Espace topologique
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En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des mathématiques, ils sont donc centraux dans la vision moderne des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...). La branche des mathématiques qui étudie ces espaces s'appelle la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).).

La notion d'espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des...) est une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) axiomatique, formalisée par une structure ensembliste. Les axiomes sont minimaux, et en ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) c'est la structure la plus générale pour étudier les concepts cités.

Cet article est technique, une vision générale et historique est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) dans Topologie.

Concepts

Définitions

  • Un espace topologique est un couple (E,\; \Tau), où E\; est un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) et \Tau\; un ensemble de parties de E\; que l'on appelle les ouverts de (E,\; \Tau), vérifiant les propriétés suivantes :
  1. L'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) et E\; sont ouverts ;
  2. Toute réunion d'ouverts est un ouvert,
    i.e. si (O_i)_{i\in I} est une famille d'éléments de \Tau\;, alors \left( \bigcup_{i \in I}O_i \right) \in \Tau\; ;
  3. Toute intersection de deux ouverts est un ouvert,
    i.e. si O_1\; et O_2\; sont deux éléments de \Tau\;, alors \left( O_1\cap O_2 \right) \in \Tau\;.
  • L'ensemble \Tau\; est appelée topologie de E\;.

Il résulte de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) élémentaire des ensembles que toute intersection finie d'ouverts est un ouvert.

  • Les fermés d'une topologie sont les complémentaires des ouverts. Par conséquent, la famille des fermés contient E\; et l'ensemble vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.).

Il résulte de la théorie élémentaire des ensembles que toute intersection de fermés est un fermé, et que toute réunion finie de fermés est un fermé.

  • Il est d'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de rappeler la présence de la partie vide à l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable...) 1 ; c'est toutefois en bonne rigueur superflu, puisqu'on peut l'obtenir en appliquant l'axiome 2 à la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à...) indexée par l'ensemble vide.
  • Un des premiers rôles de la topologie est de décrire les voisinages des points. C'est une notion-clé pour comprendre la topologie. Elle sert par exemple à la définition de continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si,...) ou de limite en un point (Graphie). Cette notion est formalisée dans l'article voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité...). Rappelons ici simplement qu'une partie de E\; est un voisinage d'un point si et seulement si elle contient un ouvert contenant ce point.

Exemples

  • Un exemple simple est (\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N})). Tous les singletons sont des ouverts, tous les points sont donc isolés les uns des autres. La topologie ainsi définie est appelée topologie discrète. Plus généralement, la topologie discrète sur un ensemble X\, est celle pour laquelle \Tau =\mathcal{P}(X).
    En contrepartie de la simplicité, elle n'offre pas beaucoup d'intérêt.
  • Autre exemple sans intérêt : la topologie grossière sur X\, est celle pour laquelle les seuls ouverts sont la partie vide et X\, lui-même.
  • Un exemple plus intéressant sur les entiers est (\N, \mathcal F)\;\mathcal F\; désigne le filtre (Un filtre est un système servant à séparer des éléments dans un flux.) de Fréchet, c'est-à-dire tous les complémentaires d'ensembles finis et l'ensemble vide. Cette topologie donne un sens au voisinage de l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) et permet par exemple de définir la notion de limite d'une suite.
  • L'article sur les voisinages démontre qu'il existe une topologie associée à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.). Un ouvert O\; est alors un ensemble qui contient pour chaque point a\; de O\; une boule ouverte de centre a\;.
  • L'ensemble des nombres réels est donc muni naturellement d'une topologie issue de sa distance. Un ouvert est alors une union d'intervalles ouverts.
  • La topologie induite d'un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du...) F\; d'un ensemble E\; est la topologie obtenue par intersection des ouverts de E\; avec F\;. Cette définition permet par exemple de définir la topologie induite par celle de \R sur un intervalle, et ainsi de pouvoir définir les propriétés de continuité et de limite à des fonctions définies sur un intervalle de \R.
  • D'autres exemples de topologies plus sophistiquées sont donnés dans l'article voisinage.
  • Le cube de Hilbert (En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit muni de la topologie produit. D'après le théorème de Tychonoff, c'est un espace compact.) [0,1]^\N est une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils...) du cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de Platon, le seul...) en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa...) infinie.
  • L'ensemble de Cantor (L'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le...) est source de nombreux exemples et contre-exemples.

Applications continues

Définitions

Un des premiers intérêts de la notion d'espace topologique est de pouvoir définir une application continue. Il existe deux approches, l'approche locale donnée dans l'article voisinage et qui définit la continuité en un point, et l'approche globale qui définit la continuité en tout point.

  • Définition globale. Une application f\; de A\;\rightarrow\;B \; entre deux espaces topologiques est dite continue si l'image réciproque (L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : .) f^{-1}(U)\; de tout ouvert U\; de B\; est un ouvert de A\; (l'image réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) f^{-1}(U)\; est l'ensemble de tous les points de A\; que f\; envoie dans U\;).
  • Définition locale. Soit f\; une fonction d'un espace topologique E\; dans F\; et soit a\; un point élément du domaine de définition de f\;. La fonction f\; est continue au point a\; si et seulement si l'image réciproque d'un ouvert contenant f(a)\; contient un ouvert contenant a\;. Cet énoncé est équivalent à celui donné dans l'article voisinage.
  • Équivalence de la continuité locale en tout point et de la continuité globale. Si une application est globalement continue l'image réciproque d'un ouvert contenant f(a)\; contient elle-même qui est un ouvert contenant a\;. L'application est donc continue en tout point. Réciproquement, si l'application est continue en tout point alors son image réciproque contient pour chaque point un ouvert le contenant et inclus dans l'image réciproque. L'union de tous ses ouverts est par définition un ouvert et est égal à l'image réciproque. L'image réciproque est donc ouverte.

Une application bijective continue et dont la réciproque est continue est appelée un homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques...).

La notion d'application continue est développée en détail dans l'article continuité.

Exemples

  • L'application identité (En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui à tout élément x de X associe lui-même :) d'un espace topologique dans lui-même est continue. En effet l'image réciproque de tout ouvert est lui-même donc est ouvert.
  • Une application constante d'un espace topologique dans un autre est continue. En effet l'image réciproque est soit l'ensemble vide soit l'ensemble de départ tout entier.
  • l'application \begin{matrix}\R & \rightarrow & \R\\x & \mapsto & x^2 \end{matrix} est continue. La preuve en est donnée dans l'article continuité.

Limite

Adhérence

Cette notion est développée dans un article spécifique Adhérence. Nous ne développerons cette notion que dans la mesure où elle est nécessaire pour formaliser la notion de limite.

En topologie l'adhérence d'une partie X d'un espace topologique est le plus petit ensemble fermé qui contient cette partie. On la note souvent \overline X.

Une autre façon de définir les espaces topologiques consiste à faire appel à la notion prétopologique d'adhérence : on définit une adhérence sur un ensemble E comme une application qui à toute partie A de E associe une partie contenant A, l'adhérence de la partie vide restant vide. Dans le cas où l'adhérence est idempotente et où l'adhérence de l'union de deux parties est égale à l'union des adhérences, on dit que l'adhérence est topologique. Un espace topologique peut se définir comme un ensemble muni d'une adhérence topologique. Les ouverts sont alors les complémentaires des parties stables pour l'adhérence.

En termes d'adhérences, une application d'un espace topologique dans un autre est continue si et seulement si l'image d'un point adhérent à une partie est nécessairement adhérente à l'image de cette partie.

Définition

La notion de limite, si elle existe, décrit le comportement qu’une fonction devrait avoir si elle était définie en ce point. L’exemple le plus simple est le cas d’une fonction définie sur un intervalle ouvert de \R ; la limite est le concept qui permet de déterminer le comportement de la fonction aux bornes de cet intervalle.

Soit (E,\; \Tau)\; et (F,\; \Upsilon)\; deux espaces topologiques. Soit (E',\; \Tau')\; un sous-espace de E\; muni de sa topologie induite et f\; une fonction de E'\; dans F\;. Soit enfin un point a\; de \overline{E'}\; et l\; un point de F\;. Alors l\; est la limite de la fonction f\; au point a\; si et seulement si l’image réciproque d’un ouvert contenant l\; contient un ouvert de {E'}\; contenant a\;. Cet énoncé est équivalent à celui qui est donné dans l’article Voisinage. L’énoncé étant plus simple avec le formalisme des voisinages, c’est en général celui-là qui est utilisé.

Remarque 1 
La notion de limite est développée dans l’article Limite.
Remarque 2 
Si le point a\; est élément de l’ensemble {E'}\;, alors la limite, si elle existe, est égale à f(a)\; et la fonction f\; est continue en a\;.

Propriétés

  • On dit qu’un espace topologique est séparé ou de Hausdorff ou T2 lorsque deux points distincts quelconques admettent des voisinages disjoints.
  • On dit qu’un espace vérifie la propriété de Borel-Lebesgue lorsqu’on peut extraire un sous-recouvrement fini de tout recouvrement (Un recouvrement d'un ensemble X est un ensemble P de sous-ensembles non vides de X tel que l'union de ces sous-ensembles soit égal à X. Autrement dit P est...) ouvert. On parle aussi d’espace quasi-compact.
  • Un espace quasi-compact et séparé est dit compact.

Exemples

  • Le premier exemple historique d’espace topologique est l’ensemble des nombres réels. Cet exemple est celui qui est à la base de la théorie des espaces topologiques. Il apparaît comme un cas particulier de la deuxième famille d’exemples donnés ici.
  • Les espaces métriques et, en particulier, les espaces vectoriels normés sont des espaces topologiques.
  • Il existe de nombreuses classes d'espaces topologiques (espaces vectoriels topologiques, espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un...), de Fréchet, de Hilbert, de Hausdorff, de Kolmogorov, de Montel, de Baire, compacts, quasi-compacts, précompacts, paracompacts, bien enchaînés, complets, connexes, simplement connexes, connexes par arcs, localement compacts, localement connexes, groupe topologique (On appelle groupe topologique tout groupe (G,*) muni d'une topologie satisfaisant aux conditions suivantes:), anneau topologique (En mathématiques, un anneau topologique est un anneau (R,+, ×) muni d'une topologie telle que :) etc.).
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