Cycloïde
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La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point (Graphie) fixé à un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...) qui roule sans glisser sur une droite. Il s'agit donc d'une courbe cycloïdale (Une courbe cycloïdale est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une courbe dite directrice. Il s'agit donc d'un cas particulier de roulette.) particulière dont la directrice est une droite et dont le point directeur est situé sur le cercle lui-même; c'est un cas particulier de roulette.
Par exemple, la valve (point directeur) d'une roue (La roue est un organe ou pièce mécanique de forme circulaire tournant autour d'un axe passant par son centre.) de vélo avançant en ligne droite décrit une épicycloïde (Une épicycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur, les disques ouverts ayant ces deux cercles pour frontière étant...) et non pas une cycloïde (La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une droite. Il s'agit donc...) car elle n'entre pas en contact avec la chaussée (directrice). Par contre, le chewing-gum (point directeur) collé sur le pneu décrira une cycloïde car il rentre en contact avec la chaussée (directrice) à chaque tour de roue.

Étymologie et histoire

Le mot vient du grec kuklos (cercle, roue) et eidos (forme, semblable à), bien que cette courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des...) n'ait pas été connue des Grecs et ne fut baptisée qu'en 1599 par Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du...).

Elle fut étudiée pour la première fois au XVe siècle par Nicolas de Cues alors qu'il essayait de déterminer la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière...) du cercle par intégration. En 1626, Mersenne en reprit l'étude et essaya, sans succès, de déterminer l'aire sous une arche (Une arche est un élément naturel ou construit qui adopte une forme géométrique proche de l'arc. L'élément délimite un espace sous lequel il est possible de faire passer...) de cycloïde. Il faudra attendre 1634 pour que son confrère Roberval démontre que cette aire est égale à trois fois l'aire du cercle qui l'a générée. Descartes, qui fut consulté sur ce calcul, le trouva intéressant mais trivial. Galilée, pour sa part, avait étudié ce problème pendant quarante ans mais n'était arrivé au même ratio que par une méthode empirique mettant en jeu des mesures de poids ; il crut d'ailleurs que ce ratio n'était pas entier.

La cycloïde et le calcul de ses propriétés furent alors l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est...) de défis constants entre mathématiciens, si bien qu'elle fut surnommée " l'Hélène des géomètres ". Après Descartes, Pascal (sous le pseudonyme de Dettonville) offrit un prix à qui résoudrait deux problèmes liés à la cycloïde et au mouvement du pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les célèbres pendules, c'est sans doute celui de Foucault qui est le...). En 1658, Christopher Wren (Christopher Wren (20 octobre 1632, East Knoyle - 25 février 1723, Hampton Court) est un savant et architecte britannique du XVIIe siècle, célèbre pour son rôle dans la reconstruction...) démontra que la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est...) d'une arche de cycloïde est égale à quatre fois le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère....) du cercle qui l'a générée. En 1673, Christiaan Huygens l'évoqua dans un traité sur le pendule synchrone. A cette époque, un technicien eut l'idée de suspendre le pendule à deux lames correctement recourbées (" joues ") pour obtenir l'isochronisme du battement (En acoustique, le battement est une interférence entre deux sons de fréquences légèrement différentes, laissant percevoir des pulsations. En...), préalable indispensable pour permettre la construction d'horloges marines et donc la détermination du " secret des longitudes". Huygens démontra que la forme de ces lames correspondait à des morceaux de cycloïdes[1]. Enfin, ses propriétés brachistochrones furent étudiées à partir de 1696 par Jean Bernoulli, puis par Isaac Newton (Sir Isaac Newton était un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais né le 4 janvier 1643 du calendrier grégorien[1] au manoir de Woolsthorpe près de Grantham...), Leibniz, Jacques Bernoulli et L'Hôpital (Un hôpital est un lieu destiné à prendre en charge des personnes atteintes de pathologies et des traumatismes trop complexes pour pouvoir être traités à domicile ou dans le...). Il s'agissait d'un des premiers problèmes de variations, et son étude fut le point de départ de l'élaboration du calcul des variations.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) mathématique

La courbe peut être définie paramétriquement par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste...) suivante :

\left\{\begin{matrix}  x(t)=R(t - \sin\ t) \\ y(t)=R(1 - \cos\ t)\end{matrix}\right.

On peut également la définir par une équation intrinsèque :

R_c^2+s^2=16R^2, où R_c\, représente le rayon de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :), s\, l'abscisse curviligne et R\, le rayon du cercle.

Propriétés et applications

Propriété générales

Une arche de cycloïde a une longueur de 8 R et une aire de 3π R².

La roulette de la pointe d'une cardioïde (La cardioïde est une courbe algébrique plane, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre. Il s'agit donc d'une courbe cycloïdale dont la...) roulant sur une cycloïde de même longueur est rectiligne.

La radiale de la cycloïde est un cercle de rayon 2 R.

La développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la...) et la développante de la cycloïde sont des cycloïdes translatées.

La brachistochronie

C'est une courbe brachistochrone au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement,...) de Roberval, c'est-à-dire qu'une cycloïde représente la courbe sur laquelle doit glisser sans frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.) et sans vitesse (On distingue :) initiale, un point matériel pesant placé dans un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe ainsi qu'en un lieu donné tous les corps libres tombent en direction du...) uniforme de sorte que son temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) de parcours soit minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés. Autrement dit, c'est la courbe de descente la plus rapide pour aller d'un point A à un point B.

La tautochronie

La demi-arche de cycloïde est également une courbe tautochrone (Une courbe tautochrone est la courbe où le temps pris par une particule glissant sous l'influence uniforme de la gravité jusqu'à son point le plus bas est indépendant de son point de départ.), c'est-à-dire une courbe telle que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point matériel lâché sans vitesse initiale sur la courbe arrive en un point donné ( celui ayant la plus basse altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau de base. C'est une des composantes géographique et biogéographique qui explique la répartition de la vie sur...) pour la cycloïde ) en un temps indépendant du point de départ.

L'isochoronie

Elle est enfin une courbe isochrone (Isochrone signifie « qui se produit à intervalles de temps égaux ». Les oscillations d'un pendule ou d'un balancier-spirale sont isochrones lorsque leur durée est indépendante de l'amplitude.) au sens de Huygens, c'est-à-dire telle qu'un point matériel se déplaçant sans frottement sur elle a un mouvement périodique dont la période est indépendante de la position initiale.

Ces deux dernières propriétés expliquent son utilisation dans la conception de pendules cycloïdaux en horlogerie.

Autres propriétés remarquables

La trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) d'une particule soumise sans vitesse initiale à un champ électrique (Dans le cadre de l'électromagnétisme, le champ électrique est un objet physique qui permet de définir et éventuellement de mesurer en tout point de l'espace l'influence exercée à distance par des particules...) et un champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux magnétique) est une grandeur caractérisée par la...) orthogonaux uniformes est une cycloïde orthogonale au champ magnétique.

Des propriétés caustiques particulières font que la cycloïde est également utilisée en optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.).

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