Polytope régulier - Définition et Explications

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Introduction

Le Dodécaèdre, un des cinq solides platoniciens.

En mathématiques, plus précisément en géométrie ou encore en géométrie euclidienne, un polytope régulier est une figure de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) présentant un grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de symétries. En dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) deux, on trouve par exemple le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la...) équilatéral, le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un...), les pentagone et hexagone (Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six côtés. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120° et ses...) réguliers, etc. En dimension trois se rangent parmi les polytopes réguliers le cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des...), le dodécaèdre (Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.) (ci-contre), tous les solides platoniciens. On pourrait également citer des exemples pour des espaces de dimension plus élevée. Le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de...) et la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une...), qui présentent un degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) de symétrie très élevé, n'en sont pas pour autant considérées comme des polytopes, car ils n'ont pas de face plate. La très forte propriété de symétrie des polytopes réguliers leur confère une valeur esthétique qui fascine tant les mathématiciens que les non mathématiciens.

Plusieurs des polytopes réguliers de dimension deux et trois se rencontrent dans la nature et sont connus depuis la Préhistoire. C'est aux mathématiciens grecs de l'Antiquité, notamment Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique ayant probablement vécu...), qu'on en doit le plus ancien traitement mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...) connu. En effet, Euclide rédigea une somme sur les connaissances mathématiques de son temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), qu'il publia sous le titre des Éléments. Ce travail présente une construction d'une géométrie cohérente et d'une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) des nombres, et se conclut par la description mathématique des cinq solides platoniciens.

De nombreux siècles après Euclide, la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) des polytopes réguliers était demeurée inchangée. Pourtant, cette définition sera ensuite progressivement élargie, par à-coups, de façon à englober de plus en plus d'objets nouveaux. Au milieu du deuxième millénaire (Un millénaire est une période de mille années, c'est-à-dire de dix siècles.), les cinq solides platoniciens originaux furent rejoints par les polyèdres de Kepler-Poinsot. À la fin du XIXe siècle, les mathématiciens commencèrent à prendre en compte des polytopes réguliers en dimension quatre et plus, ainsi l'hypercube (En géométrie, un hypercube est un analogue n-dimensionnel d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3). C'est une figure fermée, compacte, convexe constituée de groupes de segments parallèles opposés...), le polytope (En géométrie, un polytope est la généralisation à toutes dimensions de la notion de polygone pour deux dimensions et de polyèdre pour trois dimensions. Ce terme est aussi utilisé pour une large variété de concepts mathématiques...) à 24 cellules. Ces derniers ne sont pas faciles à visualiser, mais partagent avec leurs cousins de petite dimension les mêmes propriétés de symétrie. Plus durs à concevoir encore sont les polytopes réguliers abstraits, tels le polytope à 57 cellules ou celui à 11 cellules. Les mathématiciens qui s'intéressent à ces objets persistent cependant à y retrouver les mêmes qualités esthétiques.

Zoologie des polytopes réguliers

Polygones

Un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et...) régulier à n sommets du plan euclidien R² est la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) de n points distincts A1, ..., A n , tels que les distances successives A1A2, ..., An-1An et AnA1 soient égales, et les angles au sommets A1, A2, A3 soient égaux. Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier n supérieur à 3, il existe un polygone régulier à n sommets. Il est unique à similitude près.

La façon traditionnelle de construire un polygone régulier - ou d'ailleurs de construire n'importe quelle figure du plan euclidien - est d'utiliser une règle (non graduée) et un compas. La construction des premiers polygones réguliers (le triangle équilatéral et le carré) est très facile, des suivants plus compliquée, et pour d'autres, elle est impossible ! Cette étude relève des problèmes des points constructibles à la règle et au compas.

En 1796, Carl Friedrich Gauss démontra qu'un polygone régulier à n côtés était constructible (On qualifie de constructible une chose qui peut être construite ou qui peut accueillir une construction (matérielle ou non).) à la règle et au compas lorsque les facteurs premiers impairs de n sont des nombres de Fermat distincts. Gauss conjectura que cette condition était de plus nécessaire, conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) qui fut démontrée par Pierre Wantzel quarante ans plus tard, en 1837. Évidemment, ici la constructibilité fait référence à une construction idéale avec des outils idéaux. L'imperfection inhérente des compas et règles utilisées en pratique nous autorisent des constructions approchées. Quand bien même il n'est pas possible de construire un polygone régulier à 7 côtés, il est possible de réaliser un polygone à 7 côtés qui s'en rapproche.

Polyèdre (Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'arêtes droites. Le mot polyèdre provient du grec classique...)

Les polyèdres réguliers sont des polyèdres dont les longueurs des côtés sont égales, les angles aux sommets sont égaux, les angles dièdres (angles entre deux faces) sont égaux. Il existe cinq polyèdres réguliers distincts de l'espace euclidien :

Ces solides sont uniques, à similitude de l'espace près. Leurs faces sont soit des triangles, soit des carrés, soit des pentagones. La liste de ces cinq solides est établie dans les éléments d'Euclide, qui en proposent de plus une construction.

Celle-ci consiste à plier convenablement un morceau d'une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des plantes au niveau des nœuds. À l'aisselle de la feuille...), appelé patron. Pour l'obtenir, on découpe le polyèdre suivant certaines arêtes, en nombre suffisant pour pouvoir étaler la figure sur le plan. Remarquons que le patron est constructible à la règle et au compas.

Certains jeux pour enfants d'une dizaine d'années offre la possibilité d'expérimenter le positionnement (On peut définir le positionnement comme un choix stratégique qui cherche à donner à une offre (produit, marque ou enseigne) une position crédible,...) de polygones réguliers dans l'espace, et d'expérimenter ainsi les solides platoniciens, ou encore solides d'Archimède (Archimède de Syracuse (en grec ancien : Ἀρχιμήδης/Arkhimếdês), né à Syracuse vers 287 av. J.-C....). Par exemple, klikko est un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme...) de pièces de couleurs et de formes différentes, dont triangles, carrés et pentagones, pouvant d'accrocher par un clic (d'où le nom).

En dimension supérieure

En dimension supérieure, il devient difficile de donner une description des polyèdres réguliers. Toutefois, le tétraèdre, l'octaèdre, et le cube se généralisent en toute dimension, donnant naissance à trois grandes familles de polytopes réguliers :

  • Le n-simplexe régulier.
  • L'hypercube.
  • Le dual de l'hypercube : l'hyperoctaèdre.

Il existe également, au même titre que les solides de Platon (Platon (en grec ancien Πλάτων / Plátôn), Athènes, 428 - 427 av. J.-C., 347 - 346 av. J.-C., est un...), des polytopes réguliers quadri-dimensionnels.

Liste des polytopes réguliers

Nombre de polytopes réguliers convexes et étoilés.
Dimension Nombre de polytopes convexes réguliers Nombre de polytopes étoilés réguliers
1 1

0
2 infinité de polygones réguliers

infinité de polygones étoilés

3 5 solides de Platon

4 solides de Kepler-Poinsot

4 6 polychores réguliers convexes

10 polychores de Schläfli-Hess
≥ 5 3 n-polytopes réguliers convexes

0 n-polytope régulier étoilé
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