Norme (mathématiques)
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En mathématiques, une norme est une fonction qui donne un sens à l'idée usuelle de longueur d'un vecteur, a priori sans recourir à un produit scalaire. L'intérêt de cette notion est d'être valable aussi bien pour les espaces de dimensions finie que pour les espaces de fonctions. Il y a plusieurs façons de définir de telles normes sur un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article...), et le choix d'une norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme générique...) adaptée à un problème d'analyse est une étape importante dans sa résolution.

Définitions

Norme sur un espace vectoriel

Soit (\mathbb K , \times, +) le corps \R ou \Complex, et (E, + E,0E) un espace vectoriel sur \mathbb K. On appelle norme sur E une application \mathcal N de E dans \R^+ telle que:

  • Séparation :\mathcal N(x)=0 \Rightarrow x=0_E  \qquad (S)
  • Homogénéité : \forall (\lambda,x)\in \mathbb K \times E\ :\ \mathcal N (\lambda \cdot x) = |\lambda| \mathcal N (x)\qquad (H)
  • Inégalité triangulaire : \forall (x,y) \in E^2\ :\ \mathcal N (x\,+_{\!\scriptscriptstyle E}\,y) \leq \mathcal N (x) +\mathcal N (y) \qquad (I).

Habituellement, l'image d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) x par une norme se note \|x\|. Remarquons que:

  • (S),(H) \Leftrightarrow \forall (\lambda,x,y) \in \mathbb K \times E^2\ :\ \|(\lambda \cdot x +_{\!\scriptscriptstyle E} y)\| \leq |\lambda|\cdot\|x\| + \|y\| (sous-linéarité);
  • (H) permet la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) de (S).
  • (H) rend la norme symétrique: \|x-y \| = \|y-x \|

E est alors appelé espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par David Hilbert et...) (parfois abrégé EVN).

Remarque  : cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) s'étend mot pour mot aux espaces vectoriels sur un corps valué complet. Dans ce cas, certaines normes appelées ultramétriques vérifient une condition plus forte que l'inégalité triangulaire.

Norme d'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une...)

Supposons \ (A,+_A,\times_A) une \mathbb K-algèbre et\mathcal N une norme sur \ (A,+_A,0_A). Si:

  • \forall (x,y) \in A^2: \mathcal N(x \times_A y) \leq \mathcal N(x)\mathcal N(y) (sous-multiplicativité)

alors\mathcal N est une norme d'algèbre. Si l'algèbre est unitaire, on peut compléter la structure par :

  • \mathcal N(1_A)=1

Exemple : sur l'algèbre \ \mathbb Kon définit une norme d'algèbre en considérant l'application " module " \ | \ | (ou " valeur absolue ").

Relations fondamentales

L'inégalité triangulaire entraîne (par récurrence immédiate)

\mathcal N(\lambda_1\cdot x_1 + \dots + \lambda_n\cdot x_n) \leq | \lambda_1|\mathcal N(x_1)+ \dots + |\lambda_n|\mathcal N(x_n) \ \

et se " renverse " sous la forme

| \mathcal N(x)- \mathcal N(y)| \leq \mathcal N(x-y)

En effet:

\mathcal N(x)=\mathcal N(x-y+y) \leq \mathcal N(x-y)+ \mathcal N(y) d'où:
\mathcal N(x)- \mathcal N(y) \leq \mathcal N(x-y).

De même:

\mathcal N(y)- \mathcal N(x) \leq \mathcal N(y-x) \ =\mathcal N(x-y),

enfin:

\max(\mathcal N(x)- \mathcal N(y),\mathcal N(y)- \mathcal N(x) )\leq \mathcal N(x-y)

Norme euclidienne et produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe...)

Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) sur \ E y engendre une norme \ \mathcal N_{\langle,\rangle}:\ E\to\R_+, \ x \to \langle x,x\rangle^{1/2}

Cette norme est appelée la norme euclidienne associée au produit scalaire.

Exemples

Espaces normés de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien...) finie

Normes canoniques sur Kn

L'ensemble des vecteurs de norme 1 dans R2 pour différentes normes

L'espace \mathbb K^n possède plusieurs normes remarquables pour lesquelles existent des notations traditionnelles.

Norme-infini
Soit \ x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb K^n: \|x\|_\infty = \max_{i\in[1,\dots,n]}|x_i|
Norme-1
Soit \ (x_1,\dots,x_n)\in\mathbb C^n: \|x\|_1=\sum_{i=1}^n |x_i|. D'où :
\forall (a,b)\in\mathbb R^2:\|(a,b)\|_1=|a|+|b|.
Norme-2
Soit \ (x_1,\dots,x_n)\in\mathbb K^n: \|x\|_2= \left (\sum_{i=1}^n |x_i|^2 \right )^{1/2}. Dans \R^n, elle est la norme " euclidienne ", ou " canonique ". C'est la norme associée au produit scalaire de même nom.
\forall (a,b)\in\R^2:\|(a,b)\|_2=\left(a^2+b^2 \right)^{1/2}
Norme-p
Soit \mathbb K^n, muni d'une quelconque des normes-p \|(x_1, x_2, \ldots, x_n)\|_p = \left ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right  )^{1/p} avec p \geq 1.
C'est un espace vectoriel normé.

La notation \| \|_{\infty} est due au fait que\lim_{p\to+\infty} \|x\|_p =\|x\|_{\infty} L'inégalité triangulaire pour ces normes s'appelle l'inégalité de Minkowski, elle est une conséquence de résultats de convexité parmi lesquels l'inégalité de Hölder (En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces Lp : soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p +...).

Ceci correspond à la norme habituellement utilisée pour la distance entre deux points dans le plan ou l'espace géométrique.

Autres espaces de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) finie

Tout \mathbb K-espace vectoriel E de dimension finie n possède une norme.

En effet, E est isomorphe à \mathbb K^n. Soit u un isomorphisme de E vers \mathbb K^n et \mathcal N une norme de ce dernier. Alors N \circ u est une norme de E : u est linéaire, N est sous-linéaire donc N \circ u est sous-linéaire. De plus, N \circ u(x)=0_\R \Rightarrow u(x)=0_{\mathbb K} \Rightarrow x=0_E car u est injectif. Concrètement, on choisit en général une base de E et on utilise des normes de type norme 1, 2, infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.), ou p vis-à-vis des coordonnées dans cette base.

Cercles carrés

Bertrand Russell aimait à donner comme exemple d'oxymore l'expression " cercle carré ". S'il s'agit bien d'un oxymore en géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces...), les cercles carrés existent bel (Nommé en l’honneur de l'inventeur Alexandre Graham Bell, le bel est unité de mesure logarithmique du rapport entre deux puissances, connue pour exprimer la puissance du son. Grandeur sans dimension en dehors du...) et bien lorsqu'on adopte par exemple la norme infinie. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) des points de norme 1 est un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses...) incliné à 45° et est un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de...) dans la mesure où tous leurs points sont à égale distance de l'origine.

Espaces normés de dimension infinie

  • L'ensemble \ell^p des suites complexes a=(a_n)_{n\in\mathbb N} telles que\ \sum a_n converge au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de...) de la norme-p:
\|a\|_p = \left ( \sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|^p \right )^{1/p} < +\infty
  • \ell^{\infty} est l'ensemble des suites complexes bornées:
\|\|_\infty:\ell^\infty\to \mathbb R_+ , a \to \sup_{n \in\mathbb N} |a_n| en est la norme naturelle.
  • Le \mathbb C-espace vectoriel \ \mathcal C(\mathcal I,\mathbb C)des fonctions continues d'un compact \mathcal I de \mathbb R dans \mathbb Cest muni de la norme-p:
\ \|f\|_p = \left ( \int_I |f|^p \right )^{1/p}
et de la norme-infini :
\|f\|_\infty=\sup_I |f|
que l'on retrouve avec:
\ \lim_{p} \left ( \int_I |f|^p \right )^{1/p} =\sup_I |f|
On l'appelle également norme de la convergence uniforme (La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet seulement...).
  • L'algèbre \mathcal {M}_{n\times p}(\mathbb C) est normée par \| \ \|_\infty où:
\forall A=(a_{i,j}) \in \mathcal {M}_{n\times p} (\mathbb C):\ \| A \|_\infty = \max_{i,j}|a_{i,j}|
  • L'algèbre \mathbb K[X] des polynômes sur \mathbb K peut être normée de la façon suivante :
Soit \ \mathcal A non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) et borné dans\mathbb K.
\forall P \in\mathbb K[X]:\ \sup|P(\mathcal A)|=\| P \|_\infty^{\mathcal A}
construit alors\mathcal N_\infty^{\mathcal A} une norme d'algèbre sur \mathbb K[X].

Topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni...) induite

Un espace vectoriel normé (E,\| \|) peut être muni d'une distance d_E (x,y) = \|x-y\| qui fait de lui un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.). Sa structure topologique est donc celle d'espace métrique.

On appelle espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa structure d’espace...) un espace vectoriel normé complet. Une algèbre normée complète est dite algèbre de Banach.

Continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations...) de la norme

En notant d la distance canonique de \mathbb R : d(x,y) = | xy | , \|\cdot\|est 1-lipschitzienne :

\ d(\|x\|,\|y\|)= | \|x\|-\|y\| | \leq \|x-y\| = 1\cdot d_E (x,y). Comme \| \cdot \| est lipschitzienne, elle est continue.
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