Polytope régulier - Définition

Histoire

L'histoire de la découverte des polytopes réguliers suit un élargissement successif du champ de définition du terme, accompagnant l'évolution de la géométrie elle-même. Progressivement, le terme "polytope régulier" a pris des significations de plus en plus larges permettant à de plus en plus d'objets mathématiques d'être ainsi nommés. Avec l'apparition de chaque nouvelle signification, de nouvelles figures géométriques ont été englobées, ces figures étant la plupart du temps inconnues des générations précédentes.

Prémisses

Habituellement, on attribue aux Grecs la découverte du premier polyèdre régulier puisque c'est d'auteurs grecs que nous viennent les plus anciens écrits connus traitant de ce sujet et ce sont eux qui en ont également donné la première définition mathématique.

De l'autre côté de la Mer Adriatique vivait une autre civilisation, les Étrusques. Il est possible que ce peuple aie précédé les Grecs dans la connaissance d'au moins quelques-uns des polyèdres réguliers comme cela a été mis en évidence par la découverte près de Padoue (dans le nord de l'Italie) dans la fin des années 1800 d'un dodécaèdre en stéatite daté d'au moins 2 500 ans (Lindemann, 1887). Cependant, on peut penser que la construction de cette forme a été inspirée par le pyritoèdre (mentionné ailleurs dans cet article), étant donné que la pyrite est relativement abondante dans cette partie du monde...

Sans tenir compte des Étrusques, d'autres découvertes nous viennent d'Écosse : des pierres taillées montrant les symétries des cinq solides platoniciens. Ces pierres, datés d'environ 4 000 ans ne montrent pas seulement la forme des cinq solides platoniciens mais également les relations de dualité entre elles (par exemple, les centres des faces d'un cube donnent les sommets d'un octaèdre). Des exemples de ces pierres sont visibles dans la John Evans room de l'Ashmolean Museum à l'université d'Oxford. Il est impossible de dire pourquoi ces objets ont été faits ou d'où le sculpteur a tiré son inspiration.

Il n'y a pas de preuve que les Étrusques ou les anciens écossais aient une quelconque compréhension mathématique de ces solides, et il n'y a pas non plus de preuve qu'ils n'en aient pas. L'origine de la découverte humaine des polytopes réguliers tri-dimensionnels, en particulier les plus simples, est impossible à retrouver. En tout cas, ce sont les recherches des mathématiciens grecs qui nous sont parvenues et qui ont inspiré les études modernes.

Le temps des Grecs

Certains auteurs, comme Sanford, attribuent aux pythagoriciens une familiarité avec les solides de Platon. D'autres leur attribuent seulement une familiarité avec le tétraèdre, le cube, le dodécaèdre ; mais la découverte des deux autres serait attribuée à Théétète, un Athénien, qui a effectivement donné une description mathématique des cinq.

Coxeter attribue à Platon la mise en place des patrons. Il mentionne qu'un des premiers pythagoriciens usaient les cinq en correspondance avec la nature de l'univers. C'est en référence au nom de Platon que le terme Solides de Platon est né.

Polyèdres étoilés

Pendant près de 2 000 ans, le concept de polytope régulier développé par les mathématiciens grecs fut inchangé :

• Un polygone régulier est une figure plane convexe avec tous les côtés et tous les angles égaux.
• Un polyèdre régulier est un solide dont les faces sont toutes des polygones réguliers identiques, le même nombre autour de chaque sommet.

La définition exclut la pyramide carrée, ou la figure résultant du collage de deux tétraèdres.

C'est au XV^e siècle que de nouveaux polytopes réguliers apparurent : les solides de Kepler-Poinsot, nommés d'après Kepler et Poinsot. Les deux polyèdres introduits par Kepler étaient déjà connus, bien sûr, mais c'est le premier à leur reconnaître une régularité, malgré leur absence de convexité. Poinsot découvrit les deux autres. Ce sont

• le petit dodécaèdre étoilé,
• le grand dodécaèdre étoilé,
• le grand icosaèdre,
• le grand dodécaèdre.

Les noms ont été donnés par Cayley.

Polytopes de dimension supérieure

Ce n'est qu'au dix-neuvième siècle qu'un mathématicien suisse Ludwig Schläfli examina et caractérisa les polytopes réguliers en dimension supérieure. Ses travaux qui datent des années 1850 furent publiés six ans après sa mort, en 1901. Ses résultats ont indépendamment été retrouvés par neuf autres mathématiciens, ironie du sort, entre 1880 et 1900.

Schläfli démontra l'existence de six polytopes convexes réguliers en dimension 4, et exactement trois polytopes convexes réguliers pour chaque dimension supérieure.

Ainsi définissait-on les polytopes réguliers en ce début du XX^e siècle :

• Un polygone régulier est un polygone dont les côtés sont tous égaux et dont les angles aux sommets sont tous égaux.
• Un polyèdre régulier est un polyèdre dont les faces sont toutes congruentes, et dont les figures aux sommets sont identiques et régulières.
• Récursivement, un n-polytope régulier est un polytope de dimension n dont les faces de dimension n-1 sont des n-1-polytopes réguliers congruents, et dont les figures aux sommets sont identiques et régulières.

De manière équivalente :

• Un n polytope est régulier, lorsque pour toute séquence formée d'un sommet, une arête contenant ce sommet, une face bidimensionnelle contenant cette arête, ... jusqu'à une face de dimension n-1, peut être envoyé sur séquence analogue par une symétrie du polytope.

Approche combinatoire

Développements modernes

De nombreux développements sur les polytopes furent réalisés au XX^e siècle. Les groupes d'isométrie furent généralisés dans les groupes de Coxeter.