Divergence (analyse vectorielle) - Définition

Introduction

Articles d'analyse vectorielle
Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

En géométrie, la divergence d'un champ de vecteurs X mesure le défaut à ce que son flot préserve une forme volume Ω. La divergence de X, notée div X, est une fonction à valeurs réelles qui mesure la variation première de Ω le long des trajectoires du champ X. Des définitions plus précises sont données dans le corpus de l'article. L'opérateur divergence est un opérateur différentiel linéaire aux dérivées partielles premières, qui envoie un champ tensoriel d'ordre k en un champ d'ordre k − 1.

En raison de son utilisation dans les calculs de flux de champ de vecteurs, il intervient en physique pour exprimer des lois de conservation ainsi que pour la formulation locale des lois physiques faisant intervenir un champ suivant une loi en carré inverse de la distance. L'opérateur divergence est notamment utilisé dans les équations de la mécanique des fluides ou les équations de Maxwell.

Divergence d'un champ de vecteurs

Définition en dimension 3

En dimension 3 et en coordonnées cartésiennes, la divergence d'un champ de vecteurs a pour expression

(0)

Formellement, l'opérateur divergence appliqué à un champ vectoriel est aussi le produit scalaire du vecteur nabla par le vecteur .

Cette définition a le désavantage d'être dépendante du choix d'une base orthonormée.

Définition en fonction d'une forme volume

Etant donnée une forme volume Ω sur un ouvert U de , la divergence d'un champ de vecteurs X est définie par la relation suivante :

. (1)

Dans cette égalité, ι(X)Ω désigne le produit intérieur de Ω par le champ X ; c'est une n − 1 forme différentielle. Sa dérivée extérieure est une n-forme différentielle, et s'écrit donc sous la forme − fΩ où la fonction f est appelée la divergence de X. Comme Ω est une forme différentielle fermée, l'égalité (1) se réécrit sous la forme

, (2)

où est la dérivée de Lie dans la direction X. L'égalité (0) fournit l'expression de div X en fonction des coordonnées de X, pour le volume de Lebesgue. Les définitions, ici exprimées sur des ouverts de , s'étendent mot pour mot aux variétés différentielles.

Si le champ X est intégrable, il définit un flot (la trajectoire de x étant ). L'égalité (2) donne

. (3)

En particulier, le flot de X conserve le volume (c’est-à-dire pour tout domaine D de U) si et seulement si la divergence est partout nulle. Le volume augmente si la divergence est positive, diminue si elle est négative.

Définition en géométrie Riemannienne

Pour le volume de Lebesgue, la divergence de X s'exprime explicitement

. (4)

Ici, le champ X est considéré comme une application de U dans , et DX désigne sa différentielle – la matrice jacobienne –, dont on prend la trace. (Il est rappelé que la définition de la trace ne dépend pas du choix d'une base orthonormée.) Explicitement en coordonnées,

. (5)

Le commentaire qui suit nécessite de connaitre la définition des connexions de Koszul et quelques notions de base en géométrie Riemannienne. Si g est une métrique riemannienne, alors, pour le volume Riemannien, la divergence de X est encore donnée par l'égalité (4), où D s'interprète comme la connexion de Levi-Civita associée à g.

Définition en termes de flux

La divergence peut être définie en termes de flux d'un champ de vecteur. Si D est un domaine régulier relativement compact de U, de bord S, le flux de X à travers S est égal à l'intégrale sur D de la divergence, d'après le théorème de Stokes. Explicitement,

Dans la dernière intégrale, ν est le vecteur unitaire normal sortant de S, et Ω_S est la forme volume sur l'hypersurface S. Cette égalité est valable en toute dimension pour des variétés riemanniennes orientées. Cette égalité est connue sous le nom de « théorème de Green-Ostrogradski » ou « théorème de flux-divergence ».

Une interprétation voisine est la suivante. Soit φ_t le flot du champ (c’est-à-dire la valeur au temps t de la solution du système différentiel qui vaut x en 0) on a

(on a désigné par L_A l'opérateur dérivée de Lie ; pour les détails et un énoncé plus général, voir opérateur de Laplace-Beltrami).