonnées cartésiennes dans un espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) 3, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à trois variables réelles \varphi(x,y,z) qui vérifient l'équation aux dérivées partielles[1] du second ordre :

\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} \ + \ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} \ =   \ 0

Pour simplifier l'écriture, on introduit un opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) noté Δ et appelé opérateur de Laplace, ou simplement laplacien, tel que l'équation aux dérivées partielles précédente s'écrive de façon compacte :

\Delta \varphi \ = \ 0

Equation de Laplace à deux dimensions

En coordonnées cartésiennes dans un espace euclidien de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) 2, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à deux variables réelles V(x,y) qui vérifient :

\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} \ = \ 0

On montre que toute fonction holomorphe donne des solutions de l'équation de Laplace à deux dimensions par leur partie réelle et par leur partie imaginaire ; de plus, ces solutions sont orthogonales en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point (Graphie).

Rappels sur les fonctions holomorphes

Toute fonction polynomiale à coefficients complexes est holomorphe sur \mathbb C ; aussi le sont les fonctions trigonométriques et la fonction exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions...). (Les fonctions trigonométriques sont en fait relativement proches de la fonction exponentielle puisqu'elles peuvent être définies à partir de celle-ci en utilisant les formules d'Euler).

  • La fonction logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme...) est holomorphe sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des nombres complexes privé de la demi-droite (Une demi-droite est comme son nom l’indique la moitié d’une droite, à savoir l’ensemble des points d’une droite à partir d'un point M de celle-ci. Par exemple la...) des réels négatifs (on peut choisir une demi-droite quelconque issue de 0 ).
  • La fonction racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.) peut être définie par
\sqrt{z} = e^{{1 \over 2} \ln{z}}
et est ainsi holomorphe partout où la fonction logarithme l'est.
  • La fonction inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y...) z\mapsto 1/z est holomorphe sur \mathbb C^*.
  • Les fonctions trigonométriques réciproques ont de la même manières des coutures et sont holomorphes partout sauf aux coutures.

Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) de Laplace & fonctions holomorphes

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) 1

Toute fonction analytique est solution de l'équation de Laplace.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou...)

On introduit la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut aussi...) complexe :z = x + iyi^2 = - \ 1, et on définit la fonction holomorphe F(z). Par dérivation , on obtient que :

\frac{\partial F}{\partial x} \ = \ \frac{d F}{dz} \ \frac{\partial z}{\partial x} \ = \ F'(z)

alors que :

\frac{\partial F}{\partial y} \ = \ \frac{dF}{dz} \ \frac{\partial z}{\partial y} \ = \ i \ F'(z).

En dérivant une seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de...) fois, on obtient d'une façon similaire :

\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \ = \ F''(z)

alors que :

\frac{\partial^2 F}{\partial y^2} \ = \ - \ F''(z)

La somme est nulle, donc la fonction holomorphe F est bien une solution de l'équation de Laplace :

\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} \ = \ 0

Remarque : la fonction holomorphe admet toujours une décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie,...) en partie réelle et partie imaginaire :

F(z) \ = \ V(x,y) \ + \ i \ \phi(x,y)

En annulant la partie réelle et la partie imaginaire séparément, on obtient deux équations de Laplace indépendantes :

\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0 \qquad \mathrm{et :} \qquad \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=0

Théorème 2

Les équipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:)

Démonstration

On peut écrire :

\frac{\partial F}{\partial x}\ = \ F'(x+iy) \ = \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \ + \ i \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x}

et :

\frac{\partial F}{\partial y} \ = \ i F'(x+iy) \ = \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} \  + \ i \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y}

On en déduit :

\frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \ = \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y} \qquad \mathrm{et :} \qquad \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x} \ = \ - \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y}

soit finalement :

\frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \cdot \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x} \ + \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} \cdot \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y} \ = \ 0

On reconnait là le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux...) des deux vecteurs :

\vec \mathrm{grad} \ (V) \cdot\vec \mathrm{grad} \ (\Phi) \ = \ 0

On en déduit que les courbes à {V(x,y) = constante} et {φ(x,y) = constante} sont perpendiculaires (transformation conforme). Ce qui fait que si {V(x,y) = constante} représente les courbes de même potentiel, alors {φ(x,y) = constante} représente les lignes de champs électrique en électrostatique

Equation de Poisson

Si le membre de droite est une fonction donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) f(x,y,z), on obtient l'équation de Poisson :

\Delta \varphi = f
Page générée en 0.149 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique