Réseau de Bravais - Définition et Explications

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Introduction

En cristallographie, un réseau de Bravais est une distribution régulière de points – appelés nœuds – dans l’espace qui représente la périodicité de la distribution atomique d’un cristal. Les nœuds peuvent être imaginés comme les sommets des mailles, c'est-à-dire des portions de l'espace dans lesquelles la structure cristalline peut être divisée. La structure est alors reconstruite par simple translation de la maille. La donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) d'un réseau de Bravais (En cristallographie, un réseau de Bravais est une distribution régulière de points...) n'est pas suffisante pour caractériser un cristal : d'une part le cristal (Cristal est un terme usuel pour désigner un solide aux formes régulières, bien que...) est constitué d'atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut...) et non de nœuds, et d'autre part la maille peut contenir plusieurs atomes, ce qui fait que certaines symétries du réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des...) ne sont pas forcement des symétries de la structure cristalline : c'est le cas des cristaux mérièdres. Lorsque que la symétrie complète du réseau de Bravais est réalisée aussi dans la structure cristalline on parle de cristaux holoèdres.

Formellement, un réseau de Bravais en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) n est défini comme l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des vecteurs {ma + ma + ... + ma}, où m, ..., m appartiennent à Z et où les vecteurs de base du réseau a, ..., a sont n vecteurs linéairement indépendants. Les paramètres du réseau sont constitués des longueurs a, ..., a et des angles entre les vecteurs de base du réseau.

La périodicité engendre un groupe de symétrie constitué des opérations de translation et de rotation laissant le réseau de Bravais invariant. Si le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de réseaux est infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...), puisqu'à chaque valeur des paramètres il correspond un réseau différent, le nombre de types de réseaux est fini, le type d'un réseau étant défini par son groupe de symétrie. On dénombre ainsi 5 types de réseau de Bravais dans l'espace bidimensionnel et 14 types dans l'espace tridimensionnel.

Lorsqu'il existe dans un cristal une invariance par rotation, on dit qu'il existe un axe de symétrie d'ordre 2, 3, 4 ou 6, selon que la rotation en question corresponde respectivement à un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) de ± 180°, ± 120°, ± 90° ou ± 60°. L'étude des réseaux de Bravais à l'aide de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des groupes a montré que dans les espaces bidimensionnel et tridimensionnel il n'existe pas de cristal ayant un axe de symétrie d'ordre 5. Ceci n'est plus vrai si la périodicité de la distribution atomique n'est pas parfaite, comme c'est le cas dans un quasi-cristal.

Un réseau étant infini, il est décrit par une maille, qui représente l’unité par répétition infinie de laquelle le réseau est obtenu. Le choix de la maille n’est pas unique, chaque réseau pouvant en principe être décrit par une infinité de mailles différentes ; toutefois, deux types de mailles sont utilisés le plus souvent : la maille primitive (ou élémentaire) et la maille conventionnelle. Les cristaux dont les mailles conventionnelles sont transformées l'une en l'autre en ajoutant ou supprimant des nœuds soit au centre des faces, soit à l'intérieur du volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) de la maille, appartiennent à la même famille cristalline.

Mathématiques

Dans un réseau, il existe une famille, illustré en rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait...) sur la figure, tel que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) point (Graphie) s'exprime comme combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire de manière unique, des points de la famille.

Un réseau de Bravais correspond à une question d'ordre mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...). Il est associé à l'étude d'un quasi espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...), la différence entre un espace vectoriel et un réseau étant que dans ce dernier les scalaires sont des entiers et non plus des nombres inversibles (à l'exception de 0) comme les réels ou les complexes. Pour bénéficier d'une géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) aisément préhensible, le réseau est plongé dans un espace vectoriel euclidien de dimension minimale. Cet espace est, par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) d'un réseau, de dimension finie. Enfin, le réseau peut également être vu comme un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de...).

Deux domaines fondamentaux, ou mailles primitives, ont même volume.

Une des premières propriétés est le fait que, à l'image de la structure d'espace vectoriel, il existe une base et, si une telle base n'est pas unique, son volume l'est. Le domaine fondamental d'une base est formé par l'ensemble des vecteurs dont les coordonnées dans la base sont dans l'intervalle [0,1[, ce que le cristallographe appelle la maille primitive. La figure de droite illustre deux domaines fondamentaux, en vert (Le vert est une couleur complémentaire correspondant à la lumière qui a une longueur d'onde...) et en rouge, nécessairement de même volume.

Plusieurs groupes apparaissent naturellement dans l'étude des réseaux de Bravais. Tout d'abord, comme dans un espace vectoriel, le réseau forme un groupe pour l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) des vecteurs. Ce groupe est isomorphe au groupe des translations laissant le réseau invariant. Ensuite, une question importante est celle du groupe orthogonal (Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps , muni d'une forme quadratique q. Un...), appelé parfois groupe ponctuel (En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace de travail.) de symétrie. Il est composé des applications linéaires qui conservent les distances et les angles, à l'image d'une rotation ou d'une réflexion dans un miroir (Un miroir est un objet possédant une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme...). Ces transformations forment les isométries vectorielles du réseau. Dans un réseau, le groupe orthogonal est toujours fini et dispose d'une structure de groupe. C'est-à-dire qu'il existe un élément neutre, celui qui ne bouge aucun point du réseau, que l'application réciproque (En mathématiques, une application réciproque est en des termes simples une fonction qui...) d'une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie...) est encore une isométrie et que la loi de composition (En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est...) des applications linéaires est associative. Enfin, en combinant les deux groupes précédents, on peut former un autre groupe : le groupe d'espace du réseau.

Contrairement au cas des espaces vectoriels, les groupes orthogonaux de deux réseaux de même dimension ne sont pas forcément isomorphes. Élucider la structure du groupe orthogonal d'un réseau de dimension 2 est relativement aisé. Il n'existe que 4 groupes finis possibles et ils sont tous de petits cardinaux : 2, 4, 8 ou 12. Aucun outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) sophistiqué n'est nécessaire, il suffit d'utiliser quelques matrices 2x2 pour arriver à ses fins. En dimension 3, la question se corse (La Corse (Corsica en corse) est une île de la mer Méditerranée et une région...) un petit peu. Le groupe le plus vaste contient 48 éléments. Pour expliciter la structure d'un groupe, il est plus simple de faire appel à la théorie des représentations d'un groupe fini. Un outil un peu abstrait, le caractère permet de résoudre rapidement des questions, d'apparence délicate.

L'article détaillé Réseau (géométrie) fait usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...) pour construire les groupes orthogonaux des réseaux de dimension 2 et de la représentation d'un groupe pour la dimension 3.

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