Mathématiques - Définition et Explications

Pratique mathématique

Activité de recherche

La recherche mathématique ne se limite pas qu'à la démonstration des théorèmes. L'une des méthodes les plus fructueuses de recherche mathématique est la mise en rapprochement de domaines a priori éloignés en mettant en lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil...) des phénomènes analogues (par exemple, la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...) et les équations différentielles linéaires). Voir des phénomènes analogues se produire peut conduire à vouloir adapter des résultats d'un domaine des mathématiques à un autre, à reformuler des éléments de démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) en termes équivalents, à tenter une axiomatisation d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) (par exemple, ce pourrait être la notion d'espace vectoriel) qui regrouperait les deux domaines... Dans ce dernier cas, ce nouvel objet deviendrait alors un objet d'étude par lui-même. Dans certains cas, l'identification d'objets a priori différents devient nécessaire : le langage des catégories permet de faire ce genre de choses.

Une autre méthode de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) est la confrontation aux exemples et aux cas particuliers. Cette confrontation peut permettre de réfuter des propriétés qu'on pensait ou espérait être vraies (conjectures). Au contraire, elle peut permettre de vérifier des propriétés ou d'amener à les formaliser. Par exemple, en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) riemannienne, l'étude des surfaces (donc des objets en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) 2) et de leurs géodésiques a finalement conduit Anosov à formaliser le difféomorphisme d'Anosov, une transformation possédant d'intéressantes propriétés dynamiques.

Langage mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...)

Les mathématiques utilisent un langage qui leur est propre. Certains termes du langage courant, comme groupe, anneau, corps ou variété peuvent être empruntés et redéfinis pour désigner des objets mathématiques. Mais souvent des termes sont formés et introduits selon les besoins : isomorphisme, topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par...), itération... Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) élevé de ces termes rend difficile la compréhension des mathématiques par les non-mathématiciens.

Le langage mathématique s'appuie aussi sur l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de formules. Elles comportent des symboles, les uns en rapport avec le calcul propositionnel comme le connecteur binaire d'implication \Rightarrow ou le connecteur unaire de négation \neg, d'autres en rapport avec le calcul des prédicats (Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, ou logique du premier ordre, ou...), comme le quantificateur universel \forall ou le quantificateur existentiel \exists. La plupart des notations utilisées au XXIe siècle ont été introduites après le XVIIe siècle seulement.

Il existe un langage mathématique qui décrit les mathématiques. En ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...), on dit qu'il s'agit d'un métalangage : il s'agit de la logique mathématique (La logique mathématique, ou logique formelle, est une discipline des mathématiques qui...).

Fondements

Censément, les mathématiques utilisent la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος),...) comme outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) pour démontrer des vérités organisées en théories. Une première analyse laisse espérer qu'une utilisation puissante de cet outil tellement sûr, une réduction toujours plus poussée (En aérodynamique, la poussée est la force exercée par le déplacement de l'air...) des bases, les axiomes, sur lesquelles s'échafaude l'édifice mathématique, finissent par mener à un corpus de faits incontestables. Plusieurs obstacles se dressent pourtant.

Aristote : le fondateur (Le Fondateur (titre original : Founding Father) est une nouvelle de science-fiction d'Isaac...) de la logique formelle (peinture par Raphaël).

D'une part, en tant qu'activité (Le terme d'activité peut désigner une profession.) humaine, les mathématiques s'éloignent du modèle d'une construction suivant scrupuleusement les lois de la logique et indépendante du réel. Citons un fait et un phénomène pour illustrer cela. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) d'abord, les démonstrations que rédigent les mathématiciens ne sont pas formalisées au point (Graphie) de suivre en détail les lois de la logique, car cela est impossible en un temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) raisonnablement court. Comme pour n'importe quelle science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire...). l'acceptation de la véracité d'une démonstration, et donc d'un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...), repose in fine sur un consensus de spécialistes au sujet de la validité de l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) de démonstration formelle proposée (La structure des révolutions scientifiques (La Structure des révolutions scientifiques (The Structure of Scientific Revolutions) est un essai...) de Thomas Kuhn). L'avènement de l'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine...) a cependant changé la donne, au moins marginalement, puisque celle-ci permet de formaliser et de vérifier des démonstrations de plus en plus complexes.

Cependant l'activité mathématique est loin de se réduire à la recherche de démonstrations et à la vérification de celles-ci. La confiance que la communauté mathématique place dans un de ses membres qui propose un résultat nouveau intervient dans la réception qu'aura ce résultat, et ce d'autant plus s'il est inattendu, ou modifie la façon de voir les choses. On peut prendre pour exemple historique les controverses sur les géométries non euclidiennes au XIXe siècle, durant lequel les travaux de Lobatchevski ont été largement ignorés ; ou bien, dans un autre ordre d'idée, la difficulté de la réception des travaux du jeune républicain Galois au début du même siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...), notamment par Cauchy. La sociologie des mathématiques étudie de tels phénomènes (voir sociologie des sciences).

Augustin Louis Cauchy (Augustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 21 août 1789 et mort à...).

D'autre part, la solidité même des bases ne peut reposer sur les seules mathématiques. En effet les théorèmes d'incomplétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet...), démontrés par Kurt Gödel (Kurt Gödel (28 avril 1906 - 14 janvier 1978) est un mathématicien et...) dans la première moitié du XXe siècle, montrent que, contrairement à ce qu'espérait David Hilbert (David Hilbert (23 janvier 1862 à Königsberg en Prusse-Orientale –...), il est impossible de réduire formellement les bases des mathématiques en un système dont la sûreté se démontre à partir de celles-ci, et cela entraîne que certaines propriétés considérées « vraies » resteront inaccessibles à la démonstration, quels que soient les axiomes choisis.

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