Univers fini de Friedmann - Définition et Explications

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Introduction

Parmi les nombreux modèles cosmologiques de notre Univers, le modèle d’univers fini de Friedmann occupe une place à part parce qu'il est historiquement l'un des premiers à avoir fourni une image physiquement cohérente du cosmos dans le cadre de la nouvelle théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein en ont fait un...) générale d'Einstein.

De plus, sa simplicité intrinsèque et sa richesse font de lui le modèle idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la...) pour aborder la cosmologie (La cosmologie est la branche de l'astrophysique qui étudie l'Univers en tant que système physique.) moderne. Cette page est destinée à le présenter en détail. Elle fournira aussi la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de paramètres cosmologiques importants tels que la constante de Hubble (Le télescope spatial Hubble (en anglais, Hubble Space Telescope ou HST) est un télescope en orbite à environ 600 kilomètres d'altitude, il effectue...) ou la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le...) critique et servira d'introduction aux problèmes cruciaux de la cosmologie moderne comme le problème de la platitude ou le problème de l'horizon (Conceptuellement, l’horizon est la limite de ce que l'on peut observer, du fait de sa propre position ou situation. Ce concept simple se décline en physique,...). L'univers fini de Friedmann (Parmi les nombreux modèles cosmologiques de notre Univers, le modèle d’univers fini de Friedmann occupe une place à part parce qu'il est historiquement l'un des premiers à avoir fourni une...) a une valeur pédagogique précieuse.

Introduction

Le modèle d'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) de Friedmann est le plus simple des modèles cosmologiques satisfaisant aux équations d'Einstein. Conçu en 1922 par Alexander A. Friedmann, ce modèle revêt une importance historique et conceptuelle considérable.

C'est le premier en effet qui a permis à la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que l'on tient pour vrai au sens large. L'ensemble de connaissances,...) d'analyser le cosmos de façon physiquement cohérente en donnant par exemple un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) à la notion de taille, d'âge et de contenu en matière-énergie de l'Univers. En outre, ce modèle prédisait un phénomène dont personne ne pouvait à l'époque (vers 1920) soupçonner l'existence, à savoir l'expansion de l'espace. En observant que toutes les galaxies (Galaxies est une revue française trimestrielle consacrée à la science-fiction. Avec ce titre elle a connu deux existences, prenant par ailleurs la suite de deux autres Galaxie,...) s'éloignaient de la nôtre, Hubble confirma une dizaine d'années plus tard la réalité de cette expansion et prouva du même coup la justesse de la nouvelle théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) de la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux...). En remontant le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) en arrière, cette expansion impliquait qu'à l'origine notre Univers était infiniment condensé, une situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus général afin de le qualifier à travers...) qui conduisait inéluctablement à l'idée du Big Bang (Le Big Bang est l’époque dense et chaude qu’a connu l’univers il y a environ 13,7 milliards d’années, ainsi que l’ensemble des modèles cosmologiques qui la décrivent, sans...). Enfin, également pour la première fois, la science apportait une réponse à la question immémoriale des limites de l'Univers, ce qui constituait un succès extraordinaire de la réflexion humaine. Le modèle homogène fini représente en effet un espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la géométrie de l'espace et du...) qui, doté de la « courbure » que lui imprime la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de gravitation (la masse...) qu'il contient, est dénué de frontières. Il n'est pas contenu dans un espace extérieur : il constitue à lui seul tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) temps et tout espace.

On ne peut toutefois pas aisément visualiser cette situation, car notre espace n'a que trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) alors qu'on traite un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction...) mathématique abstrait : un espace non réel à quatre dimensions.

Bien qu'incomplet, le modèle d'univers de Big Bang homogène fini a initialisé toutes les découvertes cosmologiques modernes et leur a servi de cadre. D'autre part, même s'il n'est accepté aujourd'hui que par un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) restreint de cosmologistes — mais parmi eux, il y a des noms célèbres comme celui de John Archibald Wheeler — les autres préférant le modèle infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque...), le modèle fini possède les propriétés principales des univers issus d'un Big Bang, contient tous les points où la théorie rencontre des difficultés et se révèle suffisant à la fois pour comprendre les grandes lignes de la structure de l'Univers et pour poser les problèmes actuels auxquels se trouve confrontée la cosmologie.

Variation du rayon de l'univers avec le temps

En traçant a comme fonction de t et en prenant pour unité sur les deux axes la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer...) (A/2) on observe une cycloïde (La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui...).

La dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) de l'univers est déterminée par la loi de variation du rayon a de l'univers avec le temps t, une loi que l'on déduit des équations d'Einstein sous la forme paramétrique très simple suivante :

\begin{cases}  a=\frac{A}{2} \left(1 - \cos\eta \right)\\ t=\frac{A}{2} \left(\eta - \sin\eta \right) \end{cases}

La signification physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne...) du paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) angulaire η sera donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) à la . Précisons tout de suite que la forme de ces équations correspond au cas où la contribution de la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière...) domine le contenu total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple : "Le...) en masse-énergie de l'univers, la densité de rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de transmission d'énergie impliquant une particule porteuse.) pouvant alors être ignorée. On parle d'un univers « dominé par la matière ».

La courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) exprimant a en fonction de t s'appelle une cycloïde. C'est la courbe engendrée par le point (Graphie) d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant...) de rayon A roulant sans glisser sur un axe et dont l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) de rotation η augmente progressivement. On voit que le rayon a part de zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans...), passe par un maximum égal au paramètre A pour η = π et revient de façon symétrique à la valeur 0 pour η = 2π. Ainsi cet univers de Friedmann subit successivement expansion puis contraction. Autrement dit il va du Big Bang au Big Crunch (En cosmologie, le Big Crunch est une des fins possibles à notre Univers. Analogiquement au principe du Big bang, certains scientifiques lancent la théorie du Big Crunch,...) en passant par une phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en physique :) d'expansion maximale. Après l'anéantissement de l'univers de Friedmann au Big Crunch, il n'y a aucun sens à parler de cycles postérieurs d'expansion-contraction car à l'effondrement ultime le temps lui-même disparaît (dans le modèle d'Einstein le temps est partie constitutive de l'univers et il n'existe donc pas de temps absolu pouvant servir de référence extérieure). C'est à proprement parler la fin des temps.

On voit sur les équations que le paramètre A représente le rayon de l'univers dans sa phase d'expansion maximale. Il est remarquable que ce paramètre caractérise entièrement l'univers et en détermine l'évolution. C'est dire son importance. Nous verrons plus loin que A mesure aussi (en unités convenables) la masse totale de l'univers. Notons que la durée de vie totale d'un univers de Friedmann de masse A, obtenue en prenant η = 2π dans l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) donnant t, est

T = \pi A \ .

Il atteint son expansion maximale à l'âge πA / 2.

On remarque encore que la vitesse (On distingue :) d'expansion d'un univers de Friedmann diminue avec le temps. L'expansion est décélérée (symétriquement la contraction est accélérée). On calcule facilement le terme d'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur...) à partir des équations paramétriques sous la forme:

\frac{\mathrm d^2a}{ \mathrm dt^2} = - \frac{2}{A} \cdot \frac{1}{\left(1 - \cos\eta\right)^{2}} \equiv - \frac{1}{a \left(1-\cos\eta\right)}
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