Univers fini de Friedmann - Définition
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Applications numériques
La leçon précieuse des équations d'un univers fini de Friedmann est que la masse d'un tel univers fixe sa taille et sa durée de vie totale, et réciproquement. Un seul paramètre A (disons l’âge de maturité, ou la masse) caractérise entièrement un univers de Friedmann. Cette quantité A représente à la fois le rayon de l'univers dans son état d'expansion maximale et sa masse totale et π A donne sa durée de vie complète du Big Bang au Big Crunch. Comme nous les facteurs de conversion entre unités conventionnelles et unités géométrisées, il est remarquablement intéressant de faire une application numérique.
Une masse de 1 seconde représente la masse de deux cent mille (soit 2×105) soleils. Une masse de une année, soit 3×107 secondes équivaut donc à 6×1012 masses solaires. Admettons qu'une galaxie moyenne dans notre Univers réel contienne une masse de cent milliards (1011) soleils. Donc une masse de une année vaut 60 galaxies moyennes. En chiffres ronds dix milliards d'années valent mille milliards de galaxies.
Conclusion : un univers de Friedmann dont l'âge de maturité A vaut 100 milliards d'années a une durée de vie totale π A égale à 300 milliards d'années et contient nécessairement dix mille milliards de galaxies.
La deuxième application numérique d'importance concerne le taux d'expansion de l'Univers, mesuré par la constante de Hubble H que nous avons écrite comme (1/a)(da/dt). Par habitude on mesure la constante de Hubble (qui d'ailleurs varie avec le temps !) en kilomètres-par-seconde par mégaparsec. On voit que H a les dimensions de l'inverse d'un temps. D'ailleurs l'inverse de la constante de Hubble est appelée temps de Hubble. Quel est le facteur de conversion entre les unités historiques habituelles et les unités de temps conventionnelles ? Calculons à quoi correspond comme inverse de temps la valeur de 100 (km/s)/Mpc sachant qu'un parsec vaut 3×1018 cm.
- 100 (km/s)/Mpc = 107 ( cm / s ) / 3 ×1024 cm = 1 / ( 3 ×1017 secondes )
Comme une année vaut 3×107 s, on en déduit la formule de conversion fort commode
- 100 ( km/s ) / Mpc = 1 / 10 milliards d'années
Autrement dit à une constante H de 100 (km/s)/Mpc correspond un temps de Hubble de 10 milliards d'années.
Il est remarquable que tous ces nombres touchent aux ordres de grandeur de ceux qui caractérisent notre Univers réel. En effet l'âge de notre Univers se situerait entre 10 et 20 milliards d'années. De même la constante de Hubble observée est comprise entre 50 et 100 (km/s)/Mpc. De même encore le contenu de matière dans la partie visible de notre Univers se mesure bien par un nombre de l'ordre de 1024 masses solaires (à des facteurs 10 ou 100 près).
On peut s'amuser à fabriquer un univers de Friedmann qui ressemblerait en ordres de grandeur à notre Univers réel. Voici un exemple d'application numérique possible basé sur les formules données plus haut (tout est fixé quand on s'est donné A et η).
| Paramètre | Valeur du paramètre |
|---|---|
| Âge de maturité A et rayon maximum | 175 milliards d'années |
| Masse totale | M = (c 3 G ) (3π / 4) A = 1024 masses solaires, soit environ 2 × 1057 g |
| Durée de vie totale du Big Bang au Big Crunch | π A = 550 milliards d'années |
| Distance paramétrique angulaire de l'horizon choisi comme « aujourd'hui » | η = 1 |
| Âge aujourd'hui | t = 14 milliards d'années |
| Rayon de courbure aujourd'hui | a = 40 milliards d'années |
| Distance « instantanée » actuelle de l'horizon cosmologique | a η = 40 milliards d'années |
| Constante de Hubble aujourd'hui | H = 50 (km / s) / Mpc |
| Temps de Hubble aujourd'hui | H −1 = 20 milliards d'années |
| Volume total aujourd'hui | 2 π2 a3 = 1087 cm3 |
| Masse par unité de volume aujourd'hui ou densité actuelle | ρ = 5 × 10 -30 g / cm 3 |
| densité critique aujourd'hui | ρc = 3,7 × 10 −30 g / cm 3 |
| Paramètre Ω aujourd'hui | Ω = (ρ / ρc) = 1,3 |
