Analyse (mathématiques)

L'analyse (du grec ?ναλ?ειν) a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal. C'est la branche des mathématique qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la limite d'une suite ou la limite d'une fonction. Elle inclut également des notions comme la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des...), la dérivation et l'intégration. Ces notions sont souvent étudiée dans le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu...) des nombres réels ou des nombres complexes. Cependant, elles peuvent aussi être définie et étudiée dans le contexte plus général des espaces topologiques ou métriques.

Histoire

Dans l'Antiquité et au Moyen Âge respectivement, les mathématiciens grecs et indiens se sont intéressés à l'infinitésimal et ont obtenu des résultats prometteurs mais fragmentaires. Pour des raisons historiques, leurs successeurs immédiats ne purent bâtir sur ces acquis.

L'analyse moderne a été fondée au XVIIe siècle avec le calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la...) de Newton et Leibniz. Au XVIIe siècle, les thèmes de l'analyse tels que le calcul infinitésimal, les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles, l'analyse de Fourier et les fonctions engendrées étaient principalement développés dans les travaux appliqués. Les techniques de calcul infinitésimal étaient utilisées avec succès pour approcher des problèmes du discret par des problèmes du continu.

Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) au long du XVIIIe siècle, la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de fonction était un sujet de débat (Un débat est une discussion (constructive) sur un sujet, précis ou de fond, annoncé à l'avance, à laquelle prennent part des individus ayant des avis, idées, réflexions ou opinions divergentes pour le sujet considéré. Un débat...) parmi les mathématiciens. Au XIXe siècle, Cauchy fut le premier à donner une fondation logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison,...) stricte du calcul infinitésimal en introduisant le concept de suite de Cauchy (En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite de réels, de complexes, de points d'un espace métrique, ou d'un espace topologique uniforme dont les termes se rapprochent à partir d'un certain rang. Ces suites sont celles...). Il commença aussi la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) formelle de l'analyse complexe. Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps est le plus souvent couvert d'écailles. On les trouve abondamment aussi bien en eau...), Liouville, Fourier et d'autres étudièrent les équations aux dérivées partielles et l'analyse harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les « courants harmoniques », qui sont des...).

Au milieu du XIXe siècle, Riemann introduit sa théorie de l'intégration : l'intégrale de Riemann (En analyse réelle, l'intégrale de Riemann est une façon simple de définir l'intégrale d'une fonction sur un intervalle. En termes géométriques, cette intégrale s'interprète comme l'aire du...). Durant le troisième tiers du XIXe siècle, l'analyse se voit arithmétisée par Karl Weierstrass qui pensait que le raisonnement géométrique était en soi fallacieux, il introduit aussi la définition " ε-δ " des limites. Puis les mathématiciens commencèrent à s'inquiéter du fait qu'ils supposaient sans preuve l'existence d'un continuum de nombres réels. Richard Dedekind construit donc les nombres réels avec les coupures de Dedekind (voir Construction des nombres réels). En même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), les essais pour affiner les théorèmes de l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un...) de Riemann ont mené à l'étude de la " taille " des ensembles discontinus de fonctions réelles.

En outre, des " monstres " (des fonctions continues nulle part, des fonctions continues mais dérivables nulle part, des courbes de remplissage d'espace) commencèrent à être créés. Dans ce contexte, Marie Ennemond Camille Jordan développa sa théorie sur la mesure. Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand connu pour être le...) développa ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie naïve des ensembles (Les ensembles sont d'une importance fondamentale en mathématiques; en fait, de manière formelle, la mécanique interne des mathématiques (nombres, relations, fonctions,...). Au début du XXe siècle le calcul infinitésimal se formalise par théorie axiomatique des ensembles (Il existe plusieurs versions formelles de la théorie des ensembles, mais quand on parle de « la » théorie axiomatique des ensembles, on désigne habituellement sous ce nom la théorie ZFC. Au XXIe siècle, c'est la...). Henri Lebesgue résolut le problème de mesure et David Hilbert introduit les espaces de Hilbert pour résoudre les équations intégrales. L'idée d'espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion se définit souvent...) était très étudiée dans les années 1920 et Stefan Banach créa l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été étendu, et il...).

Sous-divisions

Aujourd'hui l'analyse est divisée parmi les sous-thèmes suivants :

  • Analyse réelle : l'étude rigoureuse et formelle des dérivées et des intégrales de fonctions à valeurs réelles. En incluant l'étude des limites, des séries potentielles et des mesures.
  • Analyse fonctionnelle : l'étude des espaces des fonctions et l'introduction de concepts tels que les espaces de Banach et les espaces de Hilbert.
  • Analyse harmonique : l'étude des séries de Fourier et de leurs abstractions.
  • Analyse complexe : l'étude des fonctions du plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.) et qui sont dérivables sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des nombres complexes.
  • Analyse non-standard : l'étude des nombres hyperréels et de leur fonctions.

Bibliographie

E. Hairer, G. Wanner, L'analyse au fil de l'histoire, Springer, 2000


Domaines des mathématiques
Algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) • Algèbre commutative • Algèbre homologique • Algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes d'équations...)Analyse • Analyse réelle • Analyse complexe • Analyse fonctionnelle • Analyse numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) • Calcul quantique • Combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les...)Géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les...) • Géométrie algébrique • Géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour...) • Géométrique métrique • Géométrie non commutative (La géométrie non commutative, développée par Alain Connes, est un type de géométrie algébrique distincte de la géométrie algébrique telle...)Physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures,...) • Probabilités • Statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi...) • Systèmes dynamiques • Théorie des nombres •Théorie de Galois • Théorie des groupes • Topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).)Topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces...)
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