Suite de Cauchy
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
Augustin Louis Cauchy
Augustin Louis Cauchy

En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite de réels, de complexes, de points d'un espace métrique, ou d'un espace topologique uniforme dont les termes se rapprochent à partir d'un certain rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la...). Ces suites sont celles susceptibles de converger. Elles sont au centre de la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) de complétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être ajouté, en un sens qu'il faut préciser dans chaque...). Les suites de Cauchy portent le nom du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de...) français Augustin Louis Cauchy.

Il existe une notion équivalente pour les filtres : les filtres de Cauchy.

Suite réelle ou complexe de Cauchy

La différence des termes consécutifs de la suite (ln(n)) tend vers 0. On peut préciser la vitesse (On distingue :) de convergence :

\ln(n+1)-\ln(n)=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}+O(1/n^2).

Cependant, ln(2n) − ln(n) = ln(2) ne converge pas vers 0 lorsque n tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de...). Cette constatation mesure un défaut de non convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) de la suite ln(n) et conduit à énoncer un critère de convergence, le critère de Cauchy.

Une suite de réels ou de complexes est dite de Cauchy lorsque les termes de la suite se rapprochent uniformément les uns des autres en l'infini au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) où :

\lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{p,q>n}|r_p-r_q|=0.

Cette dernière condition se réécrit classiquement à l'aide de quantificateurs universels et existentiels :

(\forall\epsilon>0)\; (\exists N\in \mathbb N)\; (\forall p,q>N)\; |r_p-r_q|<\epsilon\;,
ou encore : (\forall\epsilon>0)\; (\exists N\in \mathbb N)\; (\forall n>N)\; (\forall k>0)\; |r_{n+k}-r_n|<\epsilon\;.

Critère de Cauchy : Une suite {rn} de nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réels ou complexes converge si et seulement si c'est une suite de Cauchy (En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite de réels, de complexes, de points d'un espace métrique, ou d'un espace topologique uniforme dont les termes se rapprochent à...).

Suite de Cauchy dans un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace...)

Définition

Une suite (x_n)_{n\in\mathbb N} dans un espace métrique (E,d) est dite suite de Cauchy (ou de Cauchy) si pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) réel \varepsilon>0, il existe un entier naturel N tel que pour tous entiers p,q\geq N, la distance d(xp,xq) soit inférieure à \varepsilon :

(\forall \epsilon>0)\; (\exists N\in \mathbb N)\; (\forall p,q>N)\; d(x_p,x_q)<\epsilon.

Les inégalités peuvent être prises indifférement larges ou stricites. Lorsque certains ouvrages introduisent la notion de suite de Cauchy uniquement pour les suites de réels, c'est exactement la même définition. La distance d est simplement à remplacer par la valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) de la différence.

Intuitivement, les termes de la suite deviennent de plus en plus proches les uns des autres d'une certaine façon qui suggère que la suite doit avoir une limite dans l'espace. Les suites convergentes sont effectivement de Cauchy, mais néanmoins la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) n'est pas vraie en toute généralité. Par exemple, il existe des suites de rationnels qui sont de Cauchy dans \mathbb Q mais qui ne convergent ( en astronautique, convergent en mathématiques, suite convergente série convergente ) pas dans \mathbb Q.

Exemple : l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) A des nombres rationnels r tels que r^2\leq 2 est borné. Pour tout entier n, il existe un rationnel rn dans A tel que rn + 1 / n n'appartienne pas à A. La suite (rn) est une suite de rationnels positifs et pour p>n, une discussion donne : | rnrp | < 1 / n. Donc, cette suite est de Cauchy et vérifie : r_n^2\leq 2\leq (r_n+1/n)^2. Si elle converge vers un rationnel l, par passage à la limite dans les inégalités, on obtiendrait l2 = 2. La limite l serait une racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.) rationnelle de 2, d'où une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.). La preuve de l'irrationnalité de \sqrt{2} n'utilise pas l'existence des réels. L'exemple ici donné ne suppose pas forcément connu les réels.

C'est la raison pour laquelle un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge est dit complet. L'ensemble des nombres réels est complet, et la construction standard de l'ensemble des nombres réels utilise les suites de Cauchy de nombres rationnels (voir la construction des nombres réels (Il existe différentes constructions des nombres réels, dont les deux méthodes les plus rigoureuses sont) à ce sujet).

Propriétés

  • Dans un espace métrique, toute suite convergente est de Cauchy.

Supposons qu'une suite x = (xn) d'un espace métrique (X,d) converge vers une limite l. Alors, pour tout ε > 0, il existe un entier N suffisamment grand tel que pour tout n>N on a : d(xn,l) < ε. L'inégalité triangulaire implique que pour p,q>N, on a :

d(x_p,x_q)\leq d(x_p,l)+d(l,x_q)<2\epsilon.

La suite x est donc bien de Cauchy.

  • Toute suite de Cauchy est bornée.

Soit (xn) une suite de Cauchy. Appliquons la définition pour ε = 1. Il existe un entier naturel N vérifiant d(xp,xq) < 1 pour p,q\geq N. En particulier, pour p>N, on a :d(xp,xN) < 1. Donc, à partir du rang N, les termes de la suite appariennent à une boule de rayon 1. Par conséquent, la suite x est bornée.

  • Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence. Si elle possède une valeur d'adhérence, alors elle converge.

Une suite convergente dans un espace métrique possède une unique valeur d'adhérence, à savoir sa limite. La première affirmation découle de fait de la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La...). Soit x une suite de Cauchy de (X,d) admettant une valeur d'ahérence l. Démontrons que x converge vers l. Choississons un réel arbitraire ε > 0. Comme x est une suite de Cauchy, il existe un entier naturel N tel que pour tous p, et q>N, on a : d(xp,xq) < ε. Mais l est la limite d'une certaine suite extraite de (xn), qu'on note (x_{k_n})(kn) est une suite strictement croissante d'entiers naturels. Il existe un entier P tel que pour tout n>P, on a : d(x_{k_n},l)<\epsilon. On peut choisir P de sorte que kP soit strictement plus grand que N. Par inégalité triangulaire, pour n>N, il vient :

d(x_n,l)\leq d(x_n,x_{k_P})+d(x_{k_P},l)<2\epsilon.

Un tel entier N pouvait être défini pour tout réel ε > 0, la suite x converge vers l.

  • L'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est de Cauchy.

Soit f une application uniformément continue d'un expace métrique (X,dX) vers (Y,dY), et soit x une suite de Cauchy de (X,dX). Fixons ε > 0. Comme f est uniformément continue, il existe η > 0 tel que, pour tous x et x' de X, on a :

d_X(x,x')\leq \eta\Rightarrow d_Y(fx,fx')\leq \epsilon.

Comme x est de Cauchy, il existe un entier naturel N tel que pour tous p, q>N, on a : dX(xp,xq) < η. A fortiori, pour p, q>N, on a par l'implication ci-dessus : dY(fxp,fxq) < ε. La suite (f(xn)) est donc elle-même de Cauchy.

  • Dans les espaces vectoriels normés, les suites de Cauchy forment un sous-espace de l'espace des suites.

Une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même...) d'un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion se définit...) est une application lipschitzienne, donc uniformément continue. L'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue étant de Cauchy, si x est une suite de Cauchy d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) normé E et r est un réel, alors r.x est une suite de Cauchy. De même, la somme de deux suites de Cauchy de E est une suite de Cauchy de E : la somme vectorielle définit une application uniformément continue E\times E\rightarrow E.

  • Dans une algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon...) normée, un produit de suites de Cauchy est de Cauchy.

Considérons deux suites de Cauchy x et y dans une algèbre normée (A,\|.\|). Elles sont bornées (propriété précédemment établie) ; notons alors M un majorant des suites (xn) et (yn). Considérons leur produit xy (produit terme à terme). Par définition des suites de Cauchy, pour ε > 0, il existe un entier N tel que pour tous p, q>N, on a : \|x_p-x_q\|<\epsilon et \|y_p-y_q\|<\epsilon. Par inégalité triangulaire, il vient, pour p,q>N :

\|x_py_p-x_qy_q\|\leq \|x_py_p-x_qy_p\|+\|x_qy_p-x_qy_q\|\leq \|x_p-x_q\|.\|y_p\|+\|x_q\|.y_p-y_q\|\leq 2M\epsilon.

La seconde inégalité provient de la sous-multiplicativité de la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme...). La suite xy est donc de Cauchy.

  • Dans un espace ultramétrique (X,d), une suite (xn) est de Cauchy ssi d(x_n,x_{n+1})\rightarrow 0.

Seul le sens réciproque n'est pas toujours vérifié et utilise l'inégalité ultramétrique. Supposons donc d(x_n,x_{n+1})\rightarrow 0. Pour ε > 0, il existe un entier naturel N tel que pour tout n>N, on a : d(xn,xn + 1) < ε. Par récurrence sur k, on montre que pour tout n>N, d(xn,xn + k) < ε. Cette propriété est vérifiée par choix de N pour k=1. Supposons-la établie au rang n, et regardons l'incrémentation. L'inégalité ultratriangulaire donne :

d(x_n,x_{n+k+1})\leq \max\left[d(x_n,x_{n+1}),d(x_{n+1},x_{n+1+k})\right]\leq \epsilon.

La seconde inégalité provient de l'application de l'hypothèse de récurrence.

Approche non standard

En analyse non standard (La naissance du calcul différentiel et infinitésimal au XVIIe siècle mena à l'introduction et à l'utilisation de quantités infiniment petites. Leibniz ou Euler en...), pour un espace métrique standard (X,d), il existe une définition équivalente mais pratique de la notion de suite de Cauchy.

  • Dans un espace métrique standard (X,d), une suite standard x est de Cauchy est de Cauchy ssi pour tous entiers naturels non standards n et p, le réel d(xp,xq) est infiniment petite :
(\forall p,q\in \mathbb N)\; (p\simeq \infty\wedge q\simeq \infty)\Rightarrow d(x_p,x_q)\simeq 0.

En effet, si x est une suite de Cauchy, alors pour tout réel ε > 0, il existe un entier N(ε) tel que pour tous p, q>N, on a : d(xp,xq) < ε. Si ε est un réel standard, le principe de transfert permet d'imposer à N(ε) d'être un entier standard car la suite x est standard. Or tout entier naturel non standard est strictement plus grand que tout entier naturel standard. Donc, si p et q sont des entiers non standards, ils sont plus grands que tous les N(ε). De suite, d(xp,xq) est strictement inférieurs à tous les réels standards strictement positifs ; c'est donc un infiniment petit.

Réciproquement, supposons que pour tous entiers non standards p et q, le réel d(xp,xq) est un infiniment petit. Fixons dans un premier temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) N un entier non standard. Tout entier plus grand que N est aussi non standard. Soit ε > 0 un réel standard. Alors pour p et q>N, on a : d(xp,xq) < ε. De fait, l'assertion (Dans la langue française, le mot assertion (n,f) représente une vérité absolue : il définit une proposition reconnue comme vraie. -> voir Wiktionary) suivante :

(\exists N\in \mathbb N)\; (\forall p,q\in \mathbb N)\; (p,q>N\Rightarrow d(x_p,x_q)<\epsilon)

est vérifiée pour tout réel standard strictement positif ε. Par principe de transfert, elle est vérifiée pour tout ε > 0, ce qui signifie exactement que x est de Cauchy.

Suite de Cauchy dans un espace uniforme

Définitions

Dans un espace uniforme, une suite (xn) est dite de Cauchy lorsque pour tout écart continu d sur X, il existe un entier naturel N tel que pour tout p,q > N, on a : d(xp,xq) < 1.

Une famille (xα) dans un espace uniforme X est une famille de Cauchy si pour tout voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la...) V il existe un nombre α0 tel que pour tous α, β > α0, le couple (xα, xβ) soit dans V2.

Dans des exemples pratiques :

  • Dans un groupe topologique (On appelle groupe topologique tout groupe (G,*) muni d'une topologie satisfaisant aux conditions suivantes:) G, une suite (gn) est dite de Cauchy lorsque, pour tout voisinage V de l'élément neutre, il existe N tel que pour tous p,q > N on a : g_p^{-1}.g_q\in U.
  • Dans un espace vectoriel topologique localement convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une...) E, une suite de vecteurs (un) est dite de Cauchy lorsque pour tout voisinage convexe V de 0, il existe un entier naturel N tel que pour tous p, q>N on a : u_p-u_q\in E.
Page générée en 0.156 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique