Base d'or
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Le nombre d'or (\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\, ) peut être utilisé comme une base de numération. Ce système est connu sous le nom base d'or, ou accessoirement, phinaire (car le symbole pour le nombre d'or est la lettre grecque " phi "). Tout nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel possède une représentation standard en base \varphi\, où seuls les chiffres 0 et 1 sont utilisés, et où la suite " 11 " est évitée. Une base \varphi\, non-standard avec cette suite de chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) (ou avec d'autres chiffres) peut toujours être réécrite en forme standard, la reliant aux propriétés algébriques du nombre \varphi\, — c’est-à-dire que \varphi + 1 = \varphi^2\,. Par exemple 11_{\varphi} = 100_{\varphi}\,. Malgré l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) d'une base irrationnelle, c'est un fait remarquable que tous les nombres entiers possèdent une représentation unique en développement fini dans la base \varphi\,. Les autres nombres possèdent des représentations standards en base \varphi\,, les nombres rationnels ayant des représentations récurrentes. Ces représentations sont uniques, excepté celles des nombres qui ont un développement fini ainsi qu'un développement non-fini. (De la même manière qu'en base 10 : 2,2=2,199999...)

Ramener un nombre en base φ à sa forme standard

Écritures en base φ

Décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent sous l'action de...) (standard) des neuf premiers entiers
Entier Puissances de \varphi\, Base \varphi\,
1 \varphi^0\, 1
2 \varphi^1 + \varphi^{-2}\, 10,01
3 \varphi^2 + \varphi^{-2}\, 100,01
4 \varphi^2 + \varphi^0 + \varphi^{-2}\, 101,01
5 \varphi^3 + \varphi^{-1} + \varphi^{-4}\, 1000,1001
6 \varphi^3 + \varphi^1 + \varphi^{-4}\, 1010,0001
7 \varphi^4 + \varphi^{-4}\, 10000,0001
8 \varphi^4 + \varphi^0 + \varphi^{-4}\, 10001,0001
9 \varphi^4 + \varphi^1 + \varphi^{-2} + \varphi^{-4}\, 10010,0101

En s'inspirant de l'écriture décimale positionnelle, la notation x=211,01φ désignera le nombre

x = 2φ2 + 1φ1 + 1φ0 + 0φ − 1 + 1φ − 2 = 2φ2 + φ + 1 + φ − 2

Avec cette convention, le nombre d'or lui même est noté 10φ, son carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est...) est 100φ, son inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) 0,1φ.

Le nombre d'or vérifie par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) la relation algébrique φ2=φ+1, ce qui permet de réécrire le nombre x sous d'autres formes, comme

x = φ2 + (φ2 + φ) + 1 + φ − 2 = φ3 + φ2 + 1 + φ − 2 = 1101,01φ

Le même nombre peut donc avoir plusieurs écritures phinaires : la première écriture de x a fait intervenir les chiffres 0,1,2 ; la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La...) n'utilise plus que 0 et 1. Il n'y a pas de raison a priori de se limiter à des chiffres allant de 0 à 9, on pourrait noter par exemple

y = 23(lien)5,0(lien)φ pour
y = 2φ3 + 3φ2 + 18φ + 5 + 12φ − 2

Avec 12 et 18 vus comme des chiffres dans l'écriture phinaire de y.

Principe de la standardisation

Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre réel possède une représentation standard en base \varphi\, où seuls les chiffres 0 et 1 sont utilisés, et où on ne trouve jamais la séquence de chiffres " 11 ". Le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) ci-contre donne des représentations standard pour les premiers nombres entiers.

Un nombre écrit sous forme phinaire non standard peut toujours être réécrit sous forme standard, en usant judicieusement de la formule φ + 1 = φ2. Par exemple le nombre φ2 lui-même peut être écrit 11φ sous forme non standard, 100φ sous forme standard.

Le nombre 211,01φ n'est pas une écriture standard, puisqu'il contient le chiffre " 2 ", et il contient en outre une séquence de chiffres " 11 ". Pour standardiser ce chiffre, nous pouvons utiliser les substitutions suivantes :

  • la séquence de chiffres " 011 " peut être réécrite " 100 ", ce qui exprime la relation φ + 1 = φ2
  • la séquence " 0200 " peut se réécrire " 1001 ", par application de la relation 2φ2 = φ3+1

À chaque fois qu'on décèle dans l'écriture de x un motif interdit (011 ou 0200), on applique une de ces substitutions, et on répète l'opération jusqu'à disparition de ces motifs. Quel que soit l'ordre dans lequel on procède, le résultat sera le même : le nombre x écrit sous forme standard. La recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique...) des motifs est à comprendre au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) large : ainsi le motif " 0410 " contient à la fois le motif " 011 " (0410 = 0300+0110) et le motif " 0200 " (0410=0200+0210).

Voici avec l'exemple du nombre x=211,01φ les substitutions utilisées (à droite), et les écritures phinaires successives de ce nombre

 
 211,01φ 
 300,01φ     011φ → 100φ 
 1101,01φ     0200φ → 1001φ 
 10001,01φ     011φ → 100φ 
 

Prise en compte des chiffres négatifs

Il est possible de prendre pour chiffres d'une écriture phinaire des entiers négatifs. Ainsi le nombre 211,0[-1]φ n'est pas une écriture standard, puisqu'il contient les chiffres " -1 " et " 2 ", qui ne sont pas " 0 " ou " 1 " ; il contient en outre une séquence de chiffres " 11 ".

Pour standardiser ce chiffre, nous pouvons ajouter aux substitutions précédentes une nouvelle opération : 0[-1]0φ → [-1]01φ issue de -φ = -φ2+1. Pour alléger l'écriture le signe " - " sera porté au-dessous du chiffre auquel il s'applique : cette substitution sera ainsi notée

010φ101φ.

Voici le résultat de l'application de l'algorithme pour le nombre considéré

 
 211,01φ 
 300,01φ     011φ → 100φ 
 1101,01φ     0200φ → 1001φ 
 10001,01φ     011φ → 100φ (de nouveau) 
 10001,101φ    010φ101φ 
 10000,011φ    010φ101φ (de nouveau) 
 10000,1φ      011φ → 100φ (de nouveau) 
 

À la fin de l'algorithme, le seul chiffre pouvant encore valoir " -1 " est le premier terme. Précisément, le signe du nombre x est justement le signe de son premier chiffre.

Tout nombre positif représenté en base \varphi\, non-standard peut être standardisé de manière unique de cette façon. Si le nombre est négatif, on peut à la fin de cette première standardisation mettre le signe moins en facteur, ce qui revient à changer chaque chiffre en son opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même niveau, l'un...), et réappliquer l'algorithme au résultat. On aura alors l'opposé d'un nombre positif écrit sous forme standardisée.

Si cette arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus...) est exécutée par un ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques permettant de manipuler...), un message (La théorie de l'information fut mise au point pour déterminer mathématiquement le taux d’information transmis dans la communication d’un message par un canal de...) d'erreur peut apparaître.

Représenter les entiers sous forme de nombres en base d'or

Nous pouvons, soit considérer nos entiers comme étant les (seuls) chiffres d'une base \varphi\, non-standard, et les standardiser, soit faire ce qui suit :

Notez que :

1 \times 1 = 1\,
\varphi \times \varphi = 1 + \varphi\,
\frac{1}{\varphi} = -1 + \varphi.

Par conséquent, nous pouvons calculer

(a + b \varphi) + (c + d \varphi) = ((a + c) + (b + d)\varphi), (a + b\varphi) - (c + d\varphi) = ((a - c) + (b - d)\varphi)\,.

et

(a + b\varphi) \times (c + d\varphi) = ((a \times c + b \times d) + (a \times d + b \times c + b \times d)\varphi)\, .

Ainsi, en utilisant les valeurs entières seulement, nous pouvons ajouter, soustraire et multiplier des nombres de la forme (a + b \varphi)\,, et même représenter des puissances entières positives et négatives de \varphi\,;. (Notez que \varphi^{-1} = \frac{1}{\varphi}.)

(a + b \varphi) > (c + d \varphi) si et seulement si 2(a - c) - (d - b) > (d - b) \times \sqrt 5\,. Si un coté est négatif, l'autre coté est positif, la comparaison est triviale. Autrement, élever au carré les deux cotés, pour obtenir une comparaison entière, renverser la comparaison si les deux coté étaient négatifs. Lors de l'élévation au carré des deux cotés, \sqrt 5\, est remplacé par l'entier 5.

Ainsi, en utilisant les valeurs entières seulement, nous pouvons aussi comparer les nombres de la forme (a + b \varphi)\,.

  1. Pour convertir un entier x en un nombre en base- \varphi\,, notez que x = (x + 0 \varphi)\,.
  2. Soustraire la plus haute puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de \varphi\,, laquelle est encore plus petite que le nombre que nous avons, pour extraire un nouveau nombre, et placer un " 1 " dans la place appropriée dans le nombre en base-\varphi\,.
  3. Jusqu'à ce que notre nombre soit 0, aller à l'étape 2.
  4. Fini.

La procédure ci-dessus ne donnera jamais la suite " 11 ", puisque 11_{\varphi} = 100_{\varphi}\, , donc obtenir un " 11 " voudrait dire que nous avons manqué un " 1 ".

C’est-à-dire : démarrons avec l'entier 5, le résultat étant \ldots 00000,00000 \ldots_{\varphi}\,

La plus haute puissance de \varphi \le 5 est \varphi^3 = 1 + 2 \varphi \approx 4,236067977\,

En soustrayant ceci de 5, nous avons 5 - (1 + 2 \varphi) = 4 - 2 \varphi \approx 0,763932023 \ldots\,, le résultat étant alors 1000,00000100_{\varphi}\,

La plus haute puissance de \varphi \le 4 - 2 \varphi \approx 0,763932023 \ldots\, est \varphi^{-1} = -1 + 1 \varphi \approx 0,618033989 \ldots\,

En soustrayant ceci de 4 - 2 \varphi \approx 0,763932023 \ldots\,, nous avons 4 - 2 \varphi - (-1 + 1 \varphi) = 5 - 3 \varphi \approx 0,145898034 \ldots , le résultat étant alors 1000,10000 \ldots_{\varphi}\,

La plus haute puissance de \varphi \le 5 - 3 \varphi \approx  0,145898034 \ldots est \varphi^{-4} = 5 - 3 \varphi \approx 0,145898034 \ldots \,

En soustrayant ceci de 5 - 3 \varphi \approx 0,145898034 \ldots\,, nous avons 5 - 3 \varphi - (5 - 3 \varphi) = 0 + 0 \varphi = 0\, , avec le résultat final :

1000,1001_{\varphi}\, .

Non-unicité

Comme avec tout système de numération (Un système de numération est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer des nombres. Sous leur forme écrite, ces...) de base n, les nombres dont le développement est fini peuvent s'écrire de plusieurs façons. En base 10, cela est relié à l'observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir...) suivante : si x = 0,9999... alors 10x = 9,99999... donc 9x = 9 et x = 1. En base \varphi\,, le nombre 0,1010101... peut être vu comme égal à 1 de plusieurs manières :

  • Conversion d'une forme non-standard : 1  = 0,11_{\varphi} = 0,1011_{\varphi} = 0,101011_{\varphi} = \ldots = 0,10101010 \ldots_{\varphi}\,
  • Série géométrique : 1,0101010 \ldots_{\varphi}\, est égal à
\sum_{k=0}^\infty \varphi^{-2k}=\frac{1}{1-\varphi^{-2}} = \varphi
  • Différence entre deux " déplacements " : \varphi^2 x - x = 10,101010 \ldots_{\varphi} - 0,101010 \ldots_{\varphi} = 10_{\varphi} = \varphi\, c'est-à-dire x = \varphi/(\varphi^2-1) = 1\,

Cette non-unicité est une spécificité du système de numération, puisque 1,0000 et 0,101010... sont tous les deux dans la forme standard.

Représenter les rationnels sous forme de nombres en base d'or

Chaque nombre rationnel (Un nombre rationnel est un nombre réel exprimable par le quotient de deux entiers relatifs (), dont le second est non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté .) peut être représenté sous forme de développement en base \varphi\,, puisque tout élément du corps \mathbb{Q}[\sqrt 5] = \mathbb{Q} + \mathbb{Q}[\sqrt 5]\,, le corps généré par les nombres rationnels et \sqrt 5\,. Réciproquement, tout développement fini ou répétitif en base \varphi\, est un élément de \mathbb{Q}[\sqrt 5]\,. En voici quelques exemples :

  • \frac{1}{2}\, = 0,010 010 010... φ
  • \frac{1}{3}\, = 0,001 010 000 010 100 000 101 000... φ
  • \sqrt 5\, = 10,100 000φ
  • 2 + \frac {1}{13} \sqrt 5\, = 10,010 100 010 001 010 100 010 001 000 000 010 001 000 101 010 001 000 100 000 001 000 100 010 101 000 100 010 000 000 ...φ

La justification qu'un rationnel donne un développement répétitif est analogue à la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) équivalente pour un système de numération en base n (n = 2, 3, 4,...). Essentiellement pour les longues divisions en base \varphi\,, il existe seulement un nombre fini de restes possibles, et donc, ils doivent être dans un motif répétitif. Par exemple avec 1/2 = 1/10,01φ = 100φ/1001φ une longue division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre"...) ressemble à ceci (notez que cette soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul nombre, appelé la...) est un peu capricieuse)

 
 .0 1 0 0 1 
 ------------------------ 
 1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 
 1 0 0 1                      échange: 10000 = 1100 = 1011 
 -------                          donc 10000-1001 = 1011-1001 = 10 
 1 0 0 0 0 
 1 0 0 1 
 ------- 
 etc. 
 

La réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est également vraie, vu qu'un nombre représenté en base \varphi\, est un élément du corps \mathbb{Q}[\sqrt 5]\,. Il découle de l'observation qu'une représentation récurrente avec une période k implique une série géométrique avec le rapport \varphi^k\,, qui sera la somme d'un élément de \mathbb{Q}[\sqrt 5]\,.

Addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même...), soustraction et multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .)

Il est possible d'adapter tous les algorithmes standards de l'arithmétique de la base 10 pour l'arithmétique de la base \varphi\,. Il y a deux approches pour cela :

Calculer puis convertir en forme standard

Pour l'addition de deux nombres en base \varphi\,, ajouter chaque paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) de chiffres, sans retenue, puis convertir le nombre en forme standard. Pour la soustraction, déduire chaque paire de chiffres sans retenue, puis convertir le nombre en forme standard. Pour la multiplication, multiplier de façon habituelle, sans retenue, puis convertir le nombre en forme standard.

Par exemple

  • 2+3 = 10,01 + 100,01 = 110,02 = 110,1001 = 1000,1001
  • 2×3 = 10,01 × 100,01 = 1000,1 + 1,0001 = 1001,1001 = 1010,0001
  • 7-2 = 10000,0001 - 10,01 = 10010,0101 = 1110,0101 = 1001,0101 = 1000,1001

Eviter les chiffres autres que 0 et 1

Une approche plus " naïve " est d'éviter d'avoir à ajouter les chiffres 1+1 ou soustraire 0-1. Ceci est réalisé en réorganisant les opérandes en forme non-standard pour que ces combinaisons n'apparaîssent pas. Par exemple

  • 2+3 = 10,01 + 100,01 = 10,01 + 100,0011 = 110,0111 = 1000,1001
  • 7-2 = 10000,0001 - 10,01 = 1100,0001 - 10,01 = 1011,0001 - 10,01 = 1010,1101 - 10,01 = 1000,1001

La soustraction vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) ici utilise une forme modifiée de l'algorithme d'échange standard pour la soustraction.

Division

Aucune fraction (a/b, où a et b sont des nombres entiers, a non divisible par b) ne peut être représenté comme un nombre fini en base \varphi\,, en d'autres mots, tous les nombres en base \varphi\, finis représentables sont soit des entiers ou plus précisément un irrationnel dans le corps Q[\sqrt 5\,]. Puisque les longues divisions ont seulement un nombre fini de restes possibles, une division de deux entiers (ou d'autres nombres avec une représentation finie en base \varphi\,) aura un développement répétitif, comme montré ci-dessus.

Une relation étroite : représentation de Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom moderne), connu à l'époque sous le nom de Leonardo Pisano (Léonard de Pise), mais aussi de Leonardo...)

Un système de numération en relation étroite est la représentation de Fibonacci utilisée pour les entiers. Dans ce système, seuls les chiffres 0 et 1 sont utilisés et les valeurs des places de ces chiffres sont les nombres de Fibonacci. Puisqu'avec une base \varphi, la suite de chiffre " 11 " est évitée par réarrangement en forme standard, en utilisant la relation de récurrence de Fibonacci :

F_{k+1} = F_k + F_{k-1}\,

Par exemple :

30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010fib.

Cette relation de récurrence est à rapprocher de celle qui relie les puissances du nombre d'or \varphi; à savoir :

\forall n\in\mathbb{N}, \quad \varphi^{n+1} = \varphi^n + \varphi^{n-1}
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