Réduction d'endomorphisme - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, la réduction d'endomorphisme est une technique mathématique qui a pour objectif d'exprimer des matrices et des endomorphismes sous une forme plus simple, notamment pour faciliter les calculs. Cela consiste essentiellement à trouver une base de l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) qui permet d'exprimer plus simplement l'endomorphisme dans cette nouvelle base, et à décomposer l'espace en sous-espace vectoriels stables par l'endomorphisme.

Motivation

Le concept de réduction

La technique de réduction en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) est fréquente, elle consiste à réduire un concept, en sous-concepts les plus simples possible et permettant de reconstruire le cas général. Dans le cas des endomorphismes (c’est-à-dire des applications linéaires d'un espace vectoriel dans lui-même) la technique consiste à décomposer l'espace vectoriel en espaces plus petits. Cette réduction doit posséder six propriétés :

  1. L'endomorphisme définit par restriction un nouvel endomorphisme sur chacun des sous-espaces (c'est-à-dire chacun est un sous-espace vectoriel stable), ainsi la petite structure est une entité intrinsèque avec sa propre cohérence.
  2. Les différents sous-espaces sont en somme directe (En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe désigne des ensembles munis de certaines structures, construits à...), c'est à dire indépendant les uns des autres. En conséquence, l'intersection de deux de ces sous-espace est toujours réduite au vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur,...) nul.
  3. Les différents sous-espaces engendrent l'espace entier (ils sont supplémentaires), ce qui offre l'exhaustivité de l'analyse.
  4. La réduction décrit l'intégralité de la structure originelle.
  5. Elle est maximale, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent...) en éléments plus petits et donc plus simple.
  6. Elle est aussi simple que possible, c'est-à-dire que pour chacune des sous-structures il n'existe pas de représentation plus élémentaire.

Toutefois, elle n'est pas unique.

Endomorphisme et vecteur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés,...)

La structure d'espace vectoriel sur lequel s'applique l'endomorphisme possède des propriétés différentes selon les cas. Dans l'hypothèse où la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si...) est finie, alors la structure du corps détermine l'essentiel des propriétés de réduction. Une approche très générale, pour établir la relation entre la structure du corps et la réduction des endomorphismes consiste à analyser la structure de l'anneau des polynômes associée au corps. Cette approche est analysée dans l'article polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne...) d'endomorphisme. Le cas le plus simple est celui où le corps est dit algébriquement clos, c'est-à-dire que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) polynôme admet au moins une racine. C'est le cas des nombres complexes. Alors la réduction est particulièrement efficace. La notion de valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à...) devient le bon outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des...) dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu...). Lorsqu'il existe une base de vecteurs propres, on parle de diagonalisation (La diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire. Il s'applique à des endomorphismes d'un espace vectoriel. Il consiste à rechercher une base de l'espace vectoriel constituée de vecteurs propres.). Tout endomorphisme n'est pas diagonalisable, en revanche sur un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, les endomorphismes diagonalisables sont denses topologiquement.

Réduction de Jordan (La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse...)

Il y a 2 obstacles qui empêchent que tout endomorphisme soit diagonalisable. Le premier est constitué des endomorphismes nilpotents ; il a été analysé par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son...) Camille Jordan. On montre que tout endomorphisme en dimension finie sur un corps algébriquement clos se décompose en sous-espaces caractéristiques où l'endomorphisme est la somme d'une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que...) et d'un endomorphisme nilpotent (Un endomorphisme nilpotent est un endomorphisme c’est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui même, qui, composé par lui-même un nombre suffisant de fois, donne...).

Le deuxième obstacle apparaît lorsque l'espace vectoriel n'est pas sur un corps algébriquement clos, comme les nombres réels par exemple. Dans ce cas les polynômes caractéristique et minimal peuvent avoir des facteurs premiers de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) supérieur ou égal à 2. Pour ces facteurs de plus haut degré, le concept de valeur propre doit être généralisé en celui de chaîne (Le mot chaîne peut avoir plusieurs significations :) de Jordan. On dit qu'un polynôme P de degré d est une chaîne de Jordan d'un endomorphisme u si

  • il existe un vecteur x non nul tel que P(u)(x)=0 ;
  • la famille (x,u(x),\dots,u^{d-1}(x)) est libre.

L'intérêt de cette notion est que la famille (x,...,ud-1(x)) engendre un sous-espace vectoriel stable par u, sur lequel la matrice de u est la matrice compagnon (En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire) de Jordan de P.

Quand le degré d vaut 1, on retrouve la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de valeur propre usuelle. On peut montrer que tout facteur premier du polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un endomorphisme, comme...) d'un endomorphisme est une chaîne de Jordan de cet endomorphisme. Par conséquent tout endomorphisme admet une base où sa matrice a une diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) formée de blocs matrices compagnons et de moitié inférieure gauche nulle (c'est donc une matrice presque triangulaire supérieure).

Endomorphisme et distance

Il existe un cas particulier d'espace vectoriel : ceux qui sont munis d'une distance compatible avec la structure vectorielle. Un cas important est celui où la distance est euclidienne (ou hermitienne dans le cas complexe). L'ajout de cette structure offre une nouvelle voie d'accès à la problématique de la réduction d'endomorphisme. S'il est compatible avec la distance, c'est-à-dire s'il est normal, alors une nouvelle approche est possible. Dans ce contexte, l'exception nilpotente est absente. La réduction est plus simple et les techniques algorithmiques associées plus rapides.

Analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été...) et opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) linéaire

Ce cas guide Hilbert dans une nouvelle direction. La généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être...) de l'approche aux opérateurs différentiels. Ces opérateurs comme le laplacien ou le d'alembertien sont la clé d'importants problèmes en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un...). Ils peuvent se représenter comme une équation linéaire (Une équation est dite linéaire quand elle s'exprime à l'aide d'une application linéaire. Elle se présente sous la forme u(x)=b, où u est une application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F, b est...), mais dans un espace de dimension infinie. Si l'approche générale de Jordan est vouée à l'échec car les polynômes ne s'appliquent pas dans ce contexte, en revanche ces opérateurs présentent les bonnes propriétés de compatibilité vis-à-vis d'une distance qu'il est possible de définir sur l'espace. Hilbert, propose une approche novatrice, consistant à étudier les propriétés géométriques de ces espaces de dimension infinie, au lieu de se limiter à une analyse d'un point (Graphie) particulier: la fonction solution de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste...). Cette approche ouvre une nouvelle branche des mathématiques devenue essentielle au siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être l'âge du...) dernier: l'analyse fonctionnelle. La physique moderne, aussi bien sous sa forme quantique que sous sa forme relativiste, utilise largement cette vision des choses.

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