Modèle mathématique
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Un modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques, puis généralement, en sens inverse, la traduction des résultats mathématiques obtenus en prédictions ou opérations dans le monde (Le mot monde peut désigner :) réel. Le mot modélisation est aussi très utilisé dans le monde du graphisme, où on modélise des objets en 3D ou en 2D.

Généralités

Multiplicité de buts

Il n'existe jamais de modèle unique : un modèle est toujours lié à ce qu'on veut en faire. Le même objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale....), par exemple une souris (Le terme souris est un nom vernaculaire ambigu qui peut désigner, pour les francophones, avant tout l’espèce commune Mus musculus, connue aussi comme animal de compagnie ou de...), ne sera pas modélisable de la même façon selon qu'on s'intéresse plutôt à

  • ses performances intellectuelles,
  • ses maladies et leurs soins, voire ceux d'une groupe d'animaux apparentés mais plus large (tous les mammifères dont l'Homme),
  • la façon de la dessiner de façon convaincante dans le cadre d'un jeu vidéo (La vidéo regroupe l'ensemble des techniques, technologie, permettant l'enregistrement ainsi que la restitution d'images animées, accompagnées ou non de son, sur un support adapté à l'électronique et non de type photochimique. Le mot...).

De même, un modèle n'est jamais parfait et totalement représentatif de la réalité, et donc on oriente plus ou moins les paramètres pour étudier certains résultats en particulier. Pour un même modèle on peut paramétrer très différemment pour mettre en évidence des choses différentes.

Multiplicité de modélisations

Même lorsque le but est fixé, il y a toujours plusieurs modèles possibles, qui peuvent tous être aussi valables les uns que les autres.

Dans toute modélisation il y a un choix a priori de l’espace mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...) servant à repérer l’ensemble des phénomènes. L'espace mathématique n'est pas souvent identifiable au réel de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...).

Ainsi et par exemple, en physique, on peut trouver commode d'utiliser un espace tridimensionnel euclidien, ou un espace "courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles...)", ou un espace à 4, 5, 11 ou 26 dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.), ou un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en...), etc. Et, en général, on peut démontrer que ces différentes représentations sont parfaitement équivalentes, mais plus ou moins adaptées à tel ou tel cas. Il est important de noter que tous ces modèles ne sont que cela : des modèles. Ils sont utiles pour traiter le réel, mais il ne faut pas les prendre pour le réel. Si un physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces qui les relient. Le mot physicien...) affirme par exemple que "l'univers est en expansion", il faut bien comprendre qu'implicitement il indique "par rapport à mon cadre mathématique, tout ce passe comme si...". Un autre physicien peut affirmer que "l'univers n'est pas en expansion" : s'il utilise le même cadre mathématique, ils se contredisent, mais si le second utilise un autre cadre mathématique, ils peuvent être en fait parfaitement d'accord.

La même remarque s'applique à toutes les modélisations, et notamment aux modélisations économiques et comptables, qui auront des conséquences économiques et fiscales importantes : l'archétype de la modélisation économique étant le cadastre (Le terme cadastre (terme provençal venant du grec κατ?στιχον), ou un mot apparenté étymologiquement, se retrouve dans de...) fiscal et les bases de la taxation immobilière, dont tout le monde sait bien qu'elles sont "fausses", c’est-à-dire qu'elle ne reflètent que très imparfaitement la valeur réelle qui est censée servir de référence.

Tout ceci sans abolir le réel : le modèle de pont (Un pont est une construction qui permet de franchir une dépression ou un obstacle (cours d'eau, voie de communication, vallée, etc.) en...) peut bien affirmer que tout va bien se passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.), il est possible que le pont s'écroule quand même (en sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...), il est douteux qu'on construise un pont si le modèle indique qu'il va s'effondrer...).

Typologie de modèle : selon le sens de la modélisation

La modélisation peut s'exercer

  • du modèle vers le réel : ce sont les modèles prédictifs

Ces modèles mathématiques sont utilisés pour anticiper des événements ou des situations, comme prévoir le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) avec la météo, estimer les prix potentiels des actifs financiers avec les modèles d'évaluation en finance, ou prévenir les épidémies. On parle de modèles prédictifs, dans lesquels des variables connues, dites " explicatives ", vont être utilisées pour déterminer des variables inconnues, dites " à expliquer ".

  • du réel vers le modèle : ce sont les modèles descriptifs

Dans ce cas, les modèles servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) à représenter des données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) historiques. On parle de modèles descriptifs. L'objectif est de rendre compte, de manière interprétable, d'une masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la...) d'informations. L'archétype de ces modèles est la comptabilité : elle décrit de manière simplifiée les événements économiques réels en leur affectant un compte, c'est-à-dire une " étiquette " censée les caractériser. Ces comptes sont ensuite agrégés pour présenter de manière standard la situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un...) économique des entreprises et des pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue restreinte (de l'ordre de quelques centaines de km²), subdivision de la civitas gallo-romaine. Comme la civitas qui subsiste le...).

Bien entendu, les deux types de modèles sont parfaitement liés : une bonne prédiction suppose au moins la prédiction de la situation passée et actuelle, c’est-à-dire une bonne description. Inversement, une bonne description serait parfaitement vaine si elle ne servait pas au moins de diagnostic (Le diagnostic (du grec δι?γνωση, diágnosi, à partir de δια-, dia-, „par, à travers, séparation,...), ou de carte, pour identifier la conduite à tenir.

Il est intéressant de noter qu'un même modèle mathématique (Un modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques, puis généralement, en...) peut se trouver applicable à de nombreuses situations, n'ayant pas forcément un rapport bien évident. Par exemple, des générateurs de paysages sont capables créer des formes réalistes d'objets aussi différents que des montagnes, des arbres, des rochers, de l'herbe (On appelle herbe, dans une acception large, toute plante annuelle ou vivace, non ligneuse, faisant partie des angiospermes (monocotylédones ou...), des coquillage ou des flocons de neige (La neige est une forme de précipitation, constituée de glace cristallisée et agglomérée en flocons pouvant être ramifiés d'une infinité de...), avec un seul modèle général, alors même que les processus de croissance et de constructions de ses objets sont très divers. Si, au lieu de créer un nouveau modèle, on est capable de rapprocher un problème d'un ancien modèle connu, on obtient immédiatement une masse de données très utile. Une grande partie du travail est donc de reconnaître qu'un modèle connu s'applique, ou à étendre les propriétés connues d'une classe particulièrement utile de modèle (propriété qu'on pourra ensuite utiliser plus largement).

Les qualités d'un modèle

En préliminaire, il est important de comprendre que la complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie (par exemple par Henri Atlan), en...) mathématique n'est pas un critère suffisant pour juger si un modèle est pertinent ou non : il existe des classes de modèles qui font appel à des outils mathématiques complexes, tels la recherche opérationnelle (La recherche opérationnelle (aussi appelée aide à la décision) peut être définie comme l'ensemble des méthodes et techniques rationnelles d'analyse et de synthèse des phénomènes d'organisation utilisables pour élaborer de...) ou la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) des jeux ; d'autres classes, la comptabilité par exemple, sont d'un abord mathématique enfantin (additions, soustractions). Mais, à résultat comparable, c'est bien sur le modèle le plus simple qui est préférable.

Un modèle est pertinent

  • s'il couvre bien le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) du problème réel
Ex. un modèle financier qui n'intégrerait pas le phénomène du troc ne serait pas utilisable pour évaluer les entreprises de l'ex-Europe de l'Est.
  • s'il permet d'obtenir le résultat escompté : description du phénomène avec le niveau de détail ou de synthèse souhaité, ou prévisions se révélant justes a posteriori.
  • dans le délai (Un délai est d'après le Wiktionnaire, « un temps accordé pour faire une chose, ou à l’expiration duquel on sera tenu de faire une certaine chose.  ».) souhaité
On pense à la boutade qui promet des prévisions météo précises à une semaine mais qui demandent un mois (Le mois (Du lat. mensis «mois», et anciennement au plur. «menstrues») est une période de temps arbitraire.) de calcul.
  • accessoirement, s'il est réutilisable
L'investissement pour décrire un modèle est en général si important qu'il se justifie rarement sur une opération unique.

Comment créer un modèle ?

Il n'est pas question dans un article si court de présenter une méthodologie applicable à toutes les situations (s'il en existe une !), mais quelques points essentiels.

1. Le point (Graphie) de départ est toujours une question qu'on se pose sur une situation future et/ou si complexe qu'on n'y trouve pas la réponse de manière évidente.

Ex. : mon entreprise est-elle viable ? Ce matériel vaut-il le prix demandé ? Ce médicament (Un médicament est une substance ou une composition présentée comme possédant des propriétés curatives, préventives ou administrée en vue d'établir un diagnostic. Un médicament...) est-il efficace ? Que faut-il faire pour que la situation s'améliore ?

2. Pour trouver la réponse, il est nécessaire de limiter le champ du problème en recherchant les données qu'on imagine avoir un lien direct avec la question. Trop limiter fait courir le risque de ne pas modéliser un phénomène qui a du poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à l'opposé de la résultante des...) dans le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu...), mais trop ouvrir entraîne une dispersion (La dispersion, en mécanique ondulatoire, est le phénomène affectant une onde dans un milieu dispersif, c'est-à-dire dans lequel les...) des moyens et une accumulation de données non pertinentes qu'il faudra écarter en justifiant les choix. Cette étape est la plus délicate pour la qualité du modèle : elle est soumise aux a priori du modélisateur, à ses manques de connaissances — parfois de méthode — et aux moyens dont il dispose (temps, argent (L’argent ou argent métal est un élément chimique de symbole Ag — du latin Argentum — et de numéro atomique 47.), accès aux données). Au cours de cette étape, on choisit le type de modèle général qu'on va utiliser, notamment en fonction des données dont on pense disposer.

3. Il faut ensuite construire le modèle :

    • filtrer les données afin d'en extraire les " bruits ", ces irrégularités ou ces événements accessoires qui masquent l'essentiel ;
    • éventuellement, reconstituer les manquants, c'est-à-dire les objets qui manquent pour assurer la cohérence de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) (ex. le fonctionnement d'un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) dont on connaît l'existence mais sur lequel on ne dispose pas de données)

C'est là qu'interviennent les outils mathématiques et informatiques, qui permettent un filtrage et une construction avec un minimum de subjectivité en un minimum de temps.

4. Le " substrat " restant constitue le modèle, ensemble de règles ou d'équations. Il faut décrire ces règles le plus complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de limiter la quantité d'informations...) possible : leur importance relative, les données en entrée et en sortie, les outils mathématiques utilisés, les étapes par lesquelles il faut passer, les points de contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de vérification et de maîtrise.).

5. La dernière étape consiste à valider le modèle : en appliquant aux données filtrées les règles du modèle, retrouve-t-on la situation initiale ? Si l'écart est trop important, il est nécessaire de se reposer la question des limites que l'on a fixées, ou de la pertinence des outils utilisés pour la modélisation.

Les outils mathématiques les plus courants

Il s'agit essentiellement d'outils statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la...) et de probabilités, de calculs différentiels (équation aux dérivées partielles et ordinaires). Plus précisément,

  • Pour les modèles prédictifs :
    • la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.), qui consiste à prédire la valeur d'une grandeur numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) continue à partir des valeurs passées, par exemple en utilisant les méthodes de régression (linéaire ou non) ;
  • Pour tous les modèles :
    • la classification, ou catégorisation, qui permet de situer une observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique la très grande...) (événement ou individu) dans un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réduit de classes prédéfinies ;
    • la représentation graphique, qui donne une image visuelle ;
    • l'utilisation des variables centrées, où une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un...) est censée représenter toutes les autres (ex. la moyenne) ;
    • la corrélation, qui permet d'associer plusieurs variables quand elles ont un comportement commun ;
    • la clusterisation, qui consiste à présenter les observations par paquets les plus homogènes possibles (les clusters) ;
    • la réduction de dimensionalité, qui consiste à créer, à partir d'un ensemble d'observations, un ensemble réduit d'observations (c'est-à-dire moins nombreuses) qui est réputé se comporter comme la population initiale.
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