Méthode de Ferrari - Définition

Introduction

La méthode de Ferrari imaginée et mise au point par Ludovico Ferrari permet de résoudre les équations du quatrième degré, c'est-à-dire d'écrire les solutions comme une combinaison d'additions, soustractions, multiplications, divisions, et racines carrées, cubiques et quartiques constituée à partir des coefficients de l'équation.

Principe de la méthode

Soit l'équation générale du quatrième degré suivante :

Le changement de variable affine montre que l'équation est équivalente à une équation de la forme , avec

Le point central de la méthode consiste à remplacer le monôme z⁴ par le polynôme (z²+y)²-2yz²-y², paramétré par y, et de trouver une valeur de y convenable, qui permette, via une identité remarquable de factoriser l'expression :

Plus précisément, il s'agit de déterminer y de façon à ce que le terme (2y − p)z² − qz + y² − r, vu comme polynôme en z, s'écrive sous forme d'un carré, ce qui est équivalent à l'annulation de son discriminant q² − 4(2y − p)(y² − r)

En effet, si le discriminant est nul et que (2y-p) ne l'est pas, il s'agit d'une propriété du polynôme du second degré, si le discriminant est nul et si 2y-p l'est aussi, le coefficient devant z est nécessairement nul et le polynôme est constant, carré d'une constante éventuellement complexe.

Cette annulation équivaut à :

Cette équation se résout par radicaux en utilisant, par exemple, la méthode de Cardan, qui donne au moins une valeur réelle y₀ convenable. En reportant la valeur y₀ obtenue dans l'équation précédente, on obtient :

avec a₀ (réel ou complexe) tel que

et b tel que

si 2y₀ − p est non nul

ou

si 2y₀ − p est nul

et, par une identité remarquable, cette égalité est équivalente à 

ce qui équivaut à l'annulation d'un des deux facteurs du second degré en z :

Chacune de ces deux équations fournit deux valeurs pour z, soit quatre valeurs en tout pour z, et les valeurs de x solutions de l'équation initiale s'en déduisent.

Autres méthodes de résolution d'équations

• Méthode de Tschirnhaus
• Méthode de Bézout
• Méthode de Cardan
• Méthode de Sotta
• Méthode de Descartes
• Méthode d'Hermite

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Exemple

Nous nous proposons de résoudre l'équation :

Posons :

En remplaçant dans l'équation, on obtient :

y étant un nombre complexe quelconque, développons maintenant l'expression :

Qui, compte tenu de (**), peut s'écrire :

Mettons le second membre sous forme de polynôme en z :

Si l'on veut que le second membre se mette aussi sous forme de carré, il faut trouver une valeur de y telle que le polynôme en z ait une racine double. Soit une valeur de y telle que le discriminant du polynôme en z soit nul, c’est-à-dire telle que :

Qui se simplifie sous la forme :

Nous remarquons que cette équation du troisième degré en y admet la racine évidente :

(Ce qui nous évite dans cet exemple d'utiliser une méthode plus élaborée comme la méthode de Cardan pour la résoudre).

On fixe y à cette valeur que l'on reporte dans (***), nous obtenons :

Et comme prévu, le second membre se met bien sous forme de carré :

Qui s'écrit :

Nous avons une différence de carré que l'on peut donc écrire :

Nous sommes donc ramené à résoudre les deux équations :

Les discriminants de ces deux équations sont :

Pour la première équation :

Pour la deuxième équation :

Nous en déduisons les quatre valeurs possibles de z.

Pour la première équation :

Pour la deuxième équation :

En reportant ces quatre valeurs de z dans (*), on obtient :

Qui sont bien les quatre racines de l'équation à résoudre.