Constante cosmologique
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La constante cosmologique est un paramètre rajouté par Einstein en février 1917 à ses équations de la relativité générale (1915), dans le but de rendre sa théorie compatible avec l'idée qu'il avait alors d'un Univers statique. Après la découverte en 1929 du décalage vers le rouge (Le décalage vers le rouge ou redshift est un phénomène astronomique de décalage vers les grandes longueurs d'onde des raies spectrales et de...) par Edwin Hubble (Le télescope spatial Hubble (en anglais, Hubble Space Telescope ou HST) est un télescope en orbite à environ 600 kilomètres d'altitude, il effectue un tour complet de...) impliquant un Univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) en expansion, Albert Einstein (Albert Einstein (né le 14 mars 1879 à Ulm, Wurtemberg, et mort le 18 avril 1955 à Princeton, New Jersey) est un physicien qui fut successivement allemand, puis apatride...) revient sur l'introduction de la constante cosmologique (La constante cosmologique est un paramètre rajouté par Einstein en février 1917 à ses équations de la relativité générale (1915), dans le but de rendre sa...), la qualifiant de " plus grande bêtise de sa vie (La vie est le nom donné :). " Néanmoins des découvertes récentes durant les années 1990, traitant des problèmes tels que l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) du vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), la théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs est l'application des concepts de la physique quantique aux champs. Issue de la mécanique quantique relativiste, dont l'interprétation comme théorie décrivant une seule particule s'était avérée...) ou l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur vectorielle...) de l'expansion de l'Univers ont provoqué un regain d'intérêt pour ce paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.), qui est par ailleurs compatible avec l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) de la théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein en ont fait un important champ...) générale.

Description mathématique

NB Cet article suit les conventions de signe classiques de MTW [1]

Cet article adopte également la convention de sommation d'Einstein.

On considère un espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la...) caractérisé par le tenseur métrique gμν de signature (-, +, +, +). On note Rμν le tenseur de Ricci (Dans le cadre de la théorie de la Relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Cette déformation est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci, dont le nom a été...) associé, et R = g^{\mu \nu} \, R_{\mu\nu} la courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.).

Introduction

La constante cosmologique est le terme mathématique noté Λ qui apparaît dans l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons...) d'Einstein, à partir de laquelle tous les modèles cosmologiques sont dérivés :

R_{\mu\nu} \ - \ \frac{1}{2} \, R \, g_{\mu\nu} \ - \ \Lambda \,  g_{\mu\nu} \ = \ \frac{8\pi G}{c^4} \ T_{\mu\nu}

G la constante gravitationnelle (environ 6,6742 × 10-11 m3 kg-1 s-2), c la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour « célérité », la lumière se manifestant macroscopiquement comme un phénomène ondulatoire), est une...) (exactement 299 792 458 m s-1) par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.), et Tμν le tenseur énergie-impulsion.

Mathématiquement, le membre de gauche de cette équation, qui représente la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) de l'espace-temps, est la forme la plus générale d'un tenseur covariant dont la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une...) covariante soit identiquement nulle. En effet, lorsque la connexion est associée à la métrique, on a :

\nabla^{\mu} \, g_{\mu\nu}\ = \ 0

et les identités de Bianchi s'écrivent :

\nabla^{\mu} \, \left[ \, R_{\mu\nu} \ - \ \frac{1}{2} \, R \, g_{\mu\nu} \, \right ] \ = \ 0

On en déduit que le tenseur énergie-impulsion, qui décrit la distribution de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de...) et énergie dans l'espace-temps, est conservé (de façon covariante) :

\nabla^{\mu} \, T_{\mu\nu} \ = \ 0

Interprétation physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...)

Le terme contenant la constante cosmologique peut se placer à droite de l'équation en changeant son signe, et l'égalité reste bien évidemment vérifiée :

R_{\mu\nu} \ - \ \frac{1}{2} \, R \, g_{\mu\nu} \ = \ \frac{8\pi G}{c^4} \ T_{\mu\nu} \ + \ \Lambda \  g_{\mu\nu}

Cependant, de ce côté droit, le terme prend une signification différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide...), puisqu'il est du " côté de l'énergie-impulsion ". On cherche alors une forme d'énergie que le tenseur d'énergie-impulsion décrivant la matière et/ou le rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de transmission d'énergie impliquant une particule porteuse.) ordinaires ne contiendrait pas, mais qui serait décrit par le terme de constante cosmologique :

T_{\mu\nu}^{(\Lambda)} \ = \ \frac{c^4 \Lambda}{8\pi G} \ g_{\mu\nu}

Cette expression est celle d'un fluide parfait [ST02] dont la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme...) d'énergie volumique serait :

\rho_{\Lambda} \, c^2 \ = \  \frac{c^4 \Lambda}{8\pi G}

c'est-à-dire que sa masse volumique (Pour toute substance homogène, le rapport de la masse m correspondant à un volume V de cette substance est indépendante de la quantité choisie : c'est une...) ρΛ vaudrait :

\rho_{\Lambda} \ = \  \frac{c^2 \Lambda}{8\pi G}

et dont la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) serait négative :

P_{\Lambda} \ = \ - \ \rho_{\Lambda} \, c^2 \ = \ - \  \frac{c^4 \Lambda}{8\pi G}

La constante cosmologique contribue ainsi à ce que l'on appelle l'énergie du vide.

Limite newtonienne

Equations d'Einstein en champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) faible

On se place à la limite des champs faibles :

g_{\mu \nu}(x) \ = \ \eta_{\mu \nu} \ + \ h_{\mu \nu}(x) \quad , \quad | h_{\mu \nu}(x) | \ \ll \ 1

ημν est la métrique plate de Minkowski. Dans cette limite, le tenseur de Ricci s'écrit au premier ordre :

R_{\mu \nu}(x) \ = \ [ \dots ]

Considérons alors un espace-temps statique, dont la métrique se met sous la forme :

ds^2 \ = \ - \ g_{00}(x^k) \ dt^2 \ + \  g_{ij}(x^k) \ dx^i \ dx^j \ , \quad i,j,k \ \in \ \{1,2,3 \}

Dans ce système de coordonnées, seule la composante temporelle-temporelle du tenseur de Ricci est non-négligeable à la limite des champs faibles. Elle s'écrit simplement :

R_{00} \ = \ \frac{\Delta g_{00}}{g_{00}}

Δ est l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) de Laplace-Beltrami à trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.), calculé avec la partie spatiale gij(xk) de la métrique.

Application au fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides compressibles, et les liquides, qui sont...) parfait

Si l'on remplit l'univers statique précédent d'un fluide parfait au repos dont la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la...) volumique est ρ (c'est-à-dire que sa densité volumique d'énergie vaut \rho \, c^2) et la pression P, l'équation de champ d'Einstein s'écrit :

\frac{\Delta g_{00}}{g_{00}} \ = \  \frac{8\pi G}{c^4} \ \left[ \ ( \rho \, c^2 + 3 P ) \ + \ ( \rho_{\Lambda} \, c^2  + 3 P_{\Lambda} ) \ \right]

On a vu plus haut que : \rho_{\Lambda} c^2 = - \, P_{\Lambda}, donc : \rho_{\Lambda} \, c^2 + 3 P_{\Lambda} = - \, 2 \, \rho_{\Lambda} \, c^2. À la limite newtonienne, la pression est faible devant la densité d'énergie : P \ll \rho c^2. De plus, la composante temporelle-temporelle de la métrique s'écrit :

g_{00} \ \sim \  1 \ - \ \frac{2 V}{c^2}

V est le potentiel Newtonien de gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) (V \ll c^2). L'équation d'Einstein se réduit alors à une équation de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps est le plus souvent couvert d'écailles. On les trouve abondamment aussi bien en eau...), modifiée par le terme cosmologique :

\Delta \, V \ = \  4 \pi G \ \left[ \ \rho  \ - \ 2 \, \rho_{\Lambda}  \ \right]

Pour un fluide réel, la masse volumique est toujours positive et l'effet gravitationnel est toujours attractif. En revanche, avec une constante cosmologique positive, la masse volumique associée est aussi positive, et la présence du signe " moins " entraîne un effet gravitationnel répulsif.

Le retour de la constante cosmologique

Un temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) abandonnée, la constante cosmologique a été récemment remise au goût (Pour la faculté de juger les belles choses, voir Goût (esthétique)) du jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel....) après la découverte de l'accélération de l'expansion de l'univers. Elle décrirait une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les...), encore hypothétique, qui accélererait l'expansion de l'univers, appelée énergie sombre (En cosmologie, l'énergie sombre est une forme d'énergie hypothétique remplissant tout l'Univers et exerçant une pression négative se comportant comme une force gravitationnelle répulsive. L'énergie sombre pourrait expliquer...) (à ne pas confondre avec la matière noire).

En novembre 2005, le USPTO a accordé un brevet ayant pour objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les...) un vaisseau spatial dont la propulsion (La propulsion est le principe qui permet à un corps de se mouvoir dans son espace environnant. Elle fait appel à un propulseur qui transforme en force motrice l'énergie fournie par le...) repose sur la modification locale de la constante cosmologique par la mise œuvre de matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.) supraconducteurs. Le but est de créer localement des conditions d'anti-gravité. Notons cependant que la communauté scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.) semble sceptique quant au réalisme d'un tel dispositif en raison de la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière...) d'énergie colossale qui serait nécessaire.[réf. nécessaire]

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