Entier de Dirichlet - Définition

La démonstration est un plus longue que celle, plus usuelle des entiers naturels. Les nombres premiers ne sont, dans le cas étudié ici, pas tous de même nature, comme le montre la proposition suivante. Le terme π désigne un nombre premier de Dirichlet :

• Soit π est un élément de N, soit la norme de π est, en valeur absolue, un nombre premier dans l'ensemble N des entiers naturels :

Le raisonnement est le suivant, on suppose que |N(π)| n'est pas un nombre premier dans les entiers naturels et on montre que π est un nombre premier dans N.

L'entier naturel |N(π)| n'est pas premier dans N par hypothèse, il admet deux diviseurs n et m dans N, chacun différent de 1. Soit β un nombre premier de Dirichlet présent dans la décomposition en facteurs premiers de n. Il est en effet possible de considérer n comme un entier de Dirichlet. Soit γ un entier de Dirichlet tel que β.γ soit égal n. Ce nombre β divise N(α) c'est-à-dire le produit de α et de son conjugué. Comme β est premier, le lemme d'Euclide, appliqué dans Z[ω], montre que β divise soit α soit son conjugué. Comme α et son conjugué sont des nombres premiers de Dirichet, β est égal soit à α soit à son conjugué. La norme N(α) est égale au produit de α et de son conjugué, on en déduit que γ.n est égal à soit à α soit à son conjugué. Comme α et son conjugué sont premiers de Dirichlet et que m n'est pas une unité par hypothèse, γ est égal à 1.

Or β est un nombre premier de Dirichlet, donc β.γ = n est un nombre premier, c'est-à-dire divisible seulement par lui-même ou par 1, à un facteur unité près. L'entier n divise le produit de α et de son conjugué, il divise l'un des deux. Comme ces deux nombres sont premiers de Dirichlet, il est égal à l'un des deux, à un facteur unité près. Si π ou son conjugué est égal à n, à un facteur unité près, alors π, tout comme son conjugué sont égaux à n. Ceci montre que le nombre premier de Dirichlet π est élément de N. Comme π est premier de Dirichlet, il est aussi premier dans N, ce qui termine la démonstration.

Étudions, dans un premier temps, le cas d'un nombre premier de Dirichlet π dont la norme n est en valeur absolue un nombre premier dans les entiers naturels. Un exemple est donné par 3 + 2.ω. Il vérifie l'égalité :

Si deux entiers de Dirichlet ont un produit égal à 3 + 2.ω, le produit de leur norme est égal à 11. Comme 11 est un nombre premier dans N, une des normes est égale à ±1, ce qui montre que l'entier de Dirichlet associé est une unité et donc que 3 + 2.ω n'admet pas de diviseur propre.

• Si π est un nombre premier dont la norme n est, en valeur absolue, un nombre premier dans N, alors le petit théorème de Fermat est vérifié :

Le raisonnement utilisé consiste à se ramener à un cas où la formulation usuelle du petit théorème de Fermat s'applique. Soient p₁, p₂, a et b les quatre entiers relatifs tels que π = p₁ + p₂.ω soit égal à π et a + b.ω à α. Les entiers relatifs p₂ et n sont premiers entre eux, sinon p₂ serait un multiple de n d'après la formule exprimant la norme d'un entier de Dirichlet, en fonction de ses coordonnées. L'identité de Bézout montre l'existence de deux entiers g et h tel que p₂.g + n.h = -b. On en déduit que α + g.π + h.n est un entier relatif. De plus n est égal à π.φ(π) donc :

Ce qui signifie que α est congru à un entier relatif modulo π. Notons c cet entier relatif, comme α est congru à c modulo π, α^n-1 est congru c^n-1 modulo π. Le petit théorème de Fermat permet d'affirmer que c^n-1 est congru à 1 modulo n donc α^n-1 est congru à 1 modulo n et donc aussi aux diviseurs de n comme π. Ce qui termine la démonstration.

Il reste le deuxième cas à traiter, celui où π est à la fois un nombre premier de Dirichlet et un entier naturel. L'entier π est aussi un nombre premier dans les entiers naturels. En effet, il n'admet pas de diviseur autre qu'une unité et lui-même, à un facteur unité près, dans les entiers de Dirichlet et donc a fortiori dans N. L'objectif est alors de montrer que pour tout α, non multiple de π, la congruence suivante est vérifiée :

• Si π est un nombre premier de N premier dans l'anneau des entiers de Dirichlet, alors α^{2π -1} est congru à 1 modulo π :

La configuration est suffisamment différente pour devoir reprendre pas à pas la démonstration du petit théorème de Fermat. Soit C l'ensemble des entiers non nuls de Dirichlet c + d.ω tel que les coordonnées c et d se situent dans l'intervalle [0, p-1]. L'ensemble C forme une espèce de carré et contient exactement π² - 1 points. Le -1 correspond au zéro que l'on a retranché de l'ensemble.

Un élément β de l'anneau des entiers de Dirichlet, non multiple de π, est congru à un et un seul élément de C modulo π.

On note β = a_β + b_β.ω. Les divisions euclidiennes dans l'ensemble des entiers relatifs (avec un reste toujours positif) de a_β et de b_β montrent qu'il existe un représentant de β dans C, en effet :

On note β_c = r_a + r_b.ω, β_c est congru à β modulo π et est élément de C. Réciproquement, la différence entre deux éléments de C ne contient que des points aux coordonnées inférieures à π en valeur absolue, pour que cette différence soit un multiple de π, il faut qu'elle soit nulle. Ce qui montre l'unicité du représentant β_c de β dans C.

Soit ψ l'application de C dans C qui à β, un élément de C, associe le représentant de α.β dans C.

L'application ψ est une bijection.

Soit β₁ et β₂ deux éléments de C ayant même image par ψ. La différence ψ(β₁) - ψ(β₂) est nulle, ce qui signifie que α.(β₁ - β₂) est un multiple de π. Comme π est premier en tant qu'entier de Dirichlet, il divise soit α, soit β₁ - β₂. Par hypothèse π ne divise pas α, il divise donc β₁ - β₂. La proposition précédente montre que cela signifie que β₁ et β₂ sont égaux, c'est-à-dire que ψ est injective. Toute application injective d'un ensemble fini dans lui même est une surjection, le caractère bijectif de ψ est ainsi démontré.

On désigne par Π_c le produit de tous les éléments de C. Cette valeur est l'équivalent du terme (π-1)! dans la démonstration élémentaire de l'article Petit théorème de Fermat.

L'entier de Dirichlet Π_c.α^π2-1 est congru à Π_c modulo π.

Il suffit de remarquer que Π_c est le produit d'exactement les π² - 1 éléments de C. Comme ψ est une bijection il correspond aussi au produit des π² - 1 éléments ψ(β) si β décrit C. Or ce produit est congru à Π_c.α^π2-1 modulo π car dans le monde des congruences, ψ correspond à une multiplication par α. Ceci montre que Π_c.α^π2-1 est congru à Π_c modulo π.

Conclusion

Le paragraphe précédent montre que Π_c(α^π2-1 - 1) est un multiple de π. Aucun élément constituant le produit Π_c n'est un multiple de π, la contraposée du lemme d'Euclide permet de conclure que π ne divise pas Π_c. Si π ne divise par Π_c une nouvelle application de ce même lemme montre que π divise l'autre facteur : α^p2-1 - 1. Dire que π divise α^π2-1 - 1 est exactement équivalent au petit théorème de Fermat, la démonstration est ainsi achevée.