Nombre - Définition et Explications

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Arithmétique

Opérations

Dès lors que les quantités sont représentées par des symboles, la manipulation des quantités doit être traduite par des opérations sur les nombres. Ainsi, la réunion de deux quantités définit l’opération d’addition et la répétition d’une certaine quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) donne lieu à la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...). Ces deux opérations directes admettent des opérations réciproques : la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction...) et la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...), qui permettent de retrouver l’un des opérandes à partir du résultat et de l’autre opérande.

Chacune de ces opérations est réalisée selon diverses techniques de calcul. Mais contrairement aux opérations directes qui sont définies sans restriction, les opérations réciproques n’aboutissent que sous certaines conditions. Ainsi, avant l’utilisation des nombres négatifs, un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) ne peut être soustrait qu’à un nombre plus grand. De même, la notion de divisibilité décrit la réalisabilité d’une division. Le processus de division euclidienne (En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la division euclidienne...) a cependant l’avantage de fournir un résultat même sans l’hypothèse de divisibilité. Cette dernière s’exprime alors par l’absence de reste.

À partir du moment où la multiplication apparaît comme une opération purement numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information...), sa répétition définit les puissances d’un nombre, dont les opérations réciproques sont appelées racines. D’autres opérations telles que la factorielle (En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit...) sont développées dans le cadre de la combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les...).

Multiple et diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division...)

Dans ce paragraphe, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) nombre est sous-entendu entier et strictement positif.

Étant donné un nombre, l’ensemble de ses multiples est infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...) mais régulièrement réparti et facile à décrire par une suite arithmétique (En mathématique, une suite arithmétique est une suite définie sur à valeurs dans un groupe...). Par exemple, les multiples de 2 sont les nombres pairs, qui sont alternés avec les nombres impairs parmi tous les entiers.

Au contraire, l’ensemble des diviseurs d’un nombre est toujours fini et sa répartition n’a pas du tout le même genre de régularité. Il contient certes toujours le nombre à diviser et le nombre 1, les éventuels autres diviseurs se situant entre ces deux extrêmes. Mais il est en général difficile de lister ces autres diviseurs à partir d’une écriture du nombre dans une base donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...).

Ce problème est lié en partie à la rareté de critères simples pour déterminer sans calcul si un nombre est divisible par un autre. Dans un système de numération (Un système de numération est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des...) positionnelle décimale, plusieurs critères de divisibilité sont connus pour de petits diviseurs (surtout pour 2, 3, 5, 9 et 10), mais en dehors de ces quelques cas, c’est essentiellement la division euclidienne qui permet de répondre à cette question.

Nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et...)

Hormis le nombre 1, qui est son seul diviseur, tout nombre admet donc au moins deux diviseurs distincts. Ceux qui en admettent exactement deux sont appelés nombres premiers. Ils sont les seuls à pouvoir réduire d’autres nombres par division, sans être eux-mêmes décomposables en produit de nombres strictement plus petits. Il en existe une infinité et chaque nombre se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers. Cette décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) permet entre autres de comprendre la structure de l’ensemble des diviseurs.

Vers la théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe...)

Les opérations définies sur les entiers s’étendent à d’autres objets mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) qui ne prendront que progressivement le statut de nombre. Les nombres avec une partie fractionnaire, les fractions, puis zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...) et les nombres négatifs, les nombres algébriques et certains nombres d’abord qualifiés d’« imaginaires » sont l’objet d’étude d’une arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) qui se développe jusqu’à prendre le nom de théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des nombres.

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