Groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques - Définition

• Si d est négatif, le groupe des unités est cyclique et inclus dans celui des racines de l'unité :

Si d est égal à -1, le groupe est cyclique d'ordre 4 (cf Entier de Gauss), si d est égal à -3, le groupe est cyclique d'ordre 6 (cf Entier d'Eisenstein).

Sinon, il suffit de chercher les éléments de norme ±1. La norme d'un entier quadratique a + b.ω est soit égal à a² - d.b² si d n'est pas congru à 1 modulo 4, soit à (a - 1/2b)² - d.b²/4 sinon. On remarque qu'elle est la somme de deux termes positifs, elle est donc positive. Si d est égal à -2, il n'est pas congru à 1 modulo 4 et il est de la forme a² - d.b². Le terme - d.b² ne peut que être nul si a + b.ω est une unité, les deux seules valeurs possibles de a étant ±1. Ce raisonnement s'applique encore pour les cas restants, c'est-à-dire ceux où |d| est strictement plus grand que 4.

• Si d est strictement positif, le groupe des unités est isomorphe au produit direct d'un groupe cyclique d'ordre deux et d'un groupe monogène d'ordre infini :

Le groupe des unités de Z[ω] est noté Z[ω]^*. On note α_c le conjugué de α, si α est un élément de Q[ω] et soit ψ l'application de Q[ω]^* dans R² qui à α associe (ln(|α|), ln(|α_c|)), ici ln désigne la fonction logarithme. L'application ψ est un morphisme du groupe multiplicatif (Q[ω]^*, .) dans le groupe additif (R², + ). La restriction de ψ à Z[ω]^* est aussi un morphisme de groupe. Enfin, soit H le sous-espace vectoriel de R² des couples (x, y) tel que x + y soit égal à zéro. On remarque qu'un élément de Z[ω] est une unité si, et seulement si son image est dans H.

• Le noyau de la restriction de ψ à Z[ω]^* est le groupe cyclique d'ordre deux {-1, 1} :

Le noyau de la restriction est composé des éléments α de Z[ω]^* tel que le logarithme de la valeur absolue de α et de α_c soit égal à zéro. En conséquence α est égal à ±1.

• L'image de Z[ω]^* par ψ est un sous-groupe discret de H :

Il suffit pour cela de montrer qu'il n'existe un ensemble fini de points de norme (au sens euclidien) bornée, c'est-à-dire inférieure à un réel strictement positif B. Soit α un élément de Z[ω]^* dont l'image par ψ est de norme inférieure à B et a, b les deux entiers relatifs tel que α = a + b.ω. On remarque que la norme euclidienne de α_c est égale à celle de α et donc est plus petite que B. La valeur 2.a est égal à α + α_c et est inférieur à 2B, de même 2.b est égal à α - α_c est aussi inférieur à 2.B. Il n'existe qu'un nombre fini d'éléments de Z[ω] satisfaisant ces deux propriétés, il n'en existe a fortiori qu'un nombre fini dans Z[ω]^*. L'image de Z[ω]^* par ψ est donc un sous-groupe discret de H.

• Soit un nombre réel B strictement positif, il existe une infinité d'éléments de Z[ω] dont la norme en valeur absolue est plus petite que B.

L'argument utilisé est géométrique, il correspond à l'usage du théorème de Minkowski sur un réseau, ici de R². Un réseau de R² est un sous-groupe discret. Graphiquement, il correspond à un quadrillage constitué par les 4 sommets n.u + m.v où u et v sont deux vecteurs libres de R² et n et m des éléments de Z. Le volume fondamental du réseau est égal à la surface du parallélogramme constitué par les quatre points 0, u, v, u + v. Le théorème de Minkowski indique qu'un rectangle centré en (0,0) et de surface strictement supérieure à 4 fois celle du volume fondamental contient au moins un point du réseau différent du point nul.

On construit une suite de points correspondant à des éléments α_n de Z[ω], dont la norme est en valeur absolue toujours plus petite que B, et une suite de rectangles. La largeur du rectangle diminue chaque fois suffisamment pour être certain que les points précédents de la suite d'éléments de Z[ω] ne puissent faire partie du nouveau rectangle. La hauteur du rectangle augmente suffisamment pour que le théorème de Minskowski nous assure de l'existence d'un point de Z[ω] dans le nouveau rectangle.

Soit φ, l'application de Q[ω] dans R², qui à un élément α associe (α, α_c). L'image de Z[ω] par φ est le réseau de R² engendré par les vecteurs (1, 1) et (ω, ω_c) car (1, ω) forme une base du Z module Z[ω]. Le volume fondamental V du réseau est égal à la surface du parallélogramme de sommets 0, (1,1), (ω, ω_c) et (1 + ω, 1 + ω_c). Un rapide calcul montre que V est égal à 2.√d.

On considère la suite de rectangles R_n centrés en 0 de longueur 2.t_n et de hauteur 2(V + 1)/t_n. Leurs surfaces sont toujours égales à 4(V + 1) et ils contiennent nécessairement un point de l'image de Z[ω] d'après le théorème de Minskowski. Un point β de Z[ω] dont l'image par φ est dans le rectangle R_n, possède une valeur absolue inférieure à t_n et un conjugué de valeur absolue inférieure à 2(V + 1)/t_n. Sa norme est en conséquence bien bornée par 2(V + 1), égal à la constante B recherchée.

Définissons par récurrence les suites (t_n), correspondant à la demi-longueur des rectangles et α_n la suite des points de Z[ω] dont l'image est dans R_n. On pose t₀ = 1 et α₀ un point non nul de Z[ω] et dont l'image est dans R₀. Supposons les deux suites définies à l'ordre n. Soit t_n+1 un réel strictement positif et strictement inférieur à la valeur absolue de α_n. Le rectangle R_n+1 ne contient aucune image des α_j si j est inférieur ou égal à n car sa longueur est strictement plus petite que la valeur absolue du plus petit des α_j, qui forme une suite décroissante en valeur absolue. En revanche, sa surface, égale à 4(V + 1) garantit, d'après le théorème de Minkowski, l'existence d'un point α_n+1 non nul dont l'image est à l'intérieur du rectangle R_n+1. La suite (α_n) est bien une suite infinie de points distincts dont la norme est strictement inférieure à une constante B.

• Il existe deux indices i et j distincts et une unité ε de Z[ω] tel que α_i = ε.α_j :

Pour cela, il est utile de considérer l' ensemble des multiples de α_n, si n est un entier quelconque. Un tel ensemble est appelé idéal principal engendré par α_n, il est en général noté α_n.Z[ω] et ici J_n pour une raison de simplicité. La technique utilisée ici consiste à étudier l'anneau quotient A_n = Z[ω]/J_n. Le paragraphe Idéal premier, idéal maximal de l'article Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique montre cet anneau quotient est de cardinal fini.

Il n'existe qu'un nombre fini d'anneaux, à un isomorphisme près, pour un cardinal donné. Pour s'en persuader, il suffit de considérer que le nombre de tables de multiplications et d'additions est fini. Ensuite un morphisme de Z[ω] dans un anneau unitaire A_n est entièrement défini par l'image de ω. En effet, l'image de l'unité de Z[ω] est nécessairement l'image de l'unité de A_n et tout élément de Z[ω] s'exprime comme la somme d'un itéré de 1 et de ω. Il n'existe donc qu'un nombre fini de morphismes de Z[ω] dans A_n, inférieur ou égal à B², c'est-à-dire le nombre d'images que peut prendre ω. Les différents idéaux correspondent aux différents noyaux des morphismes. Il n'en existe qu'un nombre fini.

Soit i et j deux indices tels que les idéaux engendrés par α_i et α_j soient les mêmes. Il en existe car le nombre d'indice est infini à la différence du nombre d'idéaux. α_i est un multiple de α_j, il existe donc un élément ε de Z[ω] tel que α_i = ε.α_j. De même, α_j est un multiple de α_i, il existe un élément ε₁ de Z[ω] tel que α_j = ε₁.α_i. En remplaçant l'expression de α_j dans la première égalité on trouve α_i = ε.ε₁.α_i et donc ε.ε₁ = 1. Comme α_i et α_j ont été choisi distincts ils sont de valeurs absolues différentes. On en déduit que ε, égal au quotient α_i/α_j, ne peut être égal à ±1. On a bien montré l'existence d'une unité différente de ±1.

• Le groupe des unités est isomorphe à Z/2Z x Z :

L'image de Z[ω]^* par ψ est isomorphe à Z, son noyau est isomorphe à Z/2Z. Soit v un élément tel que ψ(v) soit générateur de l'image. L'application de Z/2Z x Z dans Z[ω]^*, qui à (p, n) associe (-1)^p.ωⁿ est un isomorphisme, ce qui démontre le théorème.