Résolution d'un triangle
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

En géométrie, la résolution d'un triangle consiste en la détermination des différents éléments d'un triangle (longueurs des côtés, mesure des angles, aire) à partir de certains autres. Historiquement, la résolution des triangles fut motivée

  • en cartographie (La cartographie désigne la réalisation et l'étude des cartes géographiques. Le principe majeur de la cartographie est la représentation de données...), pour la mesure des distances par triangulation ;
  • en géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de...) chez les grecs, pour la résolution de nombreux problèmes de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...).
  • en navigation (La navigation est la science et l'ensemble des techniques qui permettent de :), pour le point (Graphie), qui utilise des calculs de coordonnées terrestres et astronomiques (trigonométrie sphérique).

Aujourd'hui, la résolution des triangles continue d'être utilisée dans un grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de problèmes faisant intervenir la triangulation (En géométrie et trigonométrie, la triangulation est une technique permettant de déterminer la position d'un point en mesurant les angles entre ce point et d'autres points de référence...) (architecture, relevés cadastraux, vision binoculaire) et, plus généralement, la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et μέτρον / métron, « mesure ») est...) (astronomie, cartographie).

En géométrie euclidienne, la donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) de trois des éléments du triangles, dont au moins un côté, est nécessaire et suffisante à la résolution du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée...), l'un des cas de résolution pouvant admettre deux solutions. En géométrie sphérique ou hyperbolique, la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) des trois angles est également suffisante. La résolution fait intervenir la trigonométrie, en particulier certaines relations classiques dans le triangle comme le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) d'Al-Kashi, la loi des sinus (En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.), la loi des tangentes (En trigonométrie, la loi des tangentes est une relation entre la longueur de deux côtés d'un triangle et la mesure de deux de ses angles.), et la somme des angles.

Histoire

À écrire.

Cas de résolution en géométrie euclidienne

La résolution d'un triangle en géométrie euclidienne utilise un certain nombre de relations entre éléments du triangle. Les plus souvent utilisées sont

  • le théorème d'Al-Kashi ;
  • la formule de Héron ;
  • la loi des sinus ;
  • la loi des tangentes ;
  • la somme des angles d'un triangle vaut π rad (L'abréviation rad désigne habituellement le radian, une unité d'angle.) soit 180 °,

bien qu'il soit également possible d'utiliser d'autres relations pour aboutir à une solution.

Ci-dessous sont listés les différents cas de figure en fonction des trois éléments connus parmi les trois angles et les trois côtés. Les formules analytiques sont données pour les côtés et/ou les angles inconnus, ainsi que l'aire S. Elles doivent être adaptées pour une détermination numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition...) car, prises telles quelles, elles donnent des erreurs importantes pour les triangles " en épingle ", c'est-à-dire dont un des côtés est petit par rapport aux autres et les triangles " presque rectangles ", c'est-à-dire dont un des angles fait environ 90°.

Les trois côtés

On considère un triangle dont les trois côtés a, b et c sont connus. Les angles sont déduits à partir du théorème d'Al-Kashi et l'aire, de la formule de Héron :

  • \alpha = \arccos\left( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)
  • \beta  = \arccos\left( \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \right)
  • \gamma = \arccos\left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)
  • S      =  \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, avec p=\frac12(a+b+c)


Un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) et les deux côtés adjacents

On considère un triangle dont l'angle γ est connu, ainsi que les deux côtés adjacents a et b. Le dernier côté s'obtient grâce au théorème d'Al-Kashi, les deux angles manquants par la loi des tangentes et le complément à π, et l'aire par la formule du produit vectoriel :

  • c      = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}
  • \alpha = \frac\pi2 - \frac\gamma2 + \arctan\left(\frac{a-b}{a+b}\cot\frac\gamma2\right)
  • \beta  = \frac\pi2 - \frac\gamma2 - \arctan\left(\frac{a-b}{a+b}\cot\frac\gamma2\right)
  • S      = \frac12 ab\sin\gamma


Un angle, le côté opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les...) et un côté adjacent

On considère un triangle dont un angle β est connu, ainsi qu'un côté adjacent de cet angle c et le côté opposé b. Le deuxième angle γ s'obtient par la loi des sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme...), le dernier angle α par complément à π et le dernier côté par la loi des sinus :

  • \gamma = \arcsin \left(\frac{c\sin\beta}b\right)
  • \alpha = \pi-\beta-\arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right)
  • a      = \sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+c\cos\beta
  • S = \frac 12c\left(\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+c\cos\beta\right)\sin\beta

Si β est aigu et que b < c, il existe une seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La...) solution :

  • \gamma = \pi-\arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right)
  • \alpha = -\beta + \arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right)
  • a      = c\cos\beta-\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}
  • S = \frac 12 c\left(\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}-c\cos\beta\right)\sin\beta

Il est à noter que la résolution n'est pas possible pour toutes les valeurs des paramètres et que la condition suivante doit être réalisée :

b > c \sin\beta\,.


Deux angles et le côté commun

On considère un triangle dont un côté c et les deux angles α et β qui le bordent sont connus. Le dernier angle s'obtient par complément à π et les deux autres côtés par la loi des sinus :

  • a  = \frac {c\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}
  • b  = \frac {c\sin\beta}{ \sin(\alpha+\beta)}
  • \gamma = \pi-\alpha-\beta\,
  • S  = \frac12 c^2 \, \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}


Deux angles et un côté non commun

On considère un triangle dont deux angles α et β sont connus, ainsi qu'un côté non commun à ces deux angles a. Le dernier angle s'obtient par complément à π et les deux autres côtés par la loi des sinus :

  • b = \frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}
  • c = \frac{a\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha}
  • \gamma = \pi-\alpha-\beta\,
  • S = \frac12 a^2 \, \frac{\sin(\alpha+\beta)\sin\beta}{\sin\alpha}


Cas de résolution en géométrie sphérique

La résolution d'un triangle en géométrie sphérique (géométrie non-euclidienne) est légèrement différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau...) du cas euclidien, car la loi des sinus ne permet pas d'obtenir un côté de manière univoque — uniquement son sinus. De plus, un triangle sphérique dont les trois angles sont connus est soluble, contrairement à un triangle du plan euclidien et la solution est unique.

Les formules utilisées pour résoudre un triangle sphérique sont :

  • les généralisations du théorème d'Al-Kashi (variantes portant sur les angles et sur les côtés) ;
  • le théorème de l'Huilier ;
  • les analogies de Napier ;
  • la somme des angles d'un triangle vaut π plus l'excès E (=S/R²).

Les trois côtés

Dans un triangle dont les trois côtés a, b et c sont connus, les angles s'obtiennent par la généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés de façon...) du théorème d'Al-Kashi et l'aire par le théorème de l'Huilier :

  • \alpha = \arccos\left(\frac{\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}\right),
  • \beta  = \arccos\left(\frac{\cos b-\cos c\cos a}{\sin c\sin a}\right),
  • \gamma = \arccos\left(\frac{\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}\right),
  • E      = 4\arctan\sqrt{\tan\left(\frac{p}2\right) \tan\left(\frac{p-a}2\right) \tan\left(\frac{p-b}2\right) \tan\left(\frac{p-c}2\right)}p = \frac12(a+b+c).


Un angle et les deux côtés adjacents

Dans un triangle où deux côtés a et b et l'angle qu'ils forment γ sont connus, le dernier côté s'obtient par le théorème d'Al-Kashi généralisé et les deux angles restants par les analogies de Napier :

  • c = \arccos \left(\cos a\cos b + \sin a\sin b\cos\gamma \right),
  • \alpha = \arctan\left\{\frac{2\sin a}{\tan(\gamma/2) \sin (b+a) + \cot(\gamma/2)\sin(b-a)}\right\},
  • \beta  = \arctan\left\{\frac{2\sin b}{\tan(\gamma/2) \sin (a+b) + \cot(\gamma/2)\sin(a-b) }\right\},
  • E = \gamma + 2\arctan\left\{\cot\left(\frac\gamma2\right)\frac{\cos\left(\frac12(a-b)\right)}{\cos\left(\frac12(a+b)\right)}\right\} - \pi.


Un angle, le côté opposé et un côté adjacent

On considère un triangle dont un angle β, un côté adjacent c et le côté opposé b sont connus. L'angle γ s'obtient par la loi des sinus et les éléments restants par les analogies de Napier. Il n'y a de solution que si

b > \arcsin (\sin c\,\sin\beta)\,.

Alors

  • \gamma = \arcsin \left(\frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}\right),
  • a      = 2\arctan \left\{ \tan\left(\frac12(b-c)\right) \frac{\sin \left(\frac12(\beta+\gamma)\right)}{\sin\left(\frac12(\beta-\gamma)\right)} \right\},
  • \alpha = 2\arccot \left\{\tan\left(\frac12(\beta-\gamma)\right) \frac{\sin \left(\frac12(b+c)\right)}{\sin \left(\frac12(b-c)\right)} \right\}.
  • E      = \alpha+\beta+\gamma-\pi\,

Une autre solution existe lorsque b > c et que γ est aigu :

  • \gamma = \pi - \arcsin \left(\frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}\right), etc.


Deux angles et le côté commun

Dans un triangle où deux angles α et β sont connus, ainsi que le côté commun à ces angles c, le dernier angle s'obtient par la formule d'al-Kashi et les deux derniers côtés par les analogies de Napier. Les formules pour l'angle manquant et les côtés ressemblent à celles du cas de résolution complémentaire (un angle et les deux cotés adjacents connus) :

  • \gamma = \arccos(\sin\alpha\sin\beta\cos c -\cos\alpha\cos\beta)\,,
  • a = \arctan\left\{\frac{2\sin\alpha}{\cot(c/2) \sin(\beta+\alpha) + \tan(c/2) \sin(\beta-\alpha)}\right\},
  • b = \arctan\left\{\frac{2\sin\beta} {\cot(c/2) \sin(\alpha+\beta) + \tan(c/2)\sin(\alpha-\beta)}\right\},
  • E = \alpha + \beta + \arccos(\sin\alpha\sin\beta\cos c-\cos\alpha\cos\beta) - \pi\,.


Deux angles et un côté non commun

On considère un triangle dans lequel deux angles α et β sont connus, ainsi qu'un côté opposé à l'un de ces angles a. Le côté b se trouve par la loi des sinus et les éléments restants par les analogies de Napier. On notera la similitude entre les équations ci-dessous et le cas de résolution complémentaire (Un angle, le côté opposé et un côté adjacent) :

  • b = \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right),
  • c =  2\arctan \left\{ \tan\left(\frac12(a-b)\right) \frac{\sin\left(\frac12(\alpha+\beta)\right)}{\sin\left(\frac12(\alpha-\beta)\right)}\right\},
  • \gamma = 2\arccot \left\{\tan\left(\frac12(\alpha-\beta)\right) \frac{\sin \left(\frac12(a+b)\right)}{\sin \left(\frac12(a-b)\right)} \right\},
  • E = \alpha+\beta+\gamma-\pi\,.

Si a est aigu et que α > β, il existe une autre solution :

  • b = \pi - \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right), etc.


Les trois angles

Dans le cas où les trois angles sont connus, les côtés s'obtiennent par une variante du théorème d'Al-Kashi pour les angles. Les formules donnant les côtés sont semblables à celles du cas de résolution complémentaire (les trois côtés connus) :

  • a=\arccos\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}\right),
  • b=\arccos\left(\frac{\cos\beta+\cos\gamma\cos\alpha}{\sin\gamma\sin\alpha}\right),
  • c=\arccos\left(\frac{\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}\right).
  • E=\alpha+\beta+\gamma-\pi\,


Exemples d'application

Triangulation

Voir l'article détaillé Triangulation.

Fig. 1 — Détermination de la distance d'un navire par triangulation
Fig. 1 — Détermination de la distance d'un navire (Un navire est un bateau destiné à la navigation maritime, c'est-à-dire prévu pour naviguer au-delà de la limite où cessent de...) par triangulation

La figure 1 ci-contre indique une méthode de détermination de la distance d'un bateau (Un bateau est une construction humaine capable de flotter sur l'eau et de s'y déplacer, dirigé ou non par ses occupants. Il répond aux besoins du transport...) par triangulation : de deux points dont on connaît la distance l, on mesure sa direction, que ce soit l'azimut (L’azimut est l'angle horizontal entre la direction d'un objet et une direction de référence.) à l'aide d'une boussole (Une boussole est un instrument de navigation constitué d’une aiguille magnétisée qui s’aligne sur le champ magnétique de la Terre. Elle indique ainsi le nord...), ou les angles α et β avec la ligne joignant les deux points. Les mesures effectuées, il est possible d'en déduire la distance graphiquement en reportant les éléments connus sur un graphique avec une échelle idoine. Une formule analytique peut être par ailleurs trouvée en résolvant le triangle dont on connaît deux angles et le côté commun :

d = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\,l.

Une variante est utilisée en navigation côtière : les angles sont estimés grâce aux azimuts des amers (points de référence sur terre) vus depuis le navire.

Fig. 2 — Détermination de la hauteur d'une montagne par triangulation
Fig. 2 — Détermination de la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) d'une montagne (Une montagne est une structure topographique significative en relief positif, située à la surface d'astres de type tellurique (planète...) par triangulation

Une autre possibilité est la mesure de la hauteur h d'une colline ou d'une montagne depuis une vallée (Une vallée est une dépression géographique généralement de forme allongée et façonnée dans le relief par un cours d'eau (vallée fluviale) ou un glacier...) en mesurant sa hauteur angulaire α et β en deux points de distance connue l. La figure 2 ci-contre donne un cas simplifié dans lequel les points de mesure et la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) du sommet sur le sol sont alignés. La hauteur de la montagne peut être déterminée graphiquement ou bien analytiquement par résolution du triangle (même cas que précédemment) :

h = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)} \,l.

Dans la pratique la méthode de résolution se heurte à quelques difficultés : le terrain n'est pas forcément plat, ce qui nécessite un estimation de la pente entre les deux points ; le sommet réel n'est pas forcément observable (Dans le formalisme de la mécanique quantique, une opération de mesure (c'est-à-dire obtenir la valeur ou un intervalle de valeurs d'un paramètre physique, ou plus généralement une information sur un système...) depuis la plaine (Une plaine est une forme particulière de relief, c'est un espace géographique caractérisé par une surface topographique plane, avec des pentes relativement faibles. Elle se...) et le point le plus haut tel qu'observé varie de position entre les deux points d'observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique la très grande...) par effet de tangence ; les différents éléments du relief (Le relief est la différence de hauteur entre deux points. Néanmoins, ce mot est souvent employé pour caractériser la forme de la surface de la Terre.) doivent être triangulés de proche en proche à partir des côtes ce qui accumule les erreurs de mesure. Ainsi, la cartographie par satellite (Satellite peut faire référence à :) a modifié de plusieurs mètres les valeurs traditionnelles estimées de certains sommets.[réf. nécessaire] Malgré ces difficultés, au XIXe siècle, Friedrich Georg Wilhelm von Struve a fait construire l'arc géodésique de Struve (L'Arc géodésique de Struve est une chaîne de repères géodésiques de triangulation, qui traverse l'Europe de Hammerfest en Norvège jusqu'à la Mer Noire, traversant dix pays sur plus de...), une chaîne (Le mot chaîne peut avoir plusieurs significations :) de repères géodésiques traversant l'Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme l’extrémité occidentale du continent eurasiatique, voire...) sur 2800 km de la Norvège à la Mer Noire (La mer Noire est une mer située entre l’Europe et l’Anatolie. Large d'environ 1 150 km d’ouest en est et de 600 km du nord au sud, elle s’étend...) et dont le but était de mesurer la taille et la forme de la terre : en 1853, le scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.) obtient une mesure du méridien (En géographie, un méridien est un demi grand cercle imaginaire tracé sur le globe terrestre reliant les pôles géographiques. Tous les points de la Terre situés sur un même méridien ont la...) terrestre à 188 m près (2×10-5) et de l'applatissement de la terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est...) à 1% près.[1]

Distance entre deux points du globe

On considère deux points du globe A et B de latitudes respectives λA et λB, et de longitudes LA et LB. Pour déterminer leur distance on considère le triangle ABC, où C est le pôle nord (Le pôle Nord géographique terrestre, ou simplement pôle Nord, est le point le plus septentrional de la planète Terre. Il est défini comme le point d’intersection de l'axe de...). Dans ce triangle sont connus :

  • a = 90^\mathrm{o} - \lambda_\mathrm{B}\,
  • b = 90^\mathrm{o} - \lambda_\mathrm{A}\,
  • \gamma = L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}\,

La résolution du triangle dans le cas où un angle et les deux côtés adjacents sont connus permet de conclure que

\mathrm{AB} = R \arccos\left\{\sin \lambda_\mathrm{A} \,\sin \lambda_\mathrm{B} + \cos \lambda_\mathrm{A} \,\cos \lambda_\mathrm{B} \,\cos \left(L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}\right)\right\},

R est le rayon de la terre. On notera que les coordonnées doivent être converties en radians pour une application numérique (En sciences, particulièrement en physique, l'application numérique est l'obtention de la valeur numérique d'une grandeur physique à partir de celles d'autre...), à moins que la calculatrice (Une calculatrice, ou calculette, est une machine conçue pour effectuer des calculs. D'abord mécanique, la machine à calculer est devenue électronique dans les années 1960, avec l'introduction de la première...) accepte les degrés dans les fonctions trigonométriques.

Page générée en 1.281 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique