Programme de Hamilton
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Le programme de Hamilton est une idée de " plan d'attaque ", due à Richard Hamilton, de certains problèmes en topologie des variétés, notamment la célèbre conjecture de Poincaré.

Nous allons essayer de décrire ici, sans rentrer dans les détails, les raisons d'être de ce programme.

Idée naïve

Dans son article fondateur de 1982, Three-manifolds with positive Ricci curvature, Richard Hamilton introduit le flot de Ricci. Celui-ci est une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à...) aux dérivées partielles portant sur le tenseur métrique d'une variété riemannienne : On part d'une métrique g0, que l'on fait évoluer par :

\partial_t g_t = - 2 \mathrm{Ric}(g_t),

Ric est la courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) de Ricci de la métrique.

Il est facile de vérifier que les variétés à courbure constante, c'est-à-dire celles munies d'une métrique d'Einstein, sont des solitons ou des points fixes généralisés du flot : le flot de Ricci n'agit sur eux que par une dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression constante ou maintien du volume et augmentation de la...).

On peut alors penser (et les premiers résultats d'Hamilton sur les variétés de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) 3, ainsi que sur les courbes et surfaces confirment cette impression) que, de même que l'équation de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !) a tendance à homogénéiser une distribution de température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et de chaud, provenant...), le flot de Ricci va " tendre " à homogénéiser la courbure de la variété.

Pour attaquer certains problèmes de topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).), Hamilton pense donc à prendre une variété, la munir d'une métrique riemannienne, laisser agir le flot et espérer récupérer une variété munie d'une métrique à courbure constante. Par exemple, si on part d'une variété simplement connexe, et qu'on récupère ainsi une variété simplement connexe de courbure constante strictement positive, on saura que la variété n'est autre que la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une...).

Nuançons ce propos : même dans la version la plus naïve de son programme, Richard Hamilton n'a jamais pensé obtenir aussi facilement des résultats de topologie. On peut fort bien imaginer que le flot s'arrête en un temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) fini, parce que la courbure de la variété explose, soit globalement, soit localement. L'idée serait alors de comprendre et de classer de telles " singularités ", et de réussir, à l'aide de découpages, à obtenir plusieurs variétés sur lesquelles on pourrait relancer le flot. L'espoir est qu'in fine, on arrive, après un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de découpages, à des morceaux à courbure constante. On obtiendrait ainsi, " à la limite ", si tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) se passe bien, des morceaux de variétés dont on pourrait connaître certaines propriétés topologiques. Notre variété de départ serait donc obtenue en " recollant " ces morceaux sympathiques, ce qui ouvre une voie d'accès aux célèbres conjectures de topologie, comme la conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) de Thurston.

Existence en temps petit

Comme toute ÉDP, l'équation du flot de Ricci ne vérifie pas a priori de principes d'existence et d'unicité qui soit comparable au théorème de Cauchy-Lipschitz (Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existence locale et l'unicité de la solution d'une équation différentielle. Énoncé par Augustin Louis Cauchy en 1820, c'est Rudolf Lipschitz qui lui donnera sa forme...) pour les ÉDO. Le premier travail d'Hamilton a été de prouver que ce flot existe en temps petit.

Osons une comparaison : on sait que pour l'équation de la chaleur, il existe une unique solution en tous temps, et qu'elle est infiniment dérivable. Or, par certains côtés (la parabolicité), le flot de Ricci ressemble à l'équation de la chaleur. Les équations paraboliques possèdent une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée...) générale développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales...), qui assure l'existence en temps petit de solutions. Cependant, l'équation du flot de Ricci n'est pas à proprement parler parabolique : elle n'est que faiblement parabolique : l'existence et l'unicité en temps petit ne sont donc pas garanties par un résultat général.

Un des premiers résultats de Hamilton, et de loin le plus fondamental dans l'étude du flot est donc de prouver ce résultat : il y parvint dans l'article déjà cité (La cité (latin civitas) est un mot désignant, dans l’Antiquité avant la création des États, un groupe d’hommes sédentarisés libres (pouvant...), en utilisant l'artillerie du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) d'inversion de Nash-Moser. Cependant, de Turck parvint au même résultat dans son article Deforming metrics in the direction of their Ricci tensors de 1983, paru dans le Journal of Differential Geometry, en se ramenant astucieusement à la théorie générale des équations strictement paraboliques.

Principes du maximum

Un des outils analytiques principaux de l'étude du flot de Ricci est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) des principes du maximum. Ceux-ci permettent de contrôler certaines quantités géométriques (principalement mais pas uniquement les courbures) en fonction de leurs valeurs au départ du flot. Plus utilement qu'une longue glose, nous allons énoncer le plus simple d'entre eux : le principe du maximum scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut...).

Soit (M,g) une variété riemannienne et (gt)t une famille de métriques solutions du flot de Ricci sur l'intervalle [0,t0] et u : M \times [0,t_0] \to \mathbb R une fonction infiniment dérivable vérifiant : \partial_t u(\cdot,t) + \triangle_{g_t} u(\cdot,t) \geq 0. Alors, pour tout t \in [0,t_0], u(\cdot,t) \geq \min_{x\in M} u(x,0).

Il existe des versions plus compliquées de ce principe : on peut en effet vouloir une hypothèse moins contraignante sur l'équation que vérifie u, ou vouloir l'appliquer à des tenseurs plutôt qu'à des fonctions scalaires, mais l'idée est là : avec une ÉDP sur u, on déduit un contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de vérification et de maîtrise.) dans le temps à partir d'un contrôle à l'origine.

Ces résultats justifient que l'on cherche à déterminer quelles équations vérifient les grandeurs géométriques associées à une métrique, comme la courbure. C'est ainsi que de l'équation vérifiée par la courbure scalaire R :

\partial_t R_{g_t} = - \triangle_{g_t} R_{g_t} + 2 |\textrm{Ric}_{g_t}|_{g_t}^2,

on, peut déduire que, sous le flot de Ricci, le minimum de la courbure scalaire croît.

Une version particulièrement forte de principe du maximum, le théorème de pincement de Hamilton et Ivey, valable uniquement en dimension trois, affirme que sous le flot de Ricci, les courbures sectionnelles restent contrôlées par la courbure scalaire. Ce théorème est fondamental dans l'étude du flot de Ricci, et son absence en dimension supérieure est une des causes de la rareté des résultats.

Le programme aujourd'hui

En trois articles retentissants (The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, Ricci flow with surgery on three-manifolds et Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds), le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de compétences et de...) russe Grigori Perelman a exposé de nouvelles idées pour achever le programme de Hamilton (Le programme de Hamilton est une idée de « plan d'attaque », due à Richard Hamilton, de certains problèmes en topologie des variétés, notamment la célèbre conjecture de Poincaré.). Il est à noter que Perelman n'a soumis aucun de ces articles à une revue mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) et qu'ils sont disponibles sur le site web (Un site Web est un ensemble de pages Web hyperliées entre elles et mises en ligne à une adresse Web. On dit aussi site Internet par métonymie, le World Wide Web reposant sur...) de diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de « distribution », de « mise à disposition » (diffusion d'un...) de prépublications arXiv. Dans ces articles, Perelman prétend classer toutes les singularités (les κ-solutions) et faire traverser icelles au flot. Perelman affirme qu'ils constituent une preuve de la conjecture de Thurston et donc de celle de Poincaré.

N'ayant été soumis à aucune revue, ces articles n'ont d'autre raison d'être lus que leur extraordinaire portée. Leur extrême difficulté et technicité fait que leur lecture est affaire d'années de travail à temps plein pour des mathématiciens renommés. Depuis le Congrès international de mathématiques (Le congrès international de mathématiques est une manifestation organisée tous les quatre ans par l'Union mathématique internationale.) de 2006, et même si l'ICM ne cite pas explicitement la conjecture de Poincaré (La conjecture de Poincaré est, en mathématiques, une conjecture portant sur la caractérisation de la sphère à trois dimensions.) dans sa présentation de Perelman, l'idée que le programme de Hamilton est bel (Nommé en l’honneur de l'inventeur Alexandre Graham Bell, le bel est unité de mesure logarithmique du rapport entre deux puissances, connue pour exprimer la puissance...) et bien achevé est de plus en plus répandue dans la communauté mathématique.

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