Entier de Dirichlet - Définition

Montrons dans un premier temps l'équivalence entre l'existence d'une solution à l'équation diophantienne et le fait que p soit décomposé.

• Un nombre premier p de N différent de 2 est inerte, si et seulement si, 5 n'est pas un résidu quadratique modulo p :

Traitons tout d'abord le cas où p est égal à 5. Il n'est pas premier dans Z[ω] car √5 le divise et il est bien un résidu quadratique car 0² et 5 ont même reste par la division euclidienne par 5.

Le principe de la démonstration pour les autres cas se fonde sur une propriété établie pour prouver le petit théorème de Fermat. Un nombre premier p est inerte si et seulement si ω n'est congru à aucun entier compris entre 0 et p - 1 modulo π, ici π désigne un facteur premier de p. Si p est premier, π et p sont confondus à un facteur unité près, sinon π divise strictement p. Si p n'est pas premier, tout entier de Dirichlet est congru à un entier compris entre 0 et p - 1 modulo π (cf paragraphe précédent). En revanche, si p est premier, aucun point a + b.ω avec a compris 0 entre p - 1 et b compris entre 1 et p - 1 n'est congru à un entier compris entre 0 et p - 1 modulo p et donc modulo π.

Supposons que ω soit congru à un entier w modulo π et montrons que 5 est un résidu quadratique modulo p. Le nombre 4(ω² - ω - 1) est égal à 0, donc 4w² - 4w - 4 congru à 0 modulo π ou encore, est un multiple de π. Ceci montre que 4w² - 4w + 1 - 5, égal à (2w - 1)² - 5, est un multiple de π, en conséquence (2w - 1)² est un carré parfait congru à 5 modulo π. Le conjugué de (2w - 1)² - 5, égal à lui même est un multiple de φ(π). La décomposition en facteurs premiers de (2w - 1)² - 5 contient à la fois π et φ(π), ce qui permet de conclure que (2w - 1)² - 5 est un multiple de p dans Z[ω]. Il existe un entier de Dirichlet q tel que p.q est égal à (2w - 1)² - 5. Comme (2w - 1)² - 5 et p sont entiers relatifs, q l'est nécessairement. On a montré l'existence d'un carré parfait c² tel que c² - 5 est un multiple de p dans N, 5 est bien un résidu quadratique modulo p.

Réciproquement, supposons que c soit un résidu quadratique de 5 modulo p et montrons que ω est congru à un entier modulo π. L'identité de Bézout montre l'existence d'un entier d tel que 2.d est congru à 1 modulo π car π est premier de Dirichlet, 2 et π sont premiers entre eux. L'entier 2.d(1 + c) vu comme un entier de Dirichlet est congru à 2.ω modulo π et donc l'entier d(1 + c) est congru à ω. La division euclidienne de d(1 + c) par p montre l'existence un entier naturel compris entre 0 et p - 1 congru à d(1 + c) modulo p et donc modulo π. Le fait que ω soit congru à un entier compris entre 0 et p - 1 modulo π montre que p n'est pas irréductible et termine la démonstration.

Etudions le cas simple, c'est-à-dire celui où p est congru à 2 ou à 3 modulo 5. Un rapide calcul montre que p n'est pas décomposable.

• Soit p un nombre premier de N. Si p est congru à 2 ou à 3 modulo 5, p est inerte et 5 n'est pas un résidu quadratique modulo p :

Supposons que p soit un nombre premier décomposable, il existe un entier de Dirichlet a + b.ω de norme égale à p. Cette norme est égale à a² + a.b - b², calculons sa congruence modulo 5 :

Un carré parfait modulo 5 n'est jamais congru à 2 ou à 3, en conséquence, si p est n'est pas décomposable s'il est congru à 2 ou à 3 modulo 5. La proposition précédente montre qu'alors 5 n'est pas un résidu quadratique.

L'étape d'après consiste à utiliser la propriété géométrique du nombre d'or. Un pentagone se définit aussi comme les racines du polynôme cyclotomique X⁵ - 1. Une méthode relativement simple pour une équation d'un degré aussi élevé permet de venir à bout de l'extraction de racine. La première étape voit l'apparition d'une valeur formellement proche du nombre d'or, ce qui permet d'établir la proposition suivante :

• Soit p un nombre premier de N différent de 2 et de 5 et π un nombre premier divisant p. S'il existe un entier de Dirichlet α non congru à 1 modulo π tel que α⁵ - 1 soit un multiple de π, alors l'entier p est décomposé :

Pour la démonstration, on utilise l'égalité suivante :

Supposons que α⁵ - 1 soit multiple de π et montrons que p est décomposable dans les entiers de Dirichlet. Le lemme d'Euclide assure que l'un des deux facteurs de l'égalité précédente est un multiple de π. Par hypothèse, ce n'est pas le premier, c'est donc le dernier. On obtient :

En multipliant la première égalité par α on remarque que α⁵ est congru à -α - α² - α³ - α⁴ donc à 1 modulo π d'après la deuxième égalité. Si u désigne α + α⁴ et v α² + α³, comme α⁵ est congru à 1 modulo π :

En multipliant u + v par u :

Il existe un entier congru à 5 modulo π ce même entier est aussi congru à φ(π) donc au produit car ces deux entiers de Dirichlet sont premiers et 5 est congru à un carré parfait modulo p. Le fait que 5 soit un résidu quadratique ainsi que la proposition précédente, permet de conclure.

Il est temps d'utiliser le petit théorème de Fermat, si p est irréductible l'exposant du petit théorème de Fermat est égal à p² - 1 un multiple de 5 si p est congru à 1 ou à 4 modulo 5. Le petit théorème de Fermat traite d'un polynôme multiple de X⁵ - 1, l'aide de la proposition précédente permet de conclure.

• Si p est un nombre premier congru à 1 ou à 4 modulo 5, p est décomposé :

Raisonnons par l'absurde et supposons que p soit congru à 1 ou à 4 modulo p et irréductible dans les entiers de Dirichlet. Un simple calcul montre que p² - 1 est un multiple de 5. On note k l'entier tel que 5.k est égal p² - 1. Soit α un entier de Dirichlet non multiple de p et n le plus petit entier tel que αⁿ - 1 soit un multiple de p. Le petit théorème de Fermat nous indique que n est un diviseur de p² - 1. La proposition précédente montre que n n'est pas un multiple de 5, sinon α^n/5 serait un entier non congru à 1 modulo p tel que, à la puissance 5, il serait congru à 1 modulo p. L'existence d'un tel entier montre que 5 est un résidu quadratique modulo p et que p est décomposable. On en déduit que n est un diviseur de k. Ceci montre que pour tout entier de Dirichlet α non multiple de p, α^k - 1 est un multiple de p.

Soient k entiers de Dirichlet α₁, α₂, ..., α_k non multiple de p et tous de congruences différentes modulo p. Il en existe toujours, le paragraphe précédent montre qu'il existe exactement p² - 1 congruences différentes modulo p et k est strictement plus petit que p² - 1. Le polynôme X^k - 1 annule la congruence de α₁, ce qui montre l'existence d'un polynôme P₁(X) de degré k - 1 tel que :

L'entier de Dirichlet α₂^k - 1 est un multiple de p, donc (α₁ - α₂)P₁(α₂) est aussi un multiple de p. Par construction des α_j, α₁ - α₂ n'est pas un multiple de p. Le lemme d'Euclide montre que P₁(α₂) est un multiple de p. Ceci montre l'existence d'un polynôme P₂(X) tel que :

En continuant le même raisonnement jusqu'à k on obtient la congruence :

Considérons alors un entier de Dirichlet α non multiple de p et congru à aucun des éléments α₁, α₂, ..., α_k. On a vu que α^k - 1 est un multiple de p, donc :

Le terme précédent est un multiple de p, pourtant aucun des facteurs α - α_j n'est un multiple de k. Cette assertion contredit le lemme d'Euclide et ne peut être juste. En conséquence l'hypothèse p est irréductible dans les entiers de Dirichlet est fausse, ce qui démontre la proposition.

• Si p est un nombre premier de N différent de 5 et décomposé, alors a_p est un multiple de p ainsi que a_p-1 - 1 :

La démonstration est rapide avec le petit théorème de Fermat. Le nombre p admet d'après les deux propositions précédentes deux nombre premiers π et φ(π) dans sa décomposition en facteurs premiers. La norme de chacun des nombres premiers de Dirichlet est p. Le petit théorème de Fermat affirme que ω^p-1 - 1 est un multiple de π et de φ(π) donc de p. L'analyse de la suite de Fibonacci montre que ω^p-1 - 1 = a_p-1 - 1 + a_p.ω, ce qui démontre le résultat. Une vérification manuelle montre que a₁₁ est égal à 55, a₁₀ à 33 + 1, a₁₉ à 2585 = 19x136 et a₁₈ à 19x84 + 1.