Continuité
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La notion de continuité sert à décrire les phénomènes qui ne sautent pas brutalement, mais évoluent progressivement. Elle est définie de manière rigoureuse en mathématiques.

Intuitivement, une fonction dont on peut dessiner le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) (donc à variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un...) réelle) est continue si son graphe peut être dessiné sans lever le crayon.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) pour les fonctions réelles

Soit I un intervalle réel. Soit f : I \to \R et a \in I.

  • La fonction ƒ est dite continue en a si :
\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in I \quad \Big[|x - a| \leq \eta \implies |f(x) - f(a)| \leq \varepsilon\Big]
Cela veut dire que si l'on se fixe un seuil ε, on peut trouver un intervalle autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) de a tel que ƒ(x) soit à une distance inférieure à ε de ƒ(a).
Ce qui précède s'écrit également :
\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)
  • Si la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x,...) est valable uniquement à droite (pour x>a), on dit que f est continue à droite en a. De même à gauche pour a.
Dire que f est continue en a revient à dire qu'elle l'est à droite et à gauche en a.
  • La fonction ƒ est dite continue (sur I) si elle est continue en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point (Graphie) a de I.
Une fonction discontinue présente des " sauts ".

Commentaire

C'est l'idée du seuil fixé à l'avance qui est importante. Cette définition, fruit (En botanique, le fruit est l'organe végétal protégeant la graine. Caractéristique des Angiospermes, il succède à la fleur par transformation du pistil. La paroi de...) des efforts des mathématiciens du XIXème siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération...) pour rendre rigoureuse la notion intuitive de continuité, peut sembler à bon droit violente. En analyse non standard (La naissance du calcul différentiel et infinitésimal au XVIIe siècle mena à l'introduction et à l'utilisation de quantités infiniment petites. Leibniz ou Euler en firent grand usage. Cependant, ils ne purent éclairer pleinement la...), une approche plus intuitive est possible : on dira que f\, est continue en a\, si f(x)-f(a)\, est infiniment petit quand x-a\, est infiniment petit. Tout repose alors sur une définition rigoureuse des infiniments petits.

La définition globale de la continuité dans le cadre des espaces topologiques(voir plus bas) permet elle aussi de se débarrasser des \epsilon\,, au prix du formalisme de la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) générale.

Exemples

  • Une grande partie des fonctions usuelles (Les fonctions usuelles sont à la fois les plus simples et les plus importantes des fonctions utilisées en mathématiques. La plupart sont généralement plus ou moins connues dans le secondaire, et...) sont continues sur leur intervalle de définition : fonctions polynômes, rationnelles, exponentielles, logarithmes, hyperboliques, trigonométriques, racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est...), racine cubique (En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel y est l'unique nombre x qui, élevé à la puissance 3 (c'est-à-dire multiplié par lui-même trois fois) vaut y ; en d'autres termes, y = x3. La racine cubique de y est...), valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.).
  • La fonction carré : \R \to \R, x\mapsto x^2 est continue.
  • La fonction partie entière sur les réels est discontinue : on " lève le crayon " en arrivant à chaque entier.
  • Une fonction réelle (En analyse, une fonction est dite réelle si ses ensembles de départ et d'arrivée sont tous deux inclus dans .) dérivable en un point est continue en ce point. Par contre la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est fausse (par exemple la fonction racine carrée est continue en 0, mais n'y est pas dérivable).
  • Une fonction réelle peut n'être continue en aucun point : c'est le cas de 1_\mathbb{Q}, la fonction indicatrice de \mathbb{Q} qui vaut 1 en tout point rationnel et 0 ailleurs. Intuitivement, on voit bien que pour tracer cette fonction, d'une part il faudrait " lever le crayon " une infinité de fois par intervalle, et surtout, pas une seule fois on ne pourrait tracer de ligne de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...) non nulle.

Propriétés

La notion de continuité sur un intervalle pour les fonctions réelles

  • est utile pour prouver l'existence de solutions à des équations de la forme f(x) = m (voir théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) des valeurs intermédiaires)
  • simplifie le calcul de limites car \lim_{x\to a} f(x) = f(a)

La composée de fonctions continues est une fonction continue. La composée d'une fonction continue et d'une suite convergente est une suite convergente.

Les propriétés de stabilité de la continuité par combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire (i.e. pour tous α,β réels et f,g fonctions réelles continues, on a que α.f + β.g est continue) et par produit de deux fonctions font de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des fonctions continues une algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les...) sur le corps des réels.

Des erreurs à éviter

  • Une fonction dérivable en un point est continue sur ce point, la réciproque est fausse.

Contre exemple : la fonction racine de x est continue en 0 mais non dérivable en 0(voir dérivabilité).

Définition dans le cas des espaces métriques

Soient (E,\,d) et (E',\,d') deux espaces métriques.

Soient f : E \to E' et a \in E.
On dit que l'application f est continue en a si :

\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in E \quad \Big[d(x,a) \leq \eta \implies d'(f(x),f(a)) \leq \varepsilon\Big]

Ainsi f est continue en a si et seulement si la limite de f en a existe et vaut f(a).

Exemples

  • Une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire...) d'un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle....) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien...) finie vers un autre espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au...) normé est continue.
  • Une application linéaire d'un espace vectoriel normé vers un autre est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unité (En topologie, une boule est un sous-ensemble particulier d'un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre, un objet familier dans et plus...).
Et en effet, le cas non borné se présente en dimension infinie : considérons comme application linéaire la dérivation sur \R[X], l'espace des polynômes réels, où la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme...) d'un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en...) est la somme des valeurs absolues de ses coefficients. Prenons la famille de polynômes \{X^n|n\in\N\}. Tous ces polynômes sont de norme 1. Pourtant leurs dérivées sont de la forme nXn − 1, donc de norme n avec n arbitrairement grand. Donc la famille des dérivées n'est pas bornée, et la dérivation n'est pas une application continue.

Définition générale (espaces topologiques)

On donne deux définitions équivalentes dans le cas des espaces topologiques.

Définition locale

La définition locale (c'est-à-dire pour un point) de la continuité repose sur la notion mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...) de limite. Une fonction sera dite continue en un point a si sa limite en a est égale à sa valeur en a.

Plus formellement, étant donnés deux espaces topologiques E \,\! et F \,\!, un point a \in E \,\!, et une application f \, : \, E \rightarrow F \,\!, on dira que f \,\! est continue au point a \,\! si et seulement si :

\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \,\!

La fonction f \,\! est dite continue (tout court, ou continue sur E \,\!) si et seulement si elle est continue en tout point a de E \,\!.

Définition globale

Contrairement à la définition locale, la définition globale ne permet pas de caractériser les fonctions continues en un point particulier, mais seulement celles qui sont continues sur l'espace entier. On peut la considérer comme une propriété découlant de la première définition.

Une application continue d'un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des...) E dans un espace topologique E' est une application telle que l'image réciproque (L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à...) de tout ouvert (resp. un fermé) de l'espace d'arrivée soit un ouvert (resp. un fermé) de l'espace de départ.

Le lien avec la notion intuitive est le suivant : quand une fonction " saute ", cela signifie que des points très proches de l'espace de départ, se retrouvent sur des points très éloignés à l'arrivée. Or pour une application continue, ces sauts sont impossibles, car si on considère un point du départ et son image à l'arrivée, on sait que tout un voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend...) de ce point de départ doit arriver au voisinage du point d'arrivée !

Cette définition alternative est souvent utilisée comme propriété pour montrer qu'un ensemble est ouvert (ou fermé). Par exemple l'hyperbole \mathcal{H} = \left\{ (x,y)\in\R^2 \, | \, xy=1 \right\} \,\! peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme l'image réciproque de \{ 1 \} \,\! par l'application produit :
\begin{array}{cccc}\Pi : & \R^2 & \rightarrow & \R \\ & (x,y) & \mapsto & xy\end{array}
L'hyperbole \mathcal{H} = \Pi^{-1} \left( \{ 1 \} \right) \,\! est fermée car elle est l'image réciproque du singleton \{ 1 \} \,\! par l'application continue \Pi \,\!.
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