Algèbre multilinéaire - Définition

Contenu de l’algèbre multilinéaire

Le contenu de l’algèbre multilinéaire a changé bien moins que la présentation, à travers les ans. Voici d’autres pages qui y sont centralement pertinentes :

• Espace dual
• Opérateur bilinéaire
• Produit intérieur
• Application multilinéaire
• Déterminant
• Règle de Cramer
• Delta de Kronecker
• Contraction tensorielle
• Tenseur mixte
• Symbole de Levi-Civita
• Algèbre tensorielle
• Algèbre symétrique
• Produit extérieur, Puissance extérieure
• Algèbre de Grassmann
• Dérivée extérieure
• Notation d'Einstein
• Tenseur symétrique
• Tenseur métrique

Conclusion sur l’approche abstraite

En principe l’approche abstraite peut recouvrir tout ce qui est fait via l’approche traditionnelle. En pratique cela peut ne pas sembler si simple. D’autre part la notion de naturel est compatible avec le principe de la covariance générale de la relativité générale. Ce dernier fait affaire aux champs tensoriels (les tenseurs variant de point en point sur une variété, mais la covariance affirme que le langage des tenseurs est essentiel à la formulation propre de la relativité générale.

Quelques décennies plus tard le point de vue plutôt abstrait venant de la théorie des catégories fut noué avec l’approche qui avait été développée dans les années 1930 par Hermann Weyl (dans son livre célébré et difficile Les groupes classiques). D’une façon cela amena la théorie à pleins bords, reliant une fois encore le contenu des points de vue anciens et nouveaux.

Du point de vue des applications

Consultez ces articles pour certains moyens dans lesquels les concepts de l’algèbre multilinéaire sont appliqués, dans diverses guises :

• Tenseur dyadique
• Notation bra-ket
• algèbre géométrique
• Algèbre de Clifford
• Pseudoscalaire
• Pseudovecteur
• Spineur
• Produit extérieur
• Nombre hypercomplexe
• Courbure

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau