Équations de Navier-Stokes - Définition

Introduction

En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non-linéaires qui décrivent le mouvement des fluides dans l'approximation des milieux continus. Elles modélisent par exemple les mouvements de l'air de l'atmosphère, les courants océaniques, l'écoulement de l'eau dans un tuyau, et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de fluides. Elles sont nommées d'après deux physiciens du XIX^e siècle, Claude Navier et George Stokes. Pour un gaz peu dense, il est possible de dériver ces équations à partir de l'équation de Boltzmann.

Formulation différentielle

Il existe bien des formes des équations de Navier-Stokes. Nous n'en présenterons que certaines. Ces formes dépendent aussi des notations utilisées. Ainsi, il existe plusieurs façons équivalentes d'exprimer les opérateurs différentiels.

La formulation différentielle de ces équations est la suivante, en coordonnées cartésiennes :

• Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse)

• Équation de bilan de la quantité de mouvement

• Équation de bilan de l'énergie

Dans ces équations :

• t représente le temps (unité SI : s) ;
• ρ désigne la masse volumique du fluide (unité SI : kg.m ^{− 3}) ;
• désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : m.s ^{− 1}) ;
• p désigne la pression (unité SI : Pa) ;
• est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : Pa) ;
• désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI : N.kg ^{− 1}) ;
• e est l'énergie totale par unité de masse (unité SI : J.kg ^{− 1}) ;
• est le flux de chaleur perdu par conduction thermique (unité SI : J.m ^{− 2}.s ^{− 1}) ;
• r représente la perte de chaleur volumique due au rayonnement (unité SI : J.m ^{− 3}.s ^{− 1}).

Remarques :

• L'énergie totale peut se décomposer en énergie interne u et en énergie cinétique selon
• L'opérateur nabla, en coordonnées cartésiennes, est un opérateur de dérivation spatiale du 1^er ordre. Les opérateurs gradient, divergence et laplacien peuvent s'écrire à l'aide de cet opérateur :
  •  ;
  •  ;
  • .

Fluide newtonien, hypothèse de Stokes

En première approximation, pour de nombreux fluides usuels comme l'eau et l'air, le tenseur des contraintes visqueuses est proportionnel à la partie symétrique du tenseur des taux de déformation (hypothèse de Newton) et le flux de chaleur est proportionnel au gradient de la température (loi de Fourier), c'est-à-dire

où :

• μ désigne la viscosité dynamique du fluide (unité SI : Po (Poiseuille), 1Po = 1Pa.s) ;
• η désigne la viscosité de volume du fluide (unité SI : Po) ;
• désigne le tenseur unité ;
• λ désigne la conductivité thermique du fluide (unité SI : W.K ^{− 1}.m ^{− 1}) ;
• T désigne la température (unité SI : K).

L'ensemble des fluides pour lesquels cette hypothèse est vérifiée sont appelés fluides newtoniens. On leur adjoint généralement l'hypothèse de Stokes :

.

Cette hypothèse se révèle totalement fausse mais est couramment utilisée dans l'aéronautique.

Remarque :

De nombreux fluides, tels que les polymères, les hydrocarbures lourds, le miel, ou encore la pâte de dentifrice, ne vérifient pas ces hypothèses. La science chargée d'étudier les relations entre contrainte et déformation pour de tels fluides s'appelle la rhéologie.