Espace vectoriel normé
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Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion se définit souvent sur le corps des nombres réels ou complexes, mais la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) s'étend sur tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) corps muni d'une valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.).

Formellement, un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion se définit souvent sur le corps...) sur un corps K muni d'une valeur absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température...) est la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) d'un K-espace vectoriel E et d'une application E\rightarrow K:e\mapsto \|e\| appelée norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une...) vérifiant :

  • Séparation : Pour tout e dans E, on a : \|e\|=0 ssi e = 0 ;
  • Homogénéité : Pour tout r dans K et pour tout e dans E, \|re\|=|r|\cdot\|e\| ;
  • Inégalité triangulaire : Pour tout e, f on a : \|e+f\|\leq\|e\|+\|f\|.

Dans le cas oû K=R ou C, la notation | r | désigne la valeur absolue ou le module.

Topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une...) normé

On peut, à partir de la norme \|\cdot\| sur l'espace vectoriel E , construire une distance d, définie par :

\forall x \in E, \forall y \in E, d(x,y)=\|x-y\|

On vérifie aisément que les trois axiomes qui définissent une distance sont vérifiés. De plus, la distance est invariante par translation, et homogène, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) où :

\forall x \in E, \forall y \in E, \forall z \in E,\, d(x +z,\, y + z)= d(x,\, y),
\forall x \in E, \forall y \in E, \forall r \in K,\, d(rx,\, ry)= |r|\cdot d(x,\, y),

L'espace E est alors muni de la topologie associée à cette distance. C'est bien évidemment un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces...) sur le corps topologique K.

Si K est le corps des réels ou des complexes, les boules forment une base de voisinages convexes de 0 : E est alors un espace vectoriel topologique localement convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais...) sur K.

Un espace vectoriel topologique localement convexe sur K est dit normalisable si sa topologie peut être définie par une norme. Il existe, y compris sur R ou sur C de nombreux exemples d'espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés intéressants mais non normalisables, par exemple parce qu'ils ne sont pas localement convexes.

Un espace vectoriel normé réel ou complexe complet (pour la distance associé) est appelé espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace...).

Exemples

Espaces normés de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) finie

Normes canoniques sur Kn

L'ensemble des vecteurs de norme 1 dans R2 pour différentes normes

L'espace \mathbb K^n possède plusieurs normes remarquables pour lesquelles existent des notations traditionnelles.

Norme-1
Soit \ (x_1,\dots,x_n)\in\mathbb C^n: \|x\|_1=\sum_{i=1}^n |x_i|. D'où :
\forall (a,b)\in\mathbb R^2:\|(a,b)\|_1=|a|+|b|.
Norme-2
Soit \ (x_1,\dots,x_n)\in\mathbb K^n: \|x\|_2= \left (\sum_{i=1}^n |x_i|^2 \right )^{1/2}.
Dans \R^n, elle est la norme " euclidienne ", ou " canonique ". C'est la norme associée au produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet de...) de même nom. La distance associée à cette norme est la distance entre deux points dans le plan ou l'espace géométrique habituellement utilisée, et appelée elle aussi distance euclidienne.
\forall (a,b)\in\R^2:\|(a,b)\|_2=\left(a^2+b^2 \right)^{1/2}
Norme-infinie
Soit \ x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb K^n: \|x\|_\infty = \max_{i\in[1,\dots,n]}|x_i|
Norme-p
Soit \mathbb K^n, muni d'une quelconque des normes-p \|(x_1, x_2, \ldots, x_n)\|_p = \left ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right  )^{1/p} avec p \geq 1.
C'est un espace vectoriel normé.

La notation \| \|_{\infty} est due au fait que\lim_{p\to+\infty} \|x\|_p =\|x\|_{\infty} L'inégalité triangulaire pour ces normes s'appelle l'inégalité de Minkowski, elle est une conséquence de résultats de convexité parmi lesquels l'inégalité de Hölder (En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces Lp : soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec...).

Autres espaces de dimension finie

Tout \mathbb K-espace vectoriel E de dimension finie n possède une norme.

En effet, E est isomorphe à \mathbb K^n. Soit u un isomorphisme de E vers \mathbb K^n et \mathcal N une norme de ce dernier. Alors N \circ u est une norme de E : u est linéaire, N est sous-linéaire donc N \circ u est sous-linéaire. De plus, N \circ u(x)=0_\R \Rightarrow u(x)=0_{\mathbb K} \Rightarrow x=0_E car u est injectif. Concrètement, on choisit en général une base de E et on utilise des normes de type norme 1, 2, infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.), ou p vis-à-vis des coordonnées dans cette base.

Cercles carrés

Bertrand Russell aimait à donner comme exemple d'oxymore l'expression " cercle carré ". S'il s'agit bien d'un oxymore en géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces...), les cercles carrés existent bel (Nommé en l’honneur de l'inventeur Alexandre Graham Bell, le bel est unité de mesure logarithmique du rapport entre deux puissances, connue pour exprimer la puissance du son. Grandeur sans dimension en dehors du système...) et bien lorsqu'on adopte par exemple la norme infinie. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des points de norme 1 est un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même...), et c est un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur...) dans la mesure où tous leurs points sont à égale distance de l'origine. Pour la norme-1, on obtient un carré incliné à 45°.

Espaces normés de dimension infinie

  • L'ensemble \ell^p des suites complexes a=(a_n)_{n\in\mathbb N} telles que\ \sum a_n converge au sens de la norme-p:
\|a\|_p = \left ( \sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|^p \right )^{1/p} < +\infty
  • \ell^{\infty} est l'ensemble des suites complexes bornées:
\|\|_\infty:\ell^\infty\to \mathbb R_+ , a \to \sup_{n \in\mathbb N} |a_n| en est la norme naturelle.
  • Le \mathbb C-espace vectoriel \ \mathcal C(\mathcal I,\mathbb C)des fonctions continues d'un compact \mathcal I de \mathbb R dans \mathbb Cest muni de la norme-p:
\ \|f\|_p = \left ( \int_I |f|^p \right )^{1/p}
et de la norme-infini :
\|f\|_\infty=\sup_I |f|
que l'on retrouve avec:
\ \lim_{p} \left ( \int_I |f|^p \right )^{1/p} =\sup_I |f|
On l'appelle également norme de la convergence uniforme (La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet seulement que, pour chaque point x, la suite ...).

Propriétés des espaces normés de dimension finie

Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur \mathbb{R}, sur \mathbb{C}, ou plus généralement sur un corps valué complet localement compact. alors :

  • Il n'existe qu'une seule topologie sur E qui en fasse un espace vectoriel topologique séparé, et cette topologie est normalisable ;
  • Pour cette topologie, E est homéomorphe à \mathbb{K}^n.
  • En particulier, toutes les normes sur E sont équivalentes ;
  • E est complet ;
  • Les parties compactes de E sont les fermés bornés ;
  • La boule unité (En topologie, une boule est un sous-ensemble particulier d'un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre, un objet familier dans et plus généralement dans muni de...) (fermée) de E est compacte ;
  • Toute application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces...) de E dans un espace vectoriel normé quelconque est continue.

Théorème de Riesz (Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité et celle de dimension.)

Si la boule unité (fermée) d'un espace vectoriel réel ou complexe normé E est compacte, alors E est de dimension finie.

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