Vecteur
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Approche géométrique

La géométrie euclidienne est la géométrie du plan ou de l'espace fondée sur les axiomes d'Euclide. Les notions de point, de droite, de longueur, sont introduits par le biais d'axiomes. Le vecteur est alors un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) géométrique construit à partir des précédents.

Une visualisation intuitive d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un...) correspond à un déplacement d'un point (Graphie), ou pour utiliser le terme mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) précis, une translation. Ainsi un vecteur possède une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...), la distance entre le point de départ et d'arrivée, une direction si le déplacement n'est pas nul, c'est la droite contenant le point de départ et d'arrivée et un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...), depuis le départ jusqu'à l'arrivée.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Les bipoints (A,B), (C,D), (E,F) sont équipollents. Ils constituent trois représentants d'un même vecteur. En effet, les quadruplets de points ABFE et ABDC définissent deux parallélogrammes.

Un vecteur est représenté par un segment orienté (une flèche) ayant pour extrémités un point de départ et un point d'arrivée. L’emplacement dans le plan ou l'espace n’a pas d’importance, deux déplacements de deux points d'origine distincts peuvent correspondre au même vecteur, seuls comptent sa longueur, sa direction et son sens. Il est donc possible de le faire glisser librement dans le plan, parallèlement à lui-même.

Une définition formelle utilise au préalable la notion de bipoint. Il est défini comme un couple de points. L’ordre a une importance : le premier point est appelé origine. Deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents lorsque ABDC est un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.). La relation d'équipollence constitue une relation d'équivalence sur les bipoints. Une classe d'équivalence contient tous les bipoints dont le deuxième membre est l'image du premier point par le déplacement.

La classe d'équivalence d'un bipoint (A,B) est appelée vecteur et est notée \scriptstyle \overrightarrow{AB}. Le bipoint (A,B) en est un représentant. Réciproquement, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) vecteur admet plusieurs bipoints représentants, dont aucun n'est privilégié. Si une origine est choisie, il existe un unique bipoint représentant un vecteur donné.

Ainsi deux bipoints (A,B) et (C,D) sont équipollents si et seulement s'ils représentent le même vecteur et on peut alors écrire l'égalité

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

Tous les bipoints constitués de la répétition d'un même point : (A,A), sont équipollents entre eux, ils sont les représentants d'un vecteur qualifié de nul. Il est noté

\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}.

Les théories présentant les vecteurs comme une classe d'équivalence de bipoints les notent en général par une lettre surmontée d'une flèche.

Longueur et angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.)

La longueur d'un bipoint (A,B) est définie comme la longueur du segment sous-jacent. Deux bipoints équipollents ont la même longueur. Tous les représentants d'un vecteur \scriptstyle \vec{u} ont donc la même longueur, qui est appelée norme(ou module) du vecteur \scriptstyle \vec{u} et notée en général \scriptstyle ||\vec{u}|| (on utilise aussi parfois simplement la ou les lettres désignant le vecteur sans la flèche, par exemple u ou AB). Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1. Le vecteur nul est de norme nulle, \scriptstyle ||\vec{0}|| = 0.

L’angle que forment deux vecteurs \scriptstyle \vec{u} et \scriptstyle \vec{v} est noté \scriptstyle (\widehat{\vec{u},\vec{v}}). Il est défini comme l'angle que font deux représentants de même origine. Ainsi si (A, B) est un représentant de \scriptstyle \vec{u} et (A,C) un représentant de \scriptstyle \vec{v}, alors

(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = \widehat{BAC}

Dans le plan orienté, il est possible de définir la notion d'angle orienté de deux vecteurs. Ce n'est pas le cas dans l'espace.

Opérations

Des constructions géométriques permettent la définition de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les volumes....) et de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de...). Le nom donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) aux opérations est la conséquence de la similarité avec les opérations sur les nombres (commutativité, associativité et distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z on a la propriété suivante : et de même à droite), présence d'un élément neutre et absorbant). Pour cette raison, non seulement les noms des opérations mais les notations sont similaires.

Si \scriptstyle \vec{u} et \scriptstyle \vec{v} sont deux vecteurs, soit un couple (A, B) de points représentant \scriptstyle \vec{u} et C le point tel que le couple (B, C) représente le vecteur \scriptstyle \vec{v}. Alors un représentant du vecteur \scriptstyle \vec{u} + \vec{v} est le couple (A, C). Si \scriptstyle \vec{v} est le vecteur nul, alors les points B et C sont confondus, la somme est alors égale à \scriptstyle \vec{u} et le vecteur nul est bien l'élément neutre pour l'addition des vecteurs. Soit α un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».), si \scriptstyle \vec{u} est le vecteur nul, alors α.\scriptstyle \vec{u} est aussi le vecteur nul, sinon il existe une unique droite contenant A et B, et un unique point C tel que la distance entre A et C soit égale à \scriptstyle |\alpha|\; . ||\vec{u}|| et le sens de (A,B) si α est positif, relativement au sens de \scriptstyle \vec{u}, et l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement,...) sinon.

Une fois équipée d'une structure d'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.), les démonstrations de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de...) s’avèrent souvent simplifiées. Un exemple est donné par le théorème de Thalès (Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès s'est...).

Formalisation

David Hilbert propose une construction axiomatique de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les...) euclidienne rigoureuse.

On ne trouve pas de vecteurs dans les éléments d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un...), mais les notions de point ou de parallélogramme, de l'approche esquissée ci-dessus y sont bien présentes. Mais l'axiomatisation des éléments n'est pas tout à fait satisfaisante, bien qu'elle ait été longtemps un modèle en la matière : certains axiomes restent implicites. David Hilbert a montré comment axiomatiser rigoureusement le plan ou l'espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais...) de façon géométrique (voir les articles plan affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) de Desargues et axiomes de Hilbert). En utilisant le parrallélisme, il est alors possible de définir les translations et les homothéties, et en utilisant ces transformations, les vecteurs et les scalaires. Cette approche est très générale : elle permet de traiter des cas utiles, où les scalaires ne sont pas forcément des réels, mais par exemple des complexes ou les éléments d'un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n...) de nombres. Elle se généralise également en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) quelconque, au moins finie.

Cependant le développement des mathématiques a élargi considérablement les domaines d'utilisation des vecteurs, et une approche plus algébrique est très largement utilisée. Elle est fondée sur deux ensembles : l'un contenant les scalaires, l'autre les vecteurs. Le deuxième est appelé espace vectoriel. Ces deux ensembles sont munis d'opérations et des axiomes sont vérifiés pour chacune des opérations. Cette construction différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application...) pour formaliser le même concept de vecteur est celle qui est traitée dans l'article consacré aux espaces vectoriels. Elle est esquissée ci-dessous.

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