Zéro - Définition et Explications

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Le zéro comme notation des bases 2, 8, 10, 16…

Dans la base dix que l’on utilise, le chiffre le plus à droite indique les unités, le deuxième chiffre indique les dizaines, le troisième les centaines, le quatrième les milliers…

Le zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...) joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les...) donc un rôle particulier dans le système arithmétique positionnel (La notation positionnelle est un procédé d'écriture des nombres, dans lequel chaque position est...), quel qu’il soit du reste.

Rappelons que l’usage de la base 10, en provenance de l’Inde, s’est imposé en France par rapport à d’autres bases, comme par exemple 12 et 60 qui étaient utilisées dans certaines civilisations, le système vicésimal ayant laissé des traces (TRACES (TRAde Control and Expert System) est un réseau vétérinaire sanitaire de...) dans la langue française, et le système duodécimal (Le système duodécimal est un système de numération de base 12.) des modes de calcul chez les Britanniques.

Lorsqu’il y a des unités résiduelles, par exemple dans trente-deux (32), le chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) des unités (2) permet de comprendre que l’autre chiffre (3) indique les dizaines.

Si l’on a un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) entier de dizaines (par exemple trois dizaines, trente), il n’y a pas d’unité résiduelle. Il faut donc un caractère qui permette de marquer que le 3 correspond aux dizaines, et ce caractère est le 0 ; c’est ainsi que l’on comprend que « 30 » signifie « trois dizaines ».

On aurait pu utiliser n’importe quel autre caractère, par exemple un point ; ainsi, deux-cent trois se noterait « 2.3 ».

L’utilisation d’un caractère « bouche-trou » remonte à la numération babylonienne (Les Babyloniens ont utilisé une grande variété de systèmes de numération : sexagésimal...), comme indiqué ci-dessus, mais il ne s’agit pas du concept d’« absence de quantité », il s’agit juste d’une commodité de notation. Dans la numération romaine (Les chiffres romains étaient un système de numération utilisé par les Romains...), cet artifice n’est pas utile puisque les unités (I, V), les dizaines (X, L), les centaines (C, D) et les milliers (M) sont notés avec des caractères différents. En contrepartie, la notation de nombres supérieurs à 8 999 devient problématique et les reconnaissances de structures pour le calcul mental (Le calcul mental consiste à effectuer des calculs sans autre support que la réflexion et...) rapide bien plus pénibles.

Propriétés arithmétiques et algébriques

En tant que nombre entier, zéro est pair.

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) (ou complexe) a :

  • a + 0 = 0 + a = a\, (0 est élément neutre pour l’addition)
  • a \times 0 = 0 \times a = 0\, (0 est élément absorbant pour la multiplication)
  • si a \ne 0\, alors a^0 = 1\,
  • 0^0\, n’est pas défini (c’est une forme indéterminée (En mathématiques, une indéterminée est le concept permettant de formaliser des...) du calcul des limites), mais il est souvent « pratique », dans certains cadres formels, de considérer que 0^0 = 1\, .
  • par extension de la factorielle (En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit...) à l’aide de la fonction Gamma (La fonction gamma est, en mathématiques, une fonction complexe.), 0 ! = 1\,
  • a + (- a) = 0\,
  • {a \over 0} = non défini (voir article division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...) par zéro)
  • {0 \over 0} = non défini, en remarquant toutefois que le calcul dx \over dy lorsque les deux valeurs tendent vers zéro est la base du calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de...).

Usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) étendu de zéro en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...)

  • Zéro est l’élément neutre dans un groupe abélien muni de la loi \ + ou l’élément neutre pour l’addition dans un anneau.
  • Un zéro d’une fonction est un point (Graphie) dans le domaine de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) de la fonction dont l’image par la fonction est zéro ; aussi appelé racine, surtout dans le cas d’une fonction polynôme (En algèbre, une fonction polynôme, ou fonction polynomiale est définie comme étant une...). Voir zéro (analyse complexe).
  • En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...), la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) d’un point est 0.
  • En topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par...), la dimension topologique (On donne ici la définition classique, par récurrence, de la dimension topologique d'un espace...) de l’ensemble de Cantor est 0, quoiqu’il ait une dimension de Hausdorff non nulle.
  • En géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle on représente les...), 0 a pour nom l’origine, notée aussi O (un cas où l’ambiguïté est bénigne).
  • Le concept de « presque » impossible en probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...). Plus généralement, le concept de presque nulle part en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) de la mesure.
  • Une fonction zéro est une fonction avec 0 comme seule valeur de sortie possible. Une fonction zéro particulière est le morphisme zéro. Une fonction zéro est l’identité dans le groupe additif des fonctions.
  • Zéro est l’une des trois valeurs de retour possibles de la fonction de Möbius (En mathématiques, la fonction de Möbius désigne généralement une fonction...). Si on entre un entier x2 ou x2y, la fonction de Möbius retournera zéro.
  • C’est un nombre de Pell.
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