Masse de la Terre - Définition et Explications

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Introduction

La masse de la Terre (M) est estimée à 5,9736×1024 kg. Elle est obtenue à partir de la connaissance très précise fournie par la géodésie spatiale de la constante géocentrique (GM) et de la connaissance beaucoup moins précise fournie par la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la nature ;...) de la constante de gravitation (La gravitation est le phénomène d'interaction physique qui cause l'attraction réciproque des corps massifs entre eux, sous l'effet de leur masse. Il s'observe au quotidien en raison de l'attraction...) (G) de Newton.

Méthodes directes pour déterminer GM

Cet article décrit comment on est arrivé à déterminer de manière de plus en plus précise la masse de la Terre (La masse de la Terre (M) est estimée à 5,9736×1024 kg. Elle est obtenue à partir de la connaissance très précise fournie par la géodésie spatiale de...), à partir des premières idées formulées par Isaac Newton (Isaac Newton (4 janvier 1643 G – 31 mars 1727 G, ou 25 décembre 1642 J – 20 mars 1727 J) est un philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste et...) à la fin du XVIIe siècle jusqu'à l'époque contemporaine. Une grande partie de l'historique de cette détermination concerne l'histoire de la géodésie et se trouve intimement liée à la détermination de la figure de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la...), l'autre partie appartenant à l'histoire de la physique (L'histoire de la physique essaie de retracer l'origine et l'évolution des idées, des méthodes, des hommes et des connaissances des sciences physiques.) et la série d'expériences ayant eu pour but de déterminer la constante de gravitation, initiée tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) à la fin du XVIIIe siècle par Henry Cavendish.

Utilisation de la Troisième Loi de Kepler

En effet, on peut a priori envisager deux types de mesures pour déterminer le produit GM. D'une part, la troisième Loi de Kepler appliquée au mouvement d'un satellite (Satellite peut faire référence à :) (masse Ms) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit...) de la Terre (masse M) s'écrit

G (M+Ms) = 4π²a³/τ².

Ici G désigne la constante d'attraction universelle, a est le demi-grand axe de l'ellipse de Kepler, et τ est la période de révolution (La période de révolution, est le temps mis par un astre pour accomplir sa trajectoire, ou révolution, autour d’un autre astre. Comme une planète autour du...) orbitale. Lorsque la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de gravitation (la masse grave). Ces...) du satellite est négligeable (Ms ≪ M), on obtient GM ≅ 4π²a³/τ². Bien sûr, afin d'obtenir une valeur plus précise du produit G (M+Ms), on doit apporter des corrections (calculables) pour tenir compte d'effets perturbateurs. Il n'en demeure pas moins que des mesures astronomiques de a et τ, et éventuellement une mesure indépendante de GMs, permettent de déterminer avec précision le produit GM. Ce dernier est souvent appelé constante de gravitation géocentrique, ou simplement constante géocentrique.

Utilisation de pendules

D'autre part, on peut aussi déterminer cette constante GM au moyen de mesures pendulaires. En simplifiant un peu, quitte à apporter des corrections lors d'une détermination précise, on néglige la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale...) centrifuge et on suppose la Terre sphérique. L'intensité de l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur vectorielle qui...) gravifique à la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois...) terrestre vaut alors g = GM/R², où R est le rayon moyen de la Terre. Pour un pendule simple de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) ℓ, cette accélération produit une période d'oscillation T = 2π√(ℓ/g). Par conséquent, une connaissance de la longueur ℓ et une mesure de la période T permet de déterminer le produit GM au moyen de la formule

GM = 4π²ℓR²/T².

Le concept de pendule simple est une abstraction ( En philosophie, l'abstraction désigne à la fois une opération qui consiste a isoler par la pensée une ou plusieurs qualités d'un objet concret pour en former une représentation intellectuelle, et le produit de...) mathématique. En réalité, on utilise toujours un pendule composé. Ce dernier se compose d'un corps massique de forme géométrique en principe arbitraire, mais en fait soigneusement étudiée, oscillant autour d'un axe horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la verticale. Une ligne horizontale va « de la...) en un point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.). La période d'oscillation d'un tel pendule est fournie par T = 2π√[I/(mgd)], où I est le moment d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (se déplaçant sur une droite à vitesse...) du corps de masse m par rapport à l'axe de balancement et d est la distance de cet axe au barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond). On définit la longueur synchrone ℓ du pendule composé comme la longueur du pendule simple ayant la même période, soit ℓ = I/(md) pour ℓ>d.

Dans leurs expériences pendulaires, des observateurs comme Richer, Bouguer, Maupertuis et d'autres avaient l'habitude d'employer la demi-période T1/2 plutôt que la période T. Un « pendule battant la seconde » était un pendule pour lequel il s'écoulait une seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La...) de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) entre deux passages successifs de la masse à sa position la plus basse. Avec g = 9,81 m/s², la longueur d'un pendule battant la seconde est donc ℓ1s = g/π² ≅ 0,994 m (soit 440,6 lignes). Du temps de Huyghens et Richer, on n'avait sans doute pas prévu l'utilisation du pendule comme balance, mais vers cette époque l'horloge à balancier, autrement dit la pendule, commençait à être employée comme garde-temps par les astronomes. C'est dans cet ordre d'idées qu'il faut comprendre l'observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré...) de Richer en 1672, à savoir qu'un(e) pendule battant exactement la seconde à Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre les confluents de la Marne et de la Seine...) (à 49° de latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de l'équateur.) Nord) retardait environ deux minutes ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un acte. Cartographie géologique ; la minute de terrain est la carte originale, au crayon,...) et demie par jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le...) à Cayenne (à 5° de latitude Nord). La période du pendule était donc plus longue qu'une seconde à Cayenne. Pour la ramener à une seconde à Cayenne, Richer devait raccourcir la longueur du pendule de plus d'une ligne, de manière à maintenir le même rapport ℓ/g qu'à Paris. Comme Varin et Des Hayes constatèrent des déviations similaires un peu plus tard à Gorée (15°N), l'idée avait germé à l'Académie (Une académie est une assemblée de gens de lettres, de savants et/ou d'artistes reconnus par leurs pairs, qui a pour mission de veiller aux usages dans leurs disciplines respectives et de publier des ouvrages tels...) royale des sciences de Paris, peu avant la parution des Principia de Newton, qu'un corps pèserait moins à l'équateur qu'aux pôles. Il est implicite dans cette conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) que le pendule peut servir non seulement comme garde-temps, mais aussi comme instrument permettant des pesées. On raconte que Newton aurait accidentellement entendu parler en 1682 de la découverte de Richer lors d'une réunion de la Société Royale de Londres (Londres (en anglais : London - /?l?nd?n/) est la capitale ainsi que la plus grande ville d'Angleterre et du Royaume-Uni. Fondée il y a plus de 2 000 ans par les...). Il calcula les poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la...) relatifs, selon sa théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) non encore publiée, d'un même corps à Paris, Gorée et Cayenne et obtint un bon accord avec les résultats des mesures pendulaires, confirmant ainsi simultanément la théorie de l'aplatissement (L'aplatissement d'une planète est une mesure de son « ellipticité »; une sphère a un aplatissement de 0, alors qu'un disque infiniment mince a...) et la théorie de la gravitation.

Suggestions d'Isaac (ISAAC est un algorithme capable de générer des nombres pseudo-aléatoires, tombé dans le domaine public en 1996. Son auteur, Bob Jenkins, l'a conçu de manière à ce qu'il soit assez sûr pour être...) Newton

Portrait d'Isaac Newton (1643–1727) par Godfrey Kneller (1689)

Plus tard, Isaac Newton suggéra deux méthodes différentes pour déterminer séparément soit G, soit M. Ces procédés, qui allaient être appliqués tous les deux au cours des décennies et siècles à venir, consistaient (1) soit à mesurer au laboratoire l'attraction entre deux corps de masses connues et séparés l'un de l'autre d'une distance connue, dans le but de déterminer G, (2) soit de mesurer la déviation du fil à plomb (Le plomb est un élément chimique de la famille des cristallogènes, de symbole Pb et de numéro atomique 82. Le mot et le symbole viennent du latin plumbum.) près d'une montagne (Une montagne est une structure topographique significative en relief positif, située à la surface d'astres de type tellurique (planète tellurique, satellites comme la Lune), et faisant...) de masse calculable M' pour estimer le rapport M/M', et par conséquent la masse M de la Terre.

Les premières tentatives pour déterminer la masse de la Terre par la méthode (2) sont celles de Bouguer, lors de l'expédition au Pérou (1735-1744) . La première expérience pour mesurer au laboratoire G, et donc M, ne fut tentée et réussie qu'une soixantaine d'années plus tard. C'est la célèbre expérience de Henry Cavendish datant de 1798.

Le fait qu'une détermination directe de la constante gravitationnelle G ne fut tentée que bien après la mort (La mort est l'état définitif d'un organisme biologique qui cesse de vivre (même si on a pu parler de la mort dans un sens cosmique plus...) de Newton résulte sans doute d'une sous-estimation malencontreuse des possibilités pratiques de réaliser une telle expérience. En effet, Newton considéra l'attraction entre deux sphères (chacune possédant une densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau pure à 4 °C pour les liquides...) égale à celle de la densité moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des...) de la Terre et un diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce...) de 1 pied) et écrivit que « si elles étaient distantes l'une de l'autre ne fût-ce que de 1/4 de pouce, elles ne se rejoindraient pas sous l'action de leur attraction mutuelle, même dans des espaces dépourvus de résistance en un temps plus court qu'un mois (Le mois (Du lat. mensis «mois», et anciennement au plur. «menstrues») est une période de temps arbitraire.)... À vrai dire, même des montagnes entières ne seront pas suffisantes pour produire un quelconque effet perceptible ».

Rappelons que Newton avait établi dans ses « Principia » que l'attraction gravifique à l'extérieur d'une configuration sphérique étendue est la même que celle d'un point concentrant toute la masse qui serait situé au centre de la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points...). En un point intérieur à la sphère, cette proposition reste valable à condition de ne considérer que la masse comprise à l'intérieur de la sphère concentrique passant par le point intérieur en question. Il s'ensuit que les couches sphériques extérieures n'exercent pas d'effet gravifique sur un point intérieur. En vertu de ce théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...), l'intensité de la gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) à la surface de la Terre, supposée sphérique, peut s'écrire

g = GM/R² = (G x 4πR³ρ/3)/R² = 4πGρR/3.

Ne connaissant ni G ni la densité moyenne ρ de la Terre, cette dernière relation fut de peu d'intérêt pratique pour Newton. Toutefois, par un raisonnement heuristique (L'heuristique (du grec heuriskêin, « trouver ») est l'utilisation de règles empiriques :), il était arrivé à la conclusion que la densité moyenne devait être comprise entre 5 et 6 fois celle de l'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.). Voici son raisonnement : Tout ce qui est plus léger doit flotter sur ce qui est plus lourd. En particulier, tout ce qui est plus léger que l'eau devrait flotter à la surface des mers (Le terme de mer recouvre plusieurs réalités.). La densité moyenne de la Terre est donc supérieure à celle de l'eau. Elle doit aussi être supérieure à celle des roches se trouvant à la surface de la Terre, qui sont environ deux fois plus denses que l'eau. Elle doit encore être supérieure à celle des roches qu'on rencontre dans les mines profondes, qui sont en général environ trois à quatre fois, et parfois même cinq fois plus denses que l'eau. Par conséquent, la Terre devrait en moyenne être environ cinq à six fois plus dense que si elle consistait entièrement d'eau. Ayant ainsi une estimation de <ρ>, Newton aurait aisément pu trouver l'ordre de grandeur de G. Il est donc étonnant qu'il se soit si grossièrement trompé sur le temps que mettent deux sphères à entrer en contact sous l'effet de leur attraction mutuelle.

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