Accélération de Siacci
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Les composantes de l'accélération dans différents systèmes de coordonnées sont bien connues.

Dans le cas de courbes planes, on utilise souvent les coordonnées polaires (r, θ).

Moins connu, est le système utilisant la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles...) comme antipodaire : Soit O l'origine et P la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface...) de O sur la tangente en M à la courbe (C) : le point (Graphie) P décrit alors la podaire (La podaire d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des projections orthogonales de P sur les tangentes à la courbe C.) de O à la courbe (C) : on appelle p la distance OP. Réciproquement la perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la généralisation de la notion de...) à la podaire au point P enveloppera la courbe (C) à étudier. Un système de coordonnées peu utilisé est le couple (r,p). L'exemple classique est : soit un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon...) et un point O intérieur ; l'antipodaire est une ellipse de foyer O ,

L'accélération de Siacci (Les composantes de l'accélération dans différents systèmes de coordonnées sont bien connues.) exprime l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur vectorielle...) d'un point en mouvement, M , sur (C) en fonction de sa distance au point O ( on pose OM := r ) et de la distance de O à la podaire ( on pose OP := p).

Cette accélération est très utile dans le cas d'une Force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les articles « force...) centrale.

Une deuxième partie donnera les composantes de cette accélération dans le cas général : moins utile , elle permet néanmoins au néophyte en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref,...) de bien comprendre la différence entre projections et composantes, puisque la base utilisée sera non-orthogonale.

Formule de Siacci : cas d'une Force centrale

Newton est sans doute un des premiers à avoir répéré cette formule. Mais la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées...) qu'il en donne est purement géométrique.

Ici, est utilisée la formule de Leibniz : dW = F(r).dr = mv.dv , car elle conduit plus simplement au résultat:

Soit C la constante des aires (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) ( = p.v) ; alors :

  • \vec{\gamma}  = -\vec{u}\cdot \frac{C^2dp}{p^3dr}

La formule est alors remarquable, car le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) n'y intervient plus explicitement (il est masqué dans C²) ; si l'on connaît l'expression podaire de la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) r = f(p) ou p = g(r), alors on obtient directement la loi de force F(r)!

Utilisation

  • L'exemple classique est celui de Isaac Newton (Sir Isaac Newton était un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais né le 4 janvier 1643 du calendrier grégorien[1] au manoir de Woolsthorpe près de Grantham et mort le...) ( nov 1684): pour une ellipse , l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) podaire vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) de son foyer est :a²/p² = 2a/r -1 (cf (note) )

En dérivant cette équation, on obtient -(a²/p³) dp= -(2a/r²) dr. D'où le résultat demandé par Edmund Halley (août 1684): F(r) est en 1/r² !

  • Newton (1687) l'utilise maintes fois , cf Exégèse des Principia (spirales logarithmiques , transmutation (La transmutation est la transformation d'un élément chimique en un autre par une modification du noyau atomique de l'élément. Elle est aussi appelée transmutation nucléaire.) de la force, ...) .
  • Exemple : spirale logarithmique (La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :) parcourue à vitesse angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation.) W constante. Alors l'accélération centrale reste proportionnelle à 1/r³, puisque p = r.sinα= r.k (eadem mutata resurgo, dixit Jacques Bernoulli). C'est la proposition IX.
  • Exemple : ellipse de Robert Hooke :l'équation podaire est ab/p² = a²+ b² + r² ; il en résulte que F(r) = -m (C²/a²b²) OM .c'est la proposition X.
  • Exemple : O sur le cercle de diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment. Pour...) "vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.)" OA [ A(0,2R) ]. la podaire est immédiate p = r²/2R : d'où F(r) = -m 8C²R²/r? : proposition VII, corollaire (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à...) I.
  • Exemples divers : les courbes r^k = a^k cos kθ ont pour podaires:

p = r^(k+1)/a^k , et donc F(r) = - C² aç(2k) (k+1)/ r^(2k+3) : soit les cas :

  • k= 1 , le cercle et F ~ 1/ r^5
  • k=2, la lemniscate : F ~ 1/r^7
  • k=-2 , l'hyperbole équilatère ( symétrie de Corinne de Hooke) : F ~ +OM.
  • k= -1 (n+1)=0 donc pour la ligne , F= 0
  • k=1/2 , cardioïde (La cardioïde est une courbe algébrique plane, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre. Il s'agit donc d'une courbe cycloïdale dont la directrice est un...) et son origine O : F ~ 1/r^4
  • k= -1/2 : la parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les...) et O au foyer ( cas de Briggs) : F ~ 1/r^2.
  • (Note : dans une ellipse il ya deux foyers, avec r+r' = 2a et pp' = a² et p'/r' =p/r).

démonstration de la formule

  • cas de force centrale :

Alors C = cste. Le travail élémentaire de la Force vaut : F(r).dr = m v.dv, or v² = C²/p² , donc F(r)/m = - C²/p³ . dp/dr

formule générale de Siacci

Elle décompose l'accélération selon OM et V, ce qui semble assez raisonnable comme choix de base, et pourtant, bien évidemment la base de Frenet est largement plus facile à utiliser!

  • \vec{\gamma}  = -\vec{u}\cdot \frac{C^2dp}{p^3dr} + \vec{V} \frac{C\dot{C}}{C^2}

Remarquer d'abord l'homogénéité, (1/C)dC/dt homogène à l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y...) d'un temps. Remarquer le Choix d'écrire avec C² plutôt qu'avec C , car on ne peut distinguer entre le plan vu de dessus ou vu de dessous. En règle générale, on prend C positif , MAIS ICI , C(t) est variable !De plus le changement t en -t , ne change pas l'accélération.

Remarquable aussi est le fait que le premier terme ( radial) ne change pas entre la formule force centrale et la formule générale. Certes, le deuxième terme contient dC/dt en facteur.

Lemme connu utilisé : ( r dr) = p . R avec R :=rayon de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :).(cf note)

Démonstration : on va se contenter d'identifier la formule à celle de Frenet.

Le deuxième terme (1/C)dC/dt = (1/v)dv/dt + un terme A = (1/p)dp/dt.

Il reste donc à démontrer que V. A + le terme radial est normal et égal à v²/R N.

Écrire OM = OP + PT = -p N + (r.T) T = -p N +(r.V) V/v².

La projection de Frenet sur N s'écrit : + (C²/rp³) dp/dr .p= v² .dp/(r.dr) =v²/R

La projection de Frenet sur T s'écrit : (v/p)dp/dt - (C²/rp³).(dp/dr).(r.V) / v ;

Or (r.V) = (r dr)/dt , d'où (v/p)dp/dt - (v²/rp) dp/dt.(r dr)/v qui s'annule.

Remarque : dans le deuxième terme on peut faire disparaître le temps : T (1/p²)dC/ds.

  • Note : voici une démonstration : p = -r.N donc dp = -dr.N + r.dN = 0+ r.T dα = (r.T)ds / R = r dr/ R . CQFD (CQFD (ou c.q.f.d.[1]) est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer », ponctuant, comme un repère visuel, la fin des démonstrations mathématiques et indiquant ainsi que le résultat...).
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