Théorie de la perturbation (mécanique quantique) - Définition

Théorie de la perturbation dépendante du temps

La théorie de la perturbation dépendante du temps, développée par Paul Dirac, traite de l'effet d'une perturbation dépendante du temps appliquée à un hamiltonien indépendant du temps. Le hamiltonien perturbé étant dépendant du temps, ses niveaux et états propres d'énergie le sont aussi, et de toute manière leur interprétation est sujette à caution en vertu du principe d'incertitude, qui interdit de donner un sens physique à un instant donné à une énergie donnée. Par conséquent, les objectifs de la théorie de la perturbation dépendante du temps sont légèrement différents de ceux la théorie de la perturbation indépendante du temps. On traite les quantités suivantes :

• l'espérance mathématique dépendante du temps d'une observable , pour un état initial donné.
• les amplitudes dépendantes du temps des états quantiques dans la base des kets propres (vecteurs propres) de l'énergie dans le système non perturbé.

La première quantité est importante car elle est à l'origine du résultat classique d'une mesure de réalisée sur un nombre macroscopique d'exemplaires du système perturbé. Par exemple, on peut prendre comme le déplacement dans la direction de l'électron dans un atome d'hydrogène, dans le cas duquel l'espérance mathématique, lorsqu'elle est multipliée par un coefficient approprié, donne la polarisation électrique dépendante du temps du gaz d'hydrogène. Avec un choix approprié de perturbation (comme par exemple un potentiel électrique oscillant), cela permet de calculer la permittivité diélectrique du gaz.
La seconde concerne la probabilité temporelle d'occupation de chaque état propre. Cela est particulièrement utile en physique des lasers, dans laquelle on s'intéresse à des populations dans différents états atomiques dans un gaz lorsqu'un champ électrique variable dans le temps est appliqué. Ces probabilités sont aussi utiles pour calculer l'élargissement quantique des raies spectrales.

On exposera brièvement ci-après les idées de la formulation de Dirac de la théorie de la perturbation dépendante du temps. Choisissons une base d'énergie pour le système non perturbé. On ne portera plus les exposants pour les états propres, car parler de niveaux d'énergie et d'états propres pour le système perturbé est peu significatif.

Si le système non perturbé est un état propre au temps , son état aux temps suivants varie seulement d'une phase (on se place dans la représentation de Schrödinger, où les vecteurs d'état évoluent dans le temps et les opérateurs restent constants) :

On introduit alors une perturbation du hamiltonien, dépendante du temps . Le hamiltonien du système perturbé est :

Soit la notation pour l'état quantique du système perturbé au temps . Il obéit à l'équation de Schrödinger dépendante du temps,

L'état quantique à chaque instant peut être exprimé comme une combinaison linéaire de la base propre . On peut écrire la combinaison linéaire comme étant :

où les sont des fonctions complexes non déterminées de que nous appellerons amplitudes (à strictement parler, ce sont les amplitudes dans la représentation de Dirac). On a explicitement extrait les facteurs de phase exponentiels du côté droit de l'équation. C'est simplement un problème de convention, et peut être fait sans perte de généralité. La raison pour laquelle on s'intéresse à ce problème est que quand le système débute dans l'état et qu'il n'y a pas de perturbation, les amplitudes ont la propriété intéressante que, pour tout , et si .

Le carré de la valeur absolue de l'amplitude est la probabilité que le système soit dans l'état au temps  :

En insérant l'expression de dans l'équation de Schrödinger, et en calculant par dérivation des fonctions composées, on obtient :

En multipliant à gauche cette équation par on réduit cette équation en un système d'équations différentielles couplées pour les amplitudes :

Les éléments de matrice de jouent un rôle similaire à celui tenu dans la théorie de la perturbation indépendante du temps, étant proportionnels au taux auquel les amplitudes sont modifiées entre les états. Il faut noter, cependant, que la direction (complexe) de la modification est conditionnée par le facteur de phase exponentiel. Sur des temps bien plus importants que , la phase peut cycler plusieurs fois. Si la dépendance en temps de est suffisamment lente, cela peut provoquer une oscillation des amplitudes d'état. De telles oscillations sont utilisées pour gérer les transitions radiatives dans les lasers.
Jusque là, on n'a fait aucune approximation, donc l'ensemble d'équations différentielles est exact. En indiquant des valeurs initiales appropriées , on peut en principe trouver une solution exacte (non perturbative). Cela est facilement trouvé lorsqu'il y a seulement deux niveaux d'énergie ( ), et la solution est utile pour des systèmes modèles comme la molécule d'ammoniac, ou une particule de spin . Cependant, il est difficile de trouver des solutions exactes lorsqu'il y a plusieurs niveaux d'énergie, et l'on cherchera plutôt des solutions perturbatives, qui peuvent être obtenues en mettant les équations sous une forme intégrale :

On effectuant de manière répétée la substitution pour chaque du côté droit, on obtient la solution itérative :

où, par exemple, le terme de premier ordre est :

De nombreux résultats induits peuvent être obtenus, comme la règle d'or de Fermi, qui lie le taux de transition entre états quantiques à la densité d'états à énergies particulières, et les séries de Dyson, obtenues en appliquant la méthode itérative à l'opérateur d'évolution temporelle, qui est l'un des points de départ de la méthode des diagrammes de Feynman. La Théorie de la perturbation de Møller-Plesset est une application de la théorie de la perturbation à la méthode Hartree-Fock.