Entier de Dirichlet - Définition

Fonctions remarquables

Application conjuguée

Deux des outils pour l'étude de l'anneau sont constitués de fonctions. La première, notée ici φ, désigne une fonction de Z[ω] dans lui-même, respectant les lois de composition de l'anneau, c'est-à-dire :

Une application vérifiant ces propriétés est qualifiée de morphisme d'anneau, comme l'application recherchée et aussi une bijection, le terme consacré est automorphisme d'anneau. Une conséquence de la théorie de Galois indique qu'il n'existe qu'un unique automorphisme de Z[ω] différent de l'identité. Un peu de travail permet d'arriver à ce résultat. Pour cela, le plus simple est d'étudier l'image par φ de l'élément √5 de Z[ω]. Le fait que φ soit un morphisme montre que :

L'image φ(√5) a pour carré 5, il n'existe que deux valeurs possibles, soit √5 soit -√5. Comme les automorphismes laissent stables les éléments neutres de l'addition et de la multiplication φ(1) est nécessairement égal à 1. On en déduit que l'image de 1 + √5 est égal à lui-même ou 1 - √5 et, par voie de conséquence, l'image de ω est égal soit à ω soit à 1/2(1 - √5), que l'on note dans cet article ω'. Si l'image de ω est ω, et que l'application est un automorphisme, il est nécessairement égal à l'identité. L'unique automorphisme restant associe à ω la valeur ω' = 1 - ω.

• L'application φ, de Z[ω] dans lui-même, définie par l'égalité suivante est appelée application conjuguée de l'anneau des entiers de Dirichlet. Cette application est un automorphisme d'anneau.

Il est aisé de vérifier que φ est bien un automorphisme. Son nom provient de l'analogie avec la configuration des nombres complexes et de son automorphisme conjugué. La situation est un peu la même si l'on compare la racine de 5 avec l'unité imaginaire.

Norme

Une fois encore la situation est un peu analogue à celle des nombres complexes. Un bon outil pour mettre en valeur les propriétés géométriques des nombres complexes, vus comme un plan, est l'application module. À un nombre, elle associe la racine carrée du produit de lui-même et de son conjugué. En arithmétique, la définition doit être un peu modifiée, le produit d'un entier de Dirichlet par son conjugué n'est pas toujours positif. Par exemple la norme de √5 est égale à -5.

• La norme d'un entier de Dirichlet est le produit de cet entier par son conjugué :

À l'image de la situation complexe ou de celle d'un espace vectoriel, à bien des égard la norme ressemble à une distance. Le cercle de rayon 1, qui serait composé par les entiers de Dirichlet de norme en valeur absolue égale à 1, devient un étrange carré dont les sommets se trouvent repoussés à l'infini et les côtés deviennent des branches d'hyperboles. La figure de droite illustre ce phénomène. Les entiers de Dirichlet sont représentés sur un plan munis d'un repère de centre 0 et de base (1,ω). Cette vision géométrique ressemble à celle d'un espace vectoriel, cependant ici les scalaires ne sont pas des nombres réels mais des entiers relatifs.

La norme possède quelques propriétés clés :

• La norme d'un entier de Dirichlet est à valeurs dans l'ensemble des entiers relatifs.

La compatibilité de φ vis à vis de la multiplication entraine celle de la norme :

• La norme du produit de deux entiers de Dirichlet est égale au produit de la norme des deux entiers.

Cette propriété se démontre aisément :

Exprimé à l'aide des coordonnées, on obtient une formule, citée dans l'article nombre d'or et plus délicate à démontrer par un calcul direct :